2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第09講拓展四：三角形中周長(定值最值取值范圍)問題(精講)(學(xué)生版+解析)

第09講拓展四：三角形中周長（定值，最值，取值范圍）問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高頻考點一遍過 2高頻考點一：周長（邊長）定值（求周長） 2高頻考點二：周長（邊長）定值（求邊的代數(shù)和） 3高頻考點三：周長（邊長）最值（周長最值） 4高頻考點四：周長（邊長）最值（邊的代數(shù)和最值） 6高頻考點五：周長（邊長）取值范圍（周長取值范圍） 7高頻考點六：周長（邊長）取值范圍（邊的代數(shù)和取值范圍） 8頻考點七：周長（邊長）取值范圍（銳角三角形中周長（邊長）取值范圍） 10第一部分：基礎(chǔ)知識1、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在結(jié)合余弦定理求周長取值范圍；2、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周長（邊長）公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：周長（邊長）定值（求周長）典型例題例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為的外接圓半徑為，且．(1)求的值；(2)若的面積為，求的周長．例題2．（2024·湖南常德·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．(1)求角；(2)若，，成等差數(shù)列，且的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)15練透核心考點1．（23-24高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.(1)求角的大??；(2)若，且，求的周長.2．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)已知的面積為，設(shè)為的中點，且，求的周長．高頻考點二：周長（邊長）定值（求邊的代數(shù)和）典型例題例題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．(1)求；(2)若，，求．例題2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，的面積為，且.(1)求角的大小；(2)若外接圓的半徑為1，邊上的高為，求的值.練透核心考點1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．(1)求；(2)若,，求．2．（23-24高三上·廣東湛江·期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.(1)求角A；(2)作角A的平分線與交于點，且，求.高頻考點三：周長（邊長）最值（周長最值）典型例題例題1．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）中，D為BC邊的中點，.(1)若的面積為，且，求的值；(2)若，求的周長的最大值.例題2．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）如圖，中，角、、的對邊分別為、、.(1)若，求角的余弦值大?。?2)已知、，若為外接圓劣弧上一點，求周長的最大值.練透核心考點1．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．(1)若，證明：；(2)若，求周長的最大值．2．（23-24高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且的面積為(1)求；(2)求周長的最小值.高頻考點四：周長（邊長）最值（邊的代數(shù)和最值）典型例題例題1．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）記的角的對邊分別為，且．(1)求；(2)若，求的最小值．例題2．（23-24高三上·福建福州·期中）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè).(1)求A；(2)若AD為∠BAC的角平分線，且，求的最小值.練透核心考點1．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，，，且.(1)求角的大小；(2)若的中點為且，，請寫出與的關(guān)系式，并求出的最大值.2．（22-23高一下·安徽六安·期末）從條件①；②中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.在中：內(nèi)角的對邊分別為，______.(1)求角的大??；(2)設(shè)為邊的中點，求的最大值.高頻考點五：周長（邊長）取值范圍（周長取值范圍）典型例題例題1．（23-24高一下·河南商丘·階段練習(xí)）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知，且．(1)求的值；(2)若為的延長線上一點，且，求三角形周長的取值范圍．例題2．（23-24高三上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）的三個內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量，，且.(1)求角C的大小；(2)若，求周長的取值范圍.例題2．（23-24高一下·浙江寧波·階段練習(xí)）在銳角中，已知.(1)求；(2)求的取值范圍.例題3．（23-24高一上·浙江紹興·期末）在中，內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，，，若.(1)證明：；(2)求的取值范圍.練透核心考點1．（23-24高一下·上海·假期作業(yè)）在中，已知，且.(1)試確定的形狀；(2)求的值．2．（22-23高一下·江蘇·階段練習(xí)）在銳角三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求角B的值；(2)若，求的取值范圍．3．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若為的內(nèi)心，求的取值范圍.頻考點七：周長（邊長）取值范圍（銳角三角形中周長（邊長）取值范圍）典型例題例題1．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．例題2．（23-24高三下·黑龍江·階段練習(xí)）已知在銳角三角形中，邊，，對應(yīng)角，向量，，且與垂直，．(1)求角；(2)求的取值范圍．例題3．（2023·四川成都·一模）已知函數(shù).在銳角中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求A的值；(2)若，求的取值范圍.練透核心考點1．（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)證明：；(2)求的取值范圍.2．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)證明：；(2)若，求的周長的取值范圍.3．（22-23高三上·浙江麗水·期末）已知銳角內(nèi)角的對邊分別為.若.(1)求；(2)若，求的范圍.第09講拓展四：三角形中周長（定值，最值，取值范圍）問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高頻考點一遍過 1高頻考點一：周長（邊長）定值（求周長） 1高頻考點二：周長（邊長）定值（求邊的代數(shù)和） 5高頻考點三：周長（邊長）最值（周長最值） 8高頻考點四：周長（邊長）最值（邊的代數(shù)和最值） 11高頻考點五：周長（邊長）取值范圍（周長取值范圍） 15高頻考點六：周長（邊長）取值范圍（邊的代數(shù)和取值范圍） 20頻考點七：周長（邊長）取值范圍（銳角三角形中周長（邊長）取值范圍） 27第一部分：基礎(chǔ)知識1、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在結(jié)合余弦定理求周長取值范圍；2、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周長（邊長）公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：周長（邊長）定值（求周長）典型例題例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為的外接圓半徑為，且．(1)求的值；(2)若的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)輔助角公式結(jié)合已知即可得解；（2）由（1）求出，再根據(jù)正弦定理可得出的關(guān)系，再根據(jù)三角形的面積公式求出邊長，即可得解.【詳解】（1）由，結(jié)合正弦定理，得，化簡得，因為，且不同時為鈍角，則，所以，又，所以，因此；（2）由（1）知，則，由正弦定理得，令，則，則，解得，因此的周長為．例題2．（2024·湖南常德·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．(1)求角；(2)若，，成等差數(shù)列，且的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)15【分析】（1）先利用正弦定理角化邊得出；再結(jié)合余弦定理得出即可求解.（2先根據(jù)，，成等差數(shù)列得出；再利用三角形的面積公式得出；最后結(jié)合(1)中的，求出，，即可解答.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：.由余弦定理可得：.又因為，所以.（2）由,,成等差數(shù)列可得：①.因為三角形的面積為，，，即②.由(1)知：③由①②③解得：.，故三角形的周長為15.練透核心考點1．（23-24高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.(1)求角的大??；(2)若，且，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求解，即可求解三角形的周長.【詳解】（1）由正弦定理得，因為，則，所以，所以，因為，所以；（2）因為，且，所以，由余弦定理可得，所以，解得，因此周長為.2．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)已知的面積為，設(shè)為的中點，且，求的周長．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理及三角恒等變換化簡即可得解；（2）由中線的向量表示平方后化簡，由三角形面積公式可求出，再由余弦定理求出即可.【詳解】（1）由題意知中，，由正弦定理邊角關(guān)系得：，所以，因，所以，所以，所以，又，所以，即．（2）在中，為中線，，，，，，，，的周長為．高頻考點二：周長（邊長）定值（求邊的代數(shù)和）典型例題例題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．(1)求；(2)若，，求．【答案】(1)；(2)20.【分析】（1）由三角形的面積公式和正弦定理求解即可.（2）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由正弦定理求出，最后由余弦定理求解即可.【詳解】（1）由題意可知，，由，得，由正弦定理可知，，由，得，即（或由正弦定理可知：，因為，所以.）（2）由，可知角為銳角，所以，得，，因為，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得例題2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，的面積為，且.(1)求角的大??；(2)若外接圓的半徑為1，邊上的高為，求的值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用三角形面積公式與余弦定理的邊角變換即可得解；（2）利用正弦定理求得，再利用三角形面積公式求得，從而利用整體法，結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】（1），即，即，所以，又，則.（2）由外接圓的半徑為1，得，，邊上的高為，所以，則，所以，，，即，故.練透核心考點1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．(1)求；(2)若,，求．【答案】(1)(2)12【分析】（1）由三角形面積公式、正弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系得解；（2）根據(jù)三角恒等變換化簡后由正余弦定理求解即可.【詳解】（1）由題意可知，，由正弦定理可知：，因為，所以.（2）由，可知角為銳角，所以，得，，所以，由，又，得，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得.2．（23-24高三上·廣東湛江·期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.(1)求角A；(2)作角A的平分線與交于點，且，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互化，化簡后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分線將三角形面積進(jìn)行分割化簡得，再運用余弦定理解方程即得.【詳解】（1）因，由正弦定理可得：，即.因，故，則有，即，因，故.（2）因為為角平分線，所以，所以.因，，，則，即，所以.又由余弦定理可得：，把，分別代入化簡得：，解得：或（舍去），所以.高頻考點三：周長（邊長）最值（周長最值）典型例題例題1．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）中，D為BC邊的中點，.(1)若的面積為，且，求的值；(2)若，求的周長的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)三角形的面積之和等于的面積，求得，結(jié)合余弦定理求得，再由正弦定理即可求得；（2）根據(jù)，結(jié)合已知條件求得，再利用不等式即可求得三角形周長的最大值.【詳解】（1）設(shè)，由，即，解得；在中，，由余弦定理得，，即，解得；由正弦定理得：，即，解得.（2）設(shè)，，則中，，中，，因為，，所以，即；由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，即的周長的最大值為.例題2．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）如圖，中，角、、的對邊分別為、、.(1)若，求角的余弦值大??；(2)已知、，若為外接圓劣弧上一點，求周長的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用三角形內(nèi)角和定理與和角的正弦公式化簡即得；（2）由余弦定理得到的關(guān)系式，利用基本不等式求得，即得周長的最大值.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得即，則，整理得，而，即.（2）在中，，由余弦定理得，即，于是，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，周長取得最大值.練透核心考點1．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．(1)若，證明：；(2)若，求周長的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)6【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合題設(shè)可得，再利用正弦定理邊化角，即可證明結(jié)論；（2）由可推出，利用基本不等式可推出，即可求得周長的最大值.【詳解】（1）證明：由余弦定理知和，得，又，則，結(jié)合正弦定理得，；（2）由（1）知，又，故，即，，所以，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故，即周長的最大值為6.2．（23-24高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且的面積為(1)求；(2)求周長的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）已知條件結(jié)合余弦定理求出，得角；（2）由的面積求出，余弦定理得，由基本不等式求周長的最小值.【詳解】（1）由，得，即，則，由，得.（2），得，由余弦定理，有，得，周長，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以周長的最小值為.高頻考點四：周長（邊長）最值（邊的代數(shù)和最值）典型例題例題1．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）記的角的對邊分別為，且．(1)求；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；（2）先利用正弦定理求出，再根據(jù)二倍角公式和商數(shù)關(guān)系結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）因為，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因為，所以；（2）由正弦定理：，，則，又因為代入得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為3．例題2．（23-24高三上·福建福州·期中）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè).(1)求A；(2)若AD為∠BAC的角平分線，且，求的最小值.【答案】(1)(2)9【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理將角轉(zhuǎn)化成邊，然后再根據(jù)余弦定理求解即可；（2）首先根據(jù)已知條件結(jié)合等面積的關(guān)系求出，然后再根據(jù)均值定理進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），即：，由正弦定理可得：，所以，又因為，所以.（2）為的角平分線，.由，得，又，所以，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最小值為9.練透核心考點1．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若的中點為且，，請寫出與的關(guān)系式，并求出的最大值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用正弦定理及兩角和得正弦公式即可求得，結(jié)合角的范圍可知；（2）依題意在中由正弦定理可得，即可得，利用輔助角公式可知，結(jié)合角的范圍及三角函數(shù)單調(diào)性可得的最大值為.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，即可得，所以，又，所以，所以，又，所以；（2）如下圖所示：

依題意，則在中，由知，又，利用正弦定理得，所以，，又，所以，，所以，因為，所以，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性可知，所以，即的最大值為.2．（22-23高一下·安徽六安·期末）從條件①；②中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.在中：內(nèi)角的對邊分別為，______.(1)求角的大??；(2)設(shè)為邊的中點，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角，結(jié)合輔助角公式可整理得到，由角的范圍可求得；若選②，利用二倍角和輔助角公式可化簡求得，由角的范圍可求得；（2）由，平方后可用表示出，結(jié)合基本不等式可求得最大值.【詳解】（1）若選條件①：由正弦定理得：，，，，，即，，又，，，解得：；若選條件②：，，，，，，解得：.（2），，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最大值為.高頻考點五：周長（邊長）取值范圍（周長取值范圍）典型例題例題1．（23-24高一下·河南商丘·階段練習(xí)）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知，且．(1)求的值；(2)若為的延長線上一點，且，求三角形周長的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，即可得結(jié)果；（2）在中，可得，，在中，利用正弦定理結(jié)合三角函數(shù)可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，則，整理得，由正弦定理可得，即，且，所以.（2）在中，由題意可知：，，可知，由余弦定理可得，即，在中，由正弦定理，可得，因為且為銳角三角形，則，解得，則，可得，所以，且三角形周長為，所以三角形周長的取值范圍為.例題2．（23-24高三上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）的三個內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量，，且.(1)求角C的大小；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)形式，得到邊和角之間的等式關(guān)系，根據(jù)正弦定理將角化為邊，解得邊之間關(guān)系，再根據(jù)余弦定理即可求解；（2）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求周長為：，由，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題知向量，，且.所以，由正弦定理可得，所以，所以，因為，所以；（2）因為，，，所以，，所以.因為，所以，所以，所以，所以，即周長的取值范圍為.練透核心考點1．（22-23高二上·湖南岳陽·期末）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下列問題中，并解決該問題.在中，角所對的邊分別為，__________，且.求：(1)；(2)周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①由三角恒等變換可得求出角，選②由三角形面積公式及數(shù)量積公式化簡得出即可求解，選③轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，利用正弦定理、余弦定理求出得解；（2）由正弦定理及三角恒等變換可得，利用正弦函數(shù)的值域求范圍即可得解.【詳解】（1）若選①，由正弦定理得：，，，，，.若選②，，，，.若選③，，由正弦定理得：，由余弦定理得：，，.（2）,，，，，，即，所以△ABC周長的取值范圍.2．（22-23高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若的角平分線交于點D．

(1)若，求的長度；(2)若為銳角三角形，且的角平分線交于點E，且與交于點O，求周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由關(guān)系，結(jié)合面積公式列方程求解；（2）由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換化簡求，結(jié)合正弦定理利用角表示，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的范圍，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）因為為的角平分線，，所以，因為所以，

所以.（2）在中，由正弦定理得，，所以，

又，則，又，所以，又，則.

在，由正弦定理得，，所以，

因為是銳角三角形，所以，于是，則，所以，所以，從而，

所以三角形周長的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是首先是求出，再利用正弦定理和三角恒等變換得到，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到其值域，則得到周長的范圍.高頻考點六：周長（邊長）取值范圍（邊的代數(shù)和取值范圍）典型例題例題1．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）在中，角，，的對邊分別是，，，且.(1)求的大小；(2)設(shè)的中點為，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式得到，即可得到，再由輔助角公式計算可得；（2）設(shè)，則，則，利用正弦定理表示出、，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，利用三角恒等變換公式化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，所以，即，則.因為，所以，即，所以，又，所以，所以，解得.（2）設(shè)，則，則，根據(jù)正弦定理可得，所以，，所以，由，得，所以，故的取值范圍為.例題2．（23-24高一下·浙江寧波·階段練習(xí)）在銳角中，已知.(1)求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再借助三角函數(shù)和差角公式化簡可解；（2）利用正弦定理邊化角，再借助輔助角公式化簡求范圍.【詳解】（1）由題意，根據(jù)正弦定理可得，則，展開可得，.（2）由正弦定理，則，其中，是銳角三角形，，.，，顯然，當(dāng)時，，.例題3．（23-24高一上·浙江紹興·期末）在中，內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，，，若.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理，以及余弦定理將條件變形整理可得結(jié)論；（2）由已知變形可得，然后利用換元法求的取值范圍.【詳解】（1）解法1：，即證.解法2：要證，只要證，即證只要證，因為，所以成立，故；（2），設(shè).練透核心考點1．（23-24高一下·上海·假期作業(yè)）在中，已知，且.(1)試確定的形狀；(2)求的值．【答案】(1)直角三角形；(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊化簡已知等式可得，結(jié)合兩角和差的余弦公式以及正弦定理化簡可得，即可推出，從而可判斷三角形形狀；（2）由（1）可得，運算即可得解.【詳解】（1）在中，設(shè)其外接圓半徑為R，根據(jù)正弦定理得，，代入，得，所以①，因為，所以，所以，由正弦定理，得，所以②，把②代入①得，，即，所以是直角三角形；（2）由（1）知，即，所以，又，所以，所以.2．（22-23高一下·江蘇·階段練習(xí)）在銳角三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求角B的值；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角后整理化簡即可；（2）利用正弦定理得到，則，利用三角公式變形整理，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】（1）因為，由正弦定理邊化角可得，所以，又，所以，又為銳角，則；（2）由正弦定理，則，所以，，因為在銳角三角形中，得，所以，則，所以的取值范圍為.3．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若為的內(nèi)心，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理與正余弦兩角和差公式得，從而求解.（2）結(jié)合（1）及的內(nèi)心作出圖像，求得，并利用正弦定理得，從而求解.【詳解】（1）由及正弦定理，得：即：，所以：，又：，所以：，又：，所以：，所以：.（2）因為，所以，如圖，連接，因為為的內(nèi)心，所以：，所以：，設(shè)，則.在中，由正弦定理得:，所以：，所以：，其中：，因為，所以不妨取，又，所以，其中，當(dāng)時，取得最大值.因為，所以，又，所以，綜上，的取值范圍是.

頻考點七：周長（邊長）取值范圍（銳角三角形中周長（邊長）取值范圍）典型例題例題1．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行角化邊，然后根據(jù)余弦定理求解出的值，即可求出角；（2）法一：根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)三角恒等變換化簡可得，再根據(jù)的范圍求解即可；