2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第06講第六章數(shù)列章節(jié)驗(yàn)收測評(píng)卷(19題新題型)(學(xué)生版+解析)

第06講第六章數(shù)列章節(jié)驗(yàn)收測評(píng)卷（19題新題型）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（23-24高二下·河南安陽·期中）已知數(shù)列的前5項(xiàng)依次為，按照此規(guī)律，可知（

）A．8 B．12 C．16 D．322．（23-24高二下·甘肅慶陽·期中）已知等比數(shù)列的公比為4，則的值為（

）A．4 B． C． D．163．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，且等比數(shù)列滿足，則（

）A．2024 B．1012 C．2 D．4．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）“珠算之父”程大位是我國明代著名的數(shù)學(xué)家，他的應(yīng)用巨著《算法統(tǒng)宗》中有一首“竹筒容米”問題：“家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節(jié)六升六，上梢四節(jié)四升四，唯有中間兩節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容積依次相差同一數(shù)量）用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)求得中間兩節(jié)竹的容積為（

）A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升5．（23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）數(shù)列an滿足，，，則（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·河北張家口·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列，，其前項(xiàng)和為，若，則（

）A．0 B． C．2025 D．7．（2025·廣東·一模）斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定義：設(shè)為斐波那契數(shù)列，13．（24-25高二上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知數(shù)列均為等差數(shù)列，且其前n項(xiàng)和分別為和.若，則.14．（23-24高一下·上?！て谥校⒄麛?shù)分解成兩個(gè)正整數(shù)的積，即，當(dāng)兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)是的最優(yōu)分解時(shí)，定義，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（24-25高三上·山東日照·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)于，將數(shù)列中落在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.17．（23-24高二下·四川德陽·期末）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列an(2)令，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為.求證：.18．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，且數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（24-25高三上·安徽蚌埠·開學(xué)考試）如果數(shù)列的任意相鄰三項(xiàng)，，滿足，則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”．(1)已知是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，．記．①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②判斷數(shù)列是不是“凸數(shù)列”，并證明你的結(jié)論；(2)設(shè)項(xiàng)正數(shù)數(shù)列是“凸數(shù)列”，求證：，，第06講第六章數(shù)列章節(jié)驗(yàn)收測評(píng)卷（19題新題型）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（23-24高二下·河南安陽·期中）已知數(shù)列的前5項(xiàng)依次為，按照此規(guī)律，可知（

）A．8 B．12 C．16 D．32【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】觀察法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】利用觀察法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】數(shù)列的前5項(xiàng)依次為，則，所以.故選：A2．（23-24高二下·甘肅慶陽·期中）已知等比數(shù)列的公比為4，則的值為（

）A．4 B． C． D．16【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】利用等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)化簡計(jì)算即得.【詳解】因等比數(shù)列的公比為4，故.故選：A.3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，且等比數(shù)列滿足，則（

）A．2024 B．1012 C．2 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)題意易知，再利用等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】易知，又，所以，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以.故選：A4．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）“珠算之父”程大位是我國明代著名的數(shù)學(xué)家，他的應(yīng)用巨著《算法統(tǒng)宗》中有一首“竹筒容米”問題：“家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節(jié)六升六，上梢四節(jié)四升四，唯有中間兩節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容積依次相差同一數(shù)量）用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)求得中間兩節(jié)竹的容積為（

）A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的簡單應(yīng)用、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】根據(jù)題意建立數(shù)列模型，由等差數(shù)列定義可求得首項(xiàng)和公差，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)從下至上各節(jié)的容積分別為，由題意知為等差數(shù)列，公差為，因?yàn)?，即，解得所以．故選：A5．（23-24高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）數(shù)列an滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列【分析】根據(jù)遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：A.6．（23-24高二下·河北張家口·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列，，其前項(xiàng)和為，若，則（

）A．0 B． C．2025 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】借助等差數(shù)列求和公式結(jié)合題意計(jì)算可得的公差，即可得.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，故，，故，則.故選：A.7．（2025·廣東·一模）斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定義：設(shè)為斐波那契數(shù)列，，其通項(xiàng)公式為，設(shè)是的正整數(shù)解，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、遞推數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【分析】利用給定條件結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造，兩側(cè)同時(shí)平方求最值即可.【詳解】由題知是的正整數(shù)解，故，取指數(shù)得，同除得，，故，即，根據(jù)是遞增數(shù)列可以得到也是遞增數(shù)列，于是原不等式轉(zhuǎn)化為.而可以得到滿足要求的的最大值為5，故A正確.故選：A8．（23-24高二上·上海嘉定·階段練習(xí)）已知無窮等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，且，下列條件中，使得恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的極限、無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列不等式恒成立問題【分析】首先判斷，根據(jù)an為無窮遞縮等比數(shù)列可得，再就分類討論后可得的取值范圍，即可判斷.【詳解】若，則，不滿足，且顯然不合題設(shè)，所以且；所以，因?yàn)?，則，又對(duì)任意的，，即，即，若，則，即對(duì)任意的恒成立，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以對(duì)任意的，不恒成立，故A，C錯(cuò)誤；當(dāng)，則，即對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，若，則，故D不恒成立，所以，滿足.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，是其公比，是其前項(xiàng)的積，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．與均為的最大值【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，是其公比，是其前項(xiàng)的積，由可得，故C正確；由可得，則，故A正確；是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，，則有，對(duì)于B，，則有，故B錯(cuò)誤，對(duì)于D，，則與均為的最大值，D正確.故選：ACD10．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（

）A．可能為等差數(shù)列 B．不可能為等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】判斷等差數(shù)列、由定義判定等比數(shù)列【分析】對(duì)于AB，舉例判斷，對(duì)于C，根據(jù)等差數(shù)列的定義結(jié)合題意分析判斷，對(duì)于D，根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合題意分析判斷，【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為常數(shù)列時(shí)，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以為等差數(shù)列，所以A正確．對(duì)于B，當(dāng)為常數(shù)列，且時(shí)，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以為等比數(shù)列，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C，設(shè)的公差為，則，得，因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，所以C正確．對(duì)于D，設(shè)的公比為，則，當(dāng)時(shí)，不是常數(shù)，所以不是等比數(shù)列，所以D錯(cuò)誤．故選：AC11．（24-25高三上·江西贛州·開學(xué)考試）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件：，，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．是數(shù)列中的最大值D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】ABC【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列的單調(diào)性【分析】根據(jù)條件判斷，分和兩情況討論得成立與否得出，即可判斷A；對(duì)于B，利用A的結(jié)論和等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)即可判定；對(duì)于C，D，由前面推得的即可判斷.【詳解】對(duì)于A，由可得，（*），由可得.當(dāng)時(shí)，因，則，即（*）不成立；當(dāng)時(shí)，，（*）成立，故，即A正確；對(duì)于B，因，故B正確；對(duì)于C,D，由上分析，且，則是數(shù)列中的最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，的值為.【答案】99【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和【分析】由裂項(xiàng)求和法求和，列方程即可求解.【詳解】∵，∴．由，解得．故答案為：9913．（24-25高二上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知數(shù)列均為等差數(shù)列，且其前n項(xiàng)和分別為和.若，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問題【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡，結(jié)合條件求出答案即可．【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，所以，故答案為：．14．（23-24高一下·上海·期中）將正整數(shù)分解成兩個(gè)正整數(shù)的積，即，當(dāng)兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)是的最優(yōu)分解時(shí)，定義，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和【分析】分為奇數(shù)和偶數(shù)，按照最優(yōu)分解定義，求數(shù)列的通項(xiàng)，再求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，故數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)新概念的理解，并對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（24-25高三上·山東日照·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】（1）采用累乘法直接求解即可；（2）由（1）可得，采用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，滿足；綜上所述：.（2）由（1）知：，.16．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)于，將數(shù)列中落在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）通過解不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列，設(shè)公差為..（2）由（1）得，，，，，…，，.17．（23-24高二下·四川德陽·期末）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列an(2)令，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為.求證：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析（3）先證明數(shù)列為遞減數(shù)列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可；【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．因?yàn)?，所以，所以，令，可得，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）知，所以，所以，兩式相減，可得，所以，所以．（3）若對(duì)一切恒成立，只需要的最大值小于或等于．因?yàn)?，所以，所以?shù)列的最大項(xiàng)為和，且．所以，即，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．（24-25高三上·安徽蚌埠·開學(xué)考試）如果數(shù)列的任意相鄰三項(xiàng)，，滿足，則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”．(1)已知是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，．記．①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②判斷數(shù)列是不是“凸數(shù)列”，并證明你的結(jié)論；(2)設(shè)項(xiàng)正數(shù)數(shù)列是“凸數(shù)列”，求證：，，【答案】(1)①；②是“凸數(shù)列”，證明見解析；(2)證明見解析.【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、由基本不等式證明不等關(guān)系、數(shù)列新定義、數(shù)列不等式恒成立問題【分析】（1）