2025屆天津市七校數(shù)學(xué)高三上期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆天津市七校數(shù)學(xué)高三上期末復(fù)習(xí)檢測試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列的前項和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.42.天干地支,簡稱為干支,源自中國遠(yuǎn)古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成,以此往復(fù),60年為一個輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率為()A. B. C. D.3.已知函數(shù),,當(dāng)時,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.4.已知向量,,則與的夾角為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),其中,,其圖象關(guān)于直線對稱,對滿足的,,有,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.6.若,則的值為()A. B. C. D.7.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,則“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要8.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則等于()A.3 B.C.2 D.9.2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中,甲乙兩個合唱隊每場比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖,個位數(shù)字為葉).若甲隊得分的中位數(shù)是86,乙隊得分的平均數(shù)是88,則()A.170 B.10 C.172 D.1210.已知實數(shù)、滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C. D.11.中,,為的中點,,,則()A. B. C. D.212.已知雙曲線的漸近線方程為,且其右焦點為,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為_______.14.已知直角坐標(biāo)系中起點為坐標(biāo)原點的向量滿足,且,,,存在,對于任意的實數(shù),不等式,則實數(shù)的取值范圍是______.15.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、,其中為左焦點.點為兩曲線在第一象限的交點,、分別為曲線、的離心率,若是以為底邊的等腰三角形,則的取值范圍為________.16.函數(shù)的圖象向右平移個單位后,與函數(shù)的圖象重合,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足.(Ⅰ)求證數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的前項和.18.(12分)設(shè),,,.(1)若的最小值為4,求的值;(2)若,證明:或.19.(12分)在角中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若.(1)求角A;(2)若的面積為,求的周長.20.(12分)如圖,在矩形中,,,點分別是線段的中點,分別將沿折起,沿折起,使得重合于點,連結(jié).(Ⅰ)求證:平面平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù),.(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù);(2)記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點分別為、,求證:.22.(10分)心形線是由一個圓上的一個定點,當(dāng)該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時,這個定點的軌跡,因其形狀像心形而得名,在極坐標(biāo)系中,方程()表示的曲線就是一條心形線,如圖,以極軸所在的直線為軸,極點為坐標(biāo)原點的直角坐標(biāo)系中.已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)若曲線與相交于、、三點,求線段的長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.2、B【解析】

利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計算即可出求得概率.【詳解】20個年份中天干相同的有10組(每組2個),地支相同的年份有8組(每組2個),從這20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,考查組合數(shù)的計算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.3、D【解析】

由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時是單調(diào)增函數(shù).則恒成立..令,則時,單調(diào)遞減,時單調(diào)遞增.故選:D.【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問題,考查恒成立時求解參數(shù)問題,考查學(xué)生的分析問題的能力和計算求解的能力,難度較難.4、B【解析】

由已知向量的坐標(biāo),利用平面向量的夾角公式,直接可求出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,設(shè)與的夾角為,,由于向量夾角范圍為:,∴.故選:B.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角,注意向量夾角的范圍.5、B【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)兩個對稱軸的距離也即是半周期,由此求得的值,結(jié)合其對稱軸,求得的值,進而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識求得的解析式,再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法,求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:已知函數(shù),其中,,其圖像關(guān)于直線對稱,對滿足的,,有,∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對稱,可得,.∴,∴.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像.令,求得,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,故選B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式,考查三角函數(shù)圖像變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,屬于中檔題.6、C【解析】

根據(jù),再根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】因為,所以二項式的展開式的通項公式為:,令,所以,因此有.故選:C【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了二項式展開式通項公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運算能力7、A【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足,的基本量,根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列,若成立,有,因為恒成立,故可以推出且,若成立,當(dāng)時,有,當(dāng)時,有,因為恒成立,所以有,故可以推出,,所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解,充分必要條件的集合關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,從而求得,然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】,所以,,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題,涉及到的知識點有復(fù)數(shù)的乘除運算,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題目.9、D【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?,處在最中間的那個數(shù),平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)為,故;乙的平均數(shù)為,解得,所以.故選:D.【點睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識,是一道容易題.10、A【解析】

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,代入即可求解,得到答案.【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域,如圖所示,由目標(biāo)函數(shù),化為直線,當(dāng)直線過點A時,此時直線在y軸上的截距最大,目標(biāo)函數(shù)取得最大值,又由,解得,所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為,故選A.【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求”,確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,及推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

在中,由正弦定理得;進而得,在中,由余弦定理可得.【詳解】在中,由正弦定理得,得,又,所以為銳角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故選:D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運算求解能力.12、B【解析】試題分析:由題意得,,所以,,所求雙曲線方程為.考點:雙曲線方程.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)題意,由雙曲線的漸近線方程可得,即a=2b,進而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得cb,由雙曲線的離心率公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程為y=±x,又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y=0,即yx,則有,即a=2b,則cb,則該雙曲線的離心率e;故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是分析a、b之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意可設(shè),,,由向量的坐標(biāo)運算,以及恒成立思想可設(shè),的最小值即為點,到直線的距離,求得,可得不大于.【詳解】解:,且,可設(shè),,,,可得,可得的終點均在直線上,由于為任意實數(shù),可得時,的最小值即為點到直線的距離,可得,對于任意的實數(shù),不等式,可得,故答案為:.【點睛】本題主要考查向量的模的求法,以及兩點的距離的運用,考查直線方程的運用,以及點到直線的距離,考查運算能力,屬于中檔題.15、【解析】

設(shè),由橢圓和雙曲線的定義得到,根據(jù)是以為底邊的等腰三角形,得到,從而有,根據(jù),得到,再利用導(dǎo)數(shù)法求的范圍.【詳解】設(shè),由橢圓的定義得,由雙曲線的定義得,所以,因為是以為底邊的等腰三角形,所以,即,因為,所以,因為,所以,所以,即,而,因為,所以在上遞增,所以.故答案為:【點睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和幾何性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求得變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導(dǎo)公式求得滿足的方程,結(jié)合題中的范圍即可求解.【詳解】由函數(shù)圖象的平移變換公式可得,函數(shù)的圖象向右平移個單位后,得到的函數(shù)解析式為,因為函數(shù),所以函數(shù)與函數(shù)的圖象重合,所以,即,因為,所以.故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)圖象的平移變換和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式;誘導(dǎo)公式的靈活運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)利用等比數(shù)列的定義結(jié)合得出數(shù)列是等比數(shù)列(Ⅱ)數(shù)列是“等比-等差”的類型,利用分組求和即可得出前項和.【詳解】解:(Ⅰ)當(dāng)時,,故.當(dāng)時,,則,,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,.【點睛】(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列可利用定義法得出(Ⅱ)采用分組求和:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.18、(1)2;(2)見解析【解析】

(1)將化簡為,再利用基本不等式即可求出最小值為4,便可得出的值;(2)根據(jù),即,得出,利用基本不等式求出最值,便可得出的取值范圍.【詳解】解:(1)由題可知,,,,,∴.(2)∵,∴,∴,∴,即:或.【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,利用基本不等式和放縮法求最值,考查化簡計算能力.19、(1);(2)1.【解析】

(1)由正弦定理化簡已知等式可得sinAsinB=sinBcosA,求得tanA=,結(jié)合范圍A∈(0,π),可求A=.(2)利用三角形的面積公式可求bc=8,由余弦定理解得b+c=7,即可得解△ABC的周長的值.【詳解】(1)由題意,在中,因為,由正弦定理,可得sinAsinB=sinBcosA,又因為,可得sinB≠0,所以sinA=cosA,即:tanA=,因為A∈(0,π),所以A=;(2)由(1)可知A=,且a=5,又由△ABC的面積2=bcsinA=bc,解得bc=8,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得:25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,整理得(b+c)2=49,解得:b+c=7,所以△ABC的周長a+b+c=5+7=1.【點睛】本題主要考查了正弦定理,三角形的面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)根據(jù),,可得平面,故而平面平面.(Ⅱ)過作于,則可證平面,故為所求角,在中利用余弦定理計算,再計算.【詳解】解:(Ⅰ)因為,,,平面,平面所以平面,又平面,所以平面平面;(Ⅱ)過作于,則由平面,且平面知,所以平面,從而是直線與平面所成角.因為,,,所以,從而.【點睛】本題考查了面面垂直的判定,考查直線與平面所成角的計算,屬于中檔題.21、(1);(2)見解析.【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值,結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論;(2)設(shè)函數(shù)的極大值點和極小值點分別為、,由(1)知,,且滿足,,于是得出,由得,利用正切函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】(1),,,當(dāng)時,,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞增.,,,,.所以,函數(shù)在與不存在零點,在區(qū)間和上各存在一個零點.綜上所述,函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)為;(2),.由(1)得,

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