江蘇省連云港市灌南華僑高級中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

江蘇省連云港市灌南華僑高級中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知O為坐標原點，，點P是上一點，則當取得最小值時，點P的坐標為（）A. B.C. D.2．若隨機事件滿足，，，則事件與的關(guān)系是（）A.互斥 B.相互獨立C.互為對立 D.互斥且獨立3．已知，，若不等式恒成立，則正數(shù)的最小值是（）A.2 B.4C.6 D.84．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A. B.C. D.5．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°6．“橢圓的離心率為”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件7．在棱長為4的正方體中，為的中點，點P在正方體各棱及表面上運動且滿足，則點P軌跡圍成的圖形的面積為（）A. B.C. D.8．直線l的方向向量為，且l過點，則點到l的距離為()A B.C. D.9．已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦AB的長為（）A. B.C. D.10．已知是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，若以為始邊，為終邊的角，則等于（）A. B.C. D.11．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，12．在空間直角坐標系中，若，，則點B的坐標為（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓的方程為，點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線為切點，則四邊形面積的最小值為__________；直線__________過定點.14．已知為拋物線上的動點，，，則的最小值為________.15．已知春季里，甲地每天下雨的概率為，乙地每天下雨的概率大于0，且甲、乙兩地下雨相互獨立，則春季的一天里，已知乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為___________.16．已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________．甲組乙組三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）要設計一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設計才能使得總成本最低？18．（12分）已知數(shù)列的前n項和，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，，求數(shù)列的前n項和19．（12分）正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為4.E為棱上的動點，F(xiàn)為棱的中點.（1）證明：；（2）若E為棱上的中點，求直線BE到平面的距離.20．（12分）橢圓：（）的離心率為，遞增直線過橢圓的左焦點，且與橢圓交于兩點，若，求直線的斜率.21．（12分）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是與的等差中項（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和22．（10分）設圓的圓心為A，直線l過點且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E（1）判斷與題中圓A的半徑的大小關(guān)系，并寫出點E的軌跡方程；（2）過點作斜率為，的兩條直線，分別交點E的軌跡于M，N兩點，且，證明：直線MN必過定點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)三點共線，可得，然后利用向量的減法坐標運算，分別求得，最后計算，經(jīng)過化簡觀察，可得結(jié)果.【詳解】設，則則∴當時，取最小值為-10，此時點P的坐標為.故選：A【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算，難點在于三點共線，審清題干，簡單計算，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】利用獨立事件，互斥事件和對立事件的定義判斷即可【詳解】解：因為，，又因為，所以有，所以事件與相互獨立，不互斥也不對立故選：B.3、B【解析】由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到關(guān)于的不等式，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】，因為不等式恒成立，所以，即，解得，所以.故選:B.【點睛】本題考查基本不等式的應用，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】按照程序框圖的流程進行計算.【詳解】，故輸出S的值為.故選：C5、B【解析】利用直線的方向向量求出其斜率，進而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B6、C【解析】討論橢圓焦點的位置，根據(jù)離心率分別求出參數(shù)m，由充分必要性的定義判斷條件間的充分、必要關(guān)系.【詳解】當橢圓的焦點在軸上時，，得；當橢圓的焦點在軸上時，，得故“橢圓的離心率為”是“”的必要不充分條件故選：C.7、A【解析】構(gòu)造輔助線，找到點P軌跡圍成的圖形為長方形，從而求出面積.【詳解】取的中點E，的中點F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因為BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A8、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可計算.【詳解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距離故選：C.9、C【解析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點坐標為，則直線的方程為，設，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長為.故選：C.10、D【解析】設點，取，可得，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值.【詳解】設點，其中，則，，取，則，可得，因為，可得，解得，則，因此，.故選：D.11、B【解析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B12、C【解析】利用點的坐標表示向量坐標，即可求解.【詳解】設，，，所以，，，解得：，，，即.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)切線的相關(guān)性質(zhì)將四邊形面積化為，即求出最小值即可，即圓心到直線的距離；又可得四點在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設出點坐標，求出圓的方程可得直線方程，即可得出定點.詳解】由圓得圓心，半徑，由題意可得,在中，，，可知當垂直直線時，，所以四邊形的面積的最小值為，可得四點在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設，則圓心為，半徑為，則該圓方程為，整理可得，聯(lián)立兩圓可得直線AB的方程為，即可得當時，，故直線過定點.故答案為：；.14、6【解析】根據(jù)拋物線的定義把的長轉(zhuǎn)化為到準線的距離為，進而數(shù)形結(jié)合求出最小值.【詳解】易知為拋物線的焦點，設到準線的距離為，則，而的最小值為到準線的距離，故的最小值為.故答案為：615、##0.5【解析】根據(jù)條件概率求概率的方法即可求得答案.【詳解】設A表示“甲地每天下雨”，B表示“乙地每天下雨”，乙地每天下雨的概率為p，則，因為甲乙兩地下雨相互獨立，所以，于是在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義，結(jié)合莖葉圖進行計算求解即可.【詳解】根據(jù)莖葉圖可知：甲組名學生在一次英語聽力測試中的成績分別；乙組名學生在一次英語聽力測試中的成績分別，因為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以有，又因為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以有，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.【解析】設圓柱底面半徑為cm，高為cm，圓柱表面積為Scm2，進而根據(jù)體積得到，然后求出表面積，進而運用導數(shù)的方法求得表面積的最小值，此時成本最小.【詳解】設圓柱底面半徑為cm，高為cm,圓柱表面積為Scm2,每平方厘米金屬包裝造價為元，由題意得：，則，表面積造價，，令，得，令，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當圓柱底面半徑為，高為時，總成本最底.18、（1）；（2）【解析】（1）將代入可求得.根據(jù)通項公式與前項和的關(guān)系,可得數(shù)列為等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列的通項公式.（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式,代入中,結(jié)合裂項法求和即可得前n項和.【詳解】（1）當時,由得；當時,由得是首項為3,公比為3的等比數(shù)列當,滿足此式所以（2）由（1）可知,【點睛】本題考查了通項公式與前項和的關(guān)系,裂項法求和的應用,屬于基礎(chǔ)題.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明計算作答.(2)利用(1)中坐標系，證明平面，再求點B到平面的距離即可作答.【小問1詳解】在正四棱柱中，以點D為原點，射線分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，則，因E為棱上的動點，則設，，而，，即，所以.【小問2詳解】由(1)知，點，，，，設平面的一個法向量，則，令，得，顯然有，則，而平面，因此，平面，于是有直線BE到平面的距離等于點B到平面的距離，所以直線BE到平面的距離是.20、1【解析】根據(jù)離心率寫出，設出直線為，把直線的方程與橢圓進行聯(lián)立消，寫出韋達定理，再利用，即可解出，進而求出直線的斜率.【詳解】，.設遞增直線的方程為，把直線的方程與橢圓進行聯(lián)立：.①，②.③.把③代入①中得④.把④代入②中得...21、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件列式求出數(shù)列的首項即可作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再借助裂項相消法計算作答.【小問1詳解】因為數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且是與的等差中項，則有，即，解得，所以.【小問2詳解】由(1)知，，則，即有，所以.22、（1）與半徑相等，（2）證明見解析【解析】（1）依據(jù)橢圓定義去求點E的軌跡方程事半功倍；（2）直線MN要分為斜率存在的和不存在的兩種情況進行討論，由設而不求法把條件轉(zhuǎn)化為直線MN過定點的條件即可解決.【小問1詳解】圓即為，可得圓心，半徑，由，可得，由，可得，即為，即有，則，所以其與半徑相等.因為，故E的軌跡為以A，B為焦點的橢圓（不包括左右頂點），且有，，即，，，則點E的軌跡方程為；【小問2詳