第3題 單選題中空間幾何體元素的數量關系（原卷）

第3題單選題中空間幾何體元素的數量關系一、原題呈現【原題】已知圓錐的底面半徑為,其側面展開圖為一個半圓,則該圓錐的母線長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設圓錐的母線長為,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長,則,解得.故選B.【就題論題】本題考查圓錐的側面展開圖,求解時只用到一個關系式,考查知識點單一、運算簡單,依然屬于送分題,這提醒我們在復習時要注重基礎知識,基礎題失分過多是考生高考數學考不好的主要原因.二、考題揭秘【命題意圖】本題考查圓錐及圓錐的側面展開圖,考查直觀想象與數學運算的核心素養(yǎng).難度：容易.【考情分析】立體幾何在高考中一般有2道客觀題,一般有一道是多面體,一道是旋轉體；一道是容易題,一道是較難的題.考查熱點是幾何體中元素的位置關系與數量關系、幾何體的表面積與體積、球與幾何體的切接等.另外,單選題中考查空間幾何體元素數量關系的題,常與數學文化及生產生活相聯系.【得分秘籍】1．在研究圓柱、圓錐、圓臺的相關問題時,主要方法就是研究它們的軸截面,這是因為在軸截面中容易找到這些幾何體的有關元素之間的位置關系以及數量關系．2．幾何體的展開與折疊(1)幾何體的表面積,除球以外,一般都是利用展開圖求得的,利用空間問題平面化的思想,把一個平面圖形折疊成一個幾何體,再研究其性質,是考查空間想象能力的常用方法．(2)多面體的展開圖①直棱柱的側面展開圖是矩形；②正棱錐的側面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的,底面是正多邊形；③正棱臺的側面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的,底面是正多邊形．(3)旋轉體的展開圖①圓柱的側面展開圖是矩形,矩形的長(或寬)是底面圓周長,寬(或長)是圓柱的母線長；②圓錐的側面展開圖是扇形,扇形的半徑長是圓錐的母線長,弧長是圓錐的底面周長；③圓臺的側面展開圖是扇環(huán),扇環(huán)的上、下弧長分別為圓臺的上、下底面周長．注：圓錐和圓臺的側面積公式S圓錐側＝eq\f(1,2)cl和S圓臺側＝eq\f(1,2)(c′＋c)l與三角形和梯形的面積公式在形式上相同,可將二者聯系起來記憶．3．空間幾何體的表面積的計算方法有關空間幾何體的表面積的計算通常是將空間圖形問題轉化為平面圖形問題,這是解決立體幾何問題常用的基本方法．(1)計算棱柱、棱錐、棱臺等多面體的表面積,可以分別求各面面積,再求和,對于直棱柱、正棱錐、正棱臺也可直接利用公式．(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面,計算其側面積時需將曲面展為平面圖形計算,而表面積是側面積與底面圓的面積之和．(3)組合體的表面積應注意重合部分的處理．4．空間幾何體的體積的計算方法(1)計算柱、錐、臺體的體積,關鍵是根據條件找出相應的底面面積和高,應注意充分利用多面體的截面,特別是軸截面,將空間問題轉化為平面問題求解．(2)注意求體積的一些特殊方法：分割法、補體法、還臺為錐法、等積變換法(如求三棱錐的體積可靈活變換頂點與底面)等,它們是計算一些不規(guī)則幾何體體積常用的方法,應熟練掌握．(3)利用三棱錐的“等體積性”可以解決一些點到平面的距離問題,即將點到平面的距離視為一個三棱錐的高,通過將其頂點和底面進行轉化,借助體積的不變性解決問題．【易錯警示】(1)求解空間幾何體中元素的數量關系問題,不善于借組直觀圖、截面圖,致使求解失誤；(2)求幾何體的表面積忽略了對重疊部分的處理；(3)求椎體體積時忽略乘以；(4)求幾何體表面上兩點之間的最短距離,不要忘記利用展開圖.三、以例及類（以下所選試題均來自新高考Ⅰ卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷）單選題1．（2021江蘇省南通學科基地高三下學期高考全真模擬（四））中國氣象局規(guī)定：一天里的降雨的深度當作日降水量,通常用毫米表示降水量的單位,的降水量是指單位面積上水深.如圖,這是一個雨量筒,其下部是直徑為?高為的圓柱,上部承水口的直徑為.某同學將該雨量筒放在雨中,雨水從圓形容器口進入容器中,后,測得容器中水深,則該同學測得的降水量約為（）A． B． C． D．2．（2021湖南省永州市高三下學期三模）有一個裝有水且底面直徑為12cm的圓柱形容器,水面與容器口的距離為cm．現往容器中放入一個半徑為r（單位：cm）的小球,該小球放入水中后直接沉入容器底部,若使該容器內的水不溢出,則小球半徑r的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2021湖南省長沙市雅禮中學高三下學期二模）已知某圓錐的軸截面是邊長為4的正三角形,則它的體積為（）．A． B． C． D．4．（2021福建省廈門市高三5月二模）2008年北京奧運會游泳中心(水立方)的設計靈感來于威爾·弗蘭泡沫,威爾·弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進,開爾文體是一種多面體,它由正六邊形和正方形圍成(其中每一個頂點處有一個正方形和兩個正六邊形),已知該多面體共有24個頂點,且棱長為1,則該多面體表面積是（）

A． B． C． D．5．（2021江蘇省泰州市高三下學期考前練筆）如圖是一款多功能粉碎機的實物圖,它的進物倉為正四棱臺,已知該四棱臺的上底面棱長為,下底面棱長為,側棱長為,則該款粉碎機進物倉的體積為（）A． B． C． D．6．（2021福建省三明市高三圍題卷）斗拱是中國古典建筑最富裝飾性的構件之一,并為中國所持有,圖一圖二是北京故宮太和殿斗拱實物圖,圖三是斗拱構件之一的“斗”的幾何體,本圖中的斗是由棱臺與長方體形凹槽(長方體去掉一個長相等,寬和高分別為原長方體一半的小長方體)組成.若棱臺兩底面面積分別是,,高為,長方體形凹槽的高為.那么這個斗的體積是（）

A． B． C． D．7．（2021湖南省長沙市長郡中學高三下學期保溫卷）鼎是古代烹煮用的器物,它是我國青銅文化的代表,在古代被視為立國之器,是國家和權力的象征.圖①是一種方鼎,圖②是根據圖①繪制的方鼎簡易直觀圖,圖中四棱臺是鼎中盛烹煮物的部分,四邊形是矩形,其中,,,點到平面的距離為,則這個方鼎一次最多能容納的食物體積為（）（假定烹煮的食物全在四棱臺內）A． B． C． D．8．（2021江蘇省連云港市高三下學期高考考前一模）攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖如圖屬重檐四角攢尖,它的上層輪廓可近似看作一個正四棱錐,若此正四棱錐的側面積是底面積的2倍,則此正四棱錐的底面邊長與內切球半徑比為（）A． B． C． D．9．（2021廣東省佛山市順德區(qū)高三下學期仿真）“中國天眼”歷時22年建成,是具有我國自主知識產權,世界最大單口徑（球冠底面直徑500米）、最靈敏的球面射電望遠鏡,其形狀可近似地看成一個球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠,如圖所示,截得的圓叫做球冠的底,垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．球面的半徑是R,球冠的高是h,那么球冠的表面積公式為：）．已知天眼的反射面總面積（球冠面積）約為25萬平方米,則天眼的球冠高度約為（）A．60米 B．100米 C．130米 D．160米10．（2021廣東省惠州市高三下學期一模）切割是焊接生產備料工序的重要加工方法,各種金屬和非金屬切割已經成為現代工業(yè)生產中的一道重要工序.被焊工件所需要的幾何形狀和尺寸,絕大多數是通過切割來實現的.原材料利用率是衡量切割水平的一個重要指標.現需把一個表面積為的球形鐵質原材料切割成為一個底面邊長和側棱長都相等的正三棱柱工業(yè)用零配件,則該零配件最大體積為（）A．6 B． C．18 D．11．（2021廣東省廣州市高三下學期二模）學生到工廠參加勞動實踐,用薄鐵皮制作一個圓柱體,圓柱體的全面積為,則該圓柱體的外接球的表面積的最小值是（）A． B． C． D．12．（2021山東省泰安市高三四模）如圖是我國古代米斗,它是稱量糧食的量器,是古代官倉、糧棧、米行等必備的用具．它是隨著糧食生產而發(fā)展出來的用具,早在先秦時期就有,到秦代統(tǒng)一了度量衡,漢代又進一步制度化,十升為斗、十斗為石的標準最終確定下來．若將某個米斗近似看作一個四棱臺,上、下兩個底面都是正方形,側棱均相等,上底面邊長為,下底面邊長為,側棱長為,則該米斗的容積約為（）附：A． B． C． D．13．（2021山東省日照市高考數學模擬訓練）一個封閉的圓柱形容器,內部裝有高度為三分之一的水（圖一）,將容器歪倒放在水平放置的的桌面上,設水面截底面得到的弦所對的圓心角為,則（）A． B． C． D．14．（2021山東省臨沂市高三二模）如圖為一個圓錐形的金屬配件,重75.06克,其正視圖是一個等邊三角形,現將其打磨成一個體積最大的球形配件,則該球形配件的重量約為（）A．32.69克 B．33.36克 C．34.03克 D．34.37克15．（2021廣東省梅州市高三下學期二模）玉琮是一種內圓外方的筒型玉器,是古代人們用于祭祀神明的一種禮器,距今約5100年．至新石器中晚期,玉琮在江浙一帶的良渚文化、廣東石峽文化、山西陶寺文化中大量出現,尤以良渚文化的玉琮最發(fā)達,出土與傳世的數量很多．現一仿古玉琮呈扁矮的方柱體,通高,內圓外方,上下端為圓面的射,中心有一上下垂直相透的圓孔,孔徑,外徑,試估計該仿古玉琮的體積約為（）（單位：）A．3300 B．3700 C．3900 D．450016．（2021江蘇省南京師范大學《數學之友》高三下學期一模）鉞（yuè）的本字其實是“戊（yuè）”,是一種斧頭．在中國古代,長江流域以南的少數民族都被稱為越人,由于民族很雜部落眾多,也稱“百越”,有學者指出,“越人”的“越”,其含義可能由“戊”而來,意指這些都是一幫拿著斧頭的人．此外,“戊（wù）”的本意和“戊”一樣,也是指斧頭．如圖是一把斧子,它的斧頭由鐵質鍛造,它的形狀可以近似看做由上下兩個多面體組合而成,上部是一個長方體,下部是一個“楔（xie）形”,其尺寸如圖標注（單位：cm）,已知鐵的比重為,斧頭上用作安裝斧柄的洞眼仍看作實心,這只斧頭的質量（單位：g）所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．17．（2021山東省日照市高三下學期5月校際聯合考）在棱長為的正方體中,球同時與以為公共頂點的三個面相切,球同時與以為公共頂點的三個面相切,且兩球相切于點,若球,的半徑分別為,,則（）A．B．C．這兩個球的體積之和的最小值是D．這兩個球的表面積之和的最小值是18．（2021山東省濟南市高三一模）已知菱