2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第04講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

8．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，若時(shí)，恒有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．（2024·江西·一模）已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2三、填空題11．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若不等式xex－exlnx＞mx－ex恒成立，則正整數(shù)m的最大值為．12．（22-23高二下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意的都有成立，那么為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”．已知，，若為函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍．四、解答題13．（23-24高二下·湖北十堰·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：對(duì)，恒成立．14．（23-24高二上·陜西榆林·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.15．（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）設(shè)函數(shù).(1)求的極值；(2)若對(duì)任意，有恒成立，求的最大值.B能力提升1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)），對(duì)，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值與最小值之和為（）A．8 B．6 C．5 D．22．（23-24高二下·湖南永州·開學(xué)考試）若對(duì)任意的，且，都有成立，則的最大值為（

）A． B．1 C．e D．3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函數(shù)若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·山西運(yùn)城·期末）若對(duì)任意的，且，都有成立，則m的取值范圍為．5．（23-24高二下·云南·開學(xué)考試）已知函數(shù)，對(duì)任意且，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（2023·上海普陀·一模）若函數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱在上具有性質(zhì)．①在上的導(dǎo)數(shù)存在；②在上的導(dǎo)數(shù)存在，且（其中）恒成立．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說明理由．(2)設(shè)、均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)設(shè)且，對(duì)于任意的，不等式成立，求的最大值．第04講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（22-23高二下·寧夏銀川·階段練習(xí)）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，只需，用導(dǎo)數(shù)法求出，即可求解.【詳解】,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，所以取得極小值，也是最小值，，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（21-22高二下·廣東廣州·期中）函數(shù)，若恒有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】恒成立，即有的最小值大于等于0.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，∴.故選：C.3．（22-23高三上·河南駐馬店·期中）已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由的幾何意義，得函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在內(nèi)恒成立，可得在內(nèi)恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】因?yàn)榈膸缀我饬x，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率，∵實(shí)數(shù)，在區(qū)間內(nèi)，不等式恒成立，∴函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在內(nèi)恒成立，∴在內(nèi)恒成立，由函數(shù)的定義域知，，所以在內(nèi)恒成立，由于二次函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，故，∴，∴．故選：A.4．（22-23高二下·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，利用分類討論、構(gòu)造函數(shù)求最值和二次函數(shù)的性質(zhì)，求解實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，可得，設(shè)，可得，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，可得，，即；當(dāng)時(shí)，，故的解為或，時(shí)，要滿足恒成立，只需滿足，即．綜上，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：C．5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值集合是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，就、分類討論后可得，利用導(dǎo)數(shù)可求.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，即，這與題設(shè)矛盾.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，故，故，故，設(shè)，則且恒成立，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，故，故即，此時(shí)，故選：D.6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A． B．1C． D．【答案】C【分析】設(shè)，就、分類討論后可求實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故為上的增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，故不恒成立，舍；當(dāng)時(shí)，恒成立，符合要求；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)；故，故，故實(shí)數(shù)的最大值，故選：C.7．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)不等式作等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，再分離參數(shù)求解即得.【詳解】函數(shù)，，，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而不等式為，因此，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，因此，于是，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B8．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，若時(shí)，恒有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由分類討論即可得解.【詳解】由，得，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，則存在，使得，且當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故不恒成立，綜上所述，的取值范圍是.故選：B.二、多選題9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ABC【分析】根據(jù)題意可得，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論解決恒成立問題.【詳解】若恒成立，則恒成立，構(gòu)建，則，∵，故，則有：當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即符合題意，故滿足條件的正整數(shù)為1或2；當(dāng)，即時(shí)，令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，構(gòu)建，則當(dāng)時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，∵，故滿足的整數(shù)；綜上所述：符合條件的整數(shù)為1或2或3，A、B、C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．（2024·江西·一模）已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【答案】BCD【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式判斷對(duì)稱性，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，根據(jù)對(duì)稱性和單調(diào)性得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；令，則，時(shí)，，，所以，所以為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).由對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù).因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，即，解?故選：BCD.三、填空題11．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若不等式xex－exlnx＞mx－ex恒成立，則正整數(shù)m的最大值為．【答案】5【詳解】由題意可知xex－exlnx＋ex＞mx，即x－lnx＋1＞恒成立．令f(x)＝x－lnx＋1，f′(x)＝1－＝.當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，即最小值，f(x)min＝f(1)＝2.令g(x)＝，則g′(x)＝＝，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減．∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)g(x)取得極大值，即最大值，g(x)max＝g(1)＝.∴{f(x)－mg(x)}min＝f(1)－mg(1)＝2－＞0，得m＜2e∈(5，6)，∴正整數(shù)m的最大值為5.12．（22-23高二下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意的都有成立，那么為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”．已知，，若為函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)題意知，令，求出即可.【詳解】由題意可知對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，從而得對(duì)任意的恒成立，設(shè)，，則，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.故答案為:.四、解答題13．（23-24高二下·湖北十堰·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：對(duì)，恒成立．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可；（2）由（1）得函數(shù)的最小值，再利用換元法即可證明；【詳解】（1），令，則；令，則．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）可得，即，令，代入可得，即，所以對(duì)，恒成立．14．（23-24高二上·陜西榆林·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用二次導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的最值情況，證得，從而得證.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：恒成立問題：（1）恒成立；恒成立．（2）恒成立；恒成立．（3）恒成立；恒成立；（4），，．15．（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）設(shè)函數(shù).(1)求的極值；(2)若對(duì)任意，有恒成立，求的最大值.【答案】(1)極小值，無極大值；(2).【分析】（1）求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性即可確定極值;（2）分離參數(shù)并構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可求解.【詳解】（1）.令，得，令，得.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.在處取得極小值，無極大值.（2）對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.令，則只需即可..易知均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增且.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增..故，故的最大值為.B能力提升1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)），對(duì)，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值與最小值之和為（）A．8 B．6 C．5 D．2【答案】B【分析】將在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立求解.【詳解】由在上恒成立，可得，即在上恒成立，只需求出的最小值，的最大值.設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞減，得.再設(shè)，易得在上單調(diào)遞減，∴，故有.若存在，則必有，即，又，且n為整數(shù)，故滿足要求，的整數(shù)都不成立，故整數(shù)n的最大值為4，最小值為2，∴最大值與最小值之和為6.故選：B.2．（23-24高二下·湖南永州·開學(xué)考試）若對(duì)任意的，且，都有成立，則的最大值為（

）A． B．1 C．e D．【答案】A【分析】將已知不等式變形為，令，將問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此可得的最大值.【詳解】由可得，由,且,所以，即，令，則在上單調(diào)遞增，所以，令，則,當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；所以，故.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數(shù)不同函數(shù)值之間大小關(guān)系的比較問題，通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的問題.3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函數(shù)若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分，，三種情況討論，將恒成立問題分參轉(zhuǎn)化為最值問題，借助導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即，即對(duì)任意恒成立，令在上單調(diào)遞減，則，故.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即，即，對(duì)任意恒成立，令，其中，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，要使在恒成立，則在恒成立，即在恒成立，令，則在上單調(diào)遞減，，所以.綜上所述：的取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用參變分離，再運(yùn)用函數(shù)的思想研究不等式，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值.4．（23-24高二上·山西運(yùn)城·期末）若對(duì)任意的，且，都有成立，則m的取值范圍為．即在上恒成立，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（2023·上海普陀·一模）若函數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱在上具有性質(zhì)．①在上的導(dǎo)數(shù)存在；②在上的導(dǎo)數(shù)存在，且（其中）恒成立．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說明理由．(2)設(shè)、均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)設(shè)且，對(duì)于任意的，不等式成立，求的最大值．【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)；(2)存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)，的取值范圍是；(3)的最大值為.【分析】（1）令，按照題目所給定義，求出和，并判斷是否恒成立即可；（2）先利用為奇函數(shù)且在處取得極值求出實(shí)數(shù)，的值，再按照題目所給定義，求出，即可求出的取值范圍；（3）分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，通過的最小值，即可確定正整數(shù)的最大值.【詳解】（1）令，，則，，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)；