2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

二、多選題9．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．當(dāng)n＝15時(shí)，取得最大值為225 D．的最小值為110．（23-24高二下·全國(guó)·期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)為4，且滿足，則（

）A．為等差數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．的前項(xiàng)和D．的前項(xiàng)和三、填空題11．（2025·寧夏·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則使的的最大值為.12．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，則的公差的取值范圍為.四、解答題13．（23-24高二上·廣西南寧·期中）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求，并求的最大值.B能力提升1．（24-25高三上·山東煙臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前n項(xiàng)和有最大值，那么取最小正值時(shí)，n等于（

）A．4045 B．4046 C．4035 D．40343．（23-24高一下·天津）在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)4．（23-24高三上·河北唐山）已知是等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列中，去掉中的項(xiàng)，剩下的項(xiàng)按原來(lái)順序構(gòu)成數(shù)列，求的前40項(xiàng)和.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（2025·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)n為正整數(shù)，數(shù)列為正整數(shù)數(shù)列，且滿足數(shù)列和均為等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列為“五彩的”(1)判斷下列兩個(gè)數(shù)列是否為“五彩的”，并說(shuō)明理由；①有窮數(shù)列數(shù)列W：1，5，2，4，3，2；②無(wú)窮數(shù)列，通項(xiàng)公式為(2)若數(shù)列為“五彩的”且嚴(yán)格單調(diào)遞增.（i）證明：數(shù)列和公差相等；（ii）證明：數(shù)列一定為等差數(shù)列.第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（22-23高二上·河北保定·期末）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：D2．（24-25高三上·江西九江·開(kāi)學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．48 B．42 C．24 D．21【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】利用等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)求出的值，再由等差數(shù)列的求和公式即可求得.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，故，則.故選：B.3．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝、朱世杰等研究過(guò)高階等差數(shù)列的求和問(wèn)題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】根據(jù)數(shù)列前項(xiàng)和的概念直接可得解.【詳解】設(shè)，則，，，因此前項(xiàng)和，故選：B.4．（23-24高二上·湖南常德·階段練習(xí)）已知公差為?2的等差數(shù)列是其前項(xiàng)和，且.若對(duì)任意都有，則的值為（

）A．6 B．7 C．6或7 D．8【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值【分析】利用求出，進(jìn)而求得an的，然后求出的最大值，以及對(duì)應(yīng)的下標(biāo)的值即可得解.【詳解】令等差數(shù)列an的公差，則，所以，解得，所以，又，所以當(dāng)或時(shí)，，即或，，故對(duì)任意都有，的值為6或7.故選：C5．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的前9項(xiàng)和等于（

）A．27 B． C．45 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】根據(jù)題意可知是等差數(shù)列，首項(xiàng)和公差知道，進(jìn)而可以求前項(xiàng)和.【詳解】由題可得（常數(shù)）,所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列,所以所以故選：A.6．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）已知數(shù)列an滿足，，則的值為（

）A．1000 B．1013 C．1011 D．1012【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列【分析】由遞推式變形知是等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】由，得，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以，所以.故選：D.7．（23-24高二下·四川綿陽(yáng)·期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（

）A．32 B．64C．84 D．108【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，又，即，解得，所?故選：C8．（23-24高三下·西藏拉薩·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為.若成等差數(shù)列，且，則（

）A．12 B．21 C．32 D．56【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)的應(yīng)用、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】設(shè)公差，利用等差中項(xiàng)概念得方程，解方程求出，繼而利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)閿?shù)列an的公差為則，因成等差數(shù)列，則有，即，兩邊取平方整理得，再兩邊取平方整理得，，解得或（因，故舍去）.故當(dāng)時(shí)，.故選：C.二、多選題9．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．當(dāng)n＝15時(shí)，取得最大值為225 D．的最小值為1【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】利用已知可求得，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，再結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得，，，?duì)于A．令n＝9，解得，故A正確；對(duì)于B．d＝－2＜0，數(shù)列是遞減數(shù)列，因此數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C．，當(dāng)n＝15時(shí)，取得最大值為225．故C正確；對(duì)于D．，令，，∴f（n）在時(shí)單調(diào)遞增，∴f（n）的最小值為f（1）＝1，故D正確.故選：ACD.10．（23-24高二下·全國(guó)·期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)為4，且滿足，則（

）A．為等差數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．的前項(xiàng)和D．的前項(xiàng)和【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、由定義判定等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法求和【分析】由得，所以可知數(shù)列是以首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，從而可求出，可得數(shù)列為遞增數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法可求得的前項(xiàng)和，由于，從而利用等差數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】由，得，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，顯然遞增，故B正確；因?yàn)?，，所以，故，故C正確；因?yàn)?，所以的前?xiàng)和，故D正確．故選：BCD．三、填空題11．（2025·寧夏·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則使的的最大值為.【答案】21【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】由題意可得，再由，可得，求解即可得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，得，由于，得，由，得，即，整理，得，得，解得，且，則的最大值為21.故答案為：2112．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，則的公差的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值、根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值求參數(shù)【分析】由題意可得，列出不等式組，即可求解．【詳解】由題意可得，，，即，解得，故的取值范圍為．故答案為：．四、解答題13．（23-24高二上·廣西南寧·期中）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求，并求的最大值.【答案】(1)；(2)，最大值為16【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值【分析】（1）設(shè)出公差，得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式；（2）利用等差數(shù)列求和公式得到，配方求出最大值.【詳解】（1）設(shè)公差為，則，解得，故an的通項(xiàng)公式為；（2），由于，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.B能力提升1．（24-25高三上·山東煙臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、等差中項(xiàng)的應(yīng)用【分析】由實(shí)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的最小值為，得，即可得到的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，所以，所以，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，則，可得；若且，則，當(dāng)時(shí)，，時(shí)上式成立，于是，上式對(duì)和同樣成立，故答案為：，．4．（23-24高三上·河北唐山）已知是等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列中，去掉中的項(xiàng)，剩下的項(xiàng)按原來(lái)順序構(gòu)成數(shù)列，求的前40項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)2756【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）設(shè)an的公差為，bn的公比為，，可求，由已知可求得，可求得，可求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；（2）易求得去掉an的項(xiàng)，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求.【詳解】（1）設(shè)an的公差為，正項(xiàng)數(shù)列bn的公比為，由，可得，即，解得或（舍），所以，由可得，即，解得，所以.（2），，，.記為an的前項(xiàng)和，則的前40項(xiàng)和.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（2025·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)n為正整數(shù)，數(shù)列為正整數(shù)數(shù)列，且滿足數(shù)列和均為等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列為“五彩的”(1)判斷下列兩個(gè)數(shù)列是否為“五彩的”，并說(shuō)明理由；①有窮數(shù)列數(shù)列W：1，5，2，4，3，2；②無(wú)窮數(shù)列，通項(xiàng)公式為(2)若數(shù)列為“五彩的”且嚴(yán)格單調(diào)遞增.（i）證明：數(shù)列和公差相等；（ii）證明：數(shù)列一定為等差數(shù)列.【答案】(1)①不是，②是，理由見(jiàn)解析(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】判斷等差數(shù)列、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、數(shù)列新定義【分析】（1）根據(jù)數(shù)列定義判斷證明即可；（2）分別應(yīng)用定義結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證明即可【詳解】（1）①不是中不是等差數(shù)列，①不是“五彩的”；②是