北師大版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題4.4相似三角形的性質(zhì)【十大題型】專題特訓(xùn)（學(xué)生版+教師版）

專題4.4相似三角形的性質(zhì)【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求解】 2【題型2運(yùn)用相似三角形解決折疊問題】 2【題型3運(yùn)用相似三角形解決三角板問題】 3【題型4運(yùn)用相似三角形解決裁剪問題】 5【題型5運(yùn)用相似三角形解決格點(diǎn)問題】 7【題型6運(yùn)用相似三角形探究線段之間的關(guān)系】 9【題型7運(yùn)用相似三角形解決尺規(guī)作圖問題】 10【題型8運(yùn)用相似三角形解決動(dòng)點(diǎn)問題】 12【題型9運(yùn)用相似三角形解決最值問題】 13【題型10運(yùn)用相似三角形解決多結(jié)論問題】 14知識(shí)點(diǎn)1：相似三角形的性質(zhì)①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求解】【例1】（23-24九年級(jí)·四川成都·期末）若△ABC∽△A1B1C1，且ABA1B1＝A．83 B．6 C．9 【變式1-1】（23-24九年級(jí)·江蘇連云港·期末）已知△ABC∽△DEF,△ABC的三條邊分別為6、8、10，若△DEF的最短邊為3，則最長(zhǎng)邊為【變式1-2】（23-24九年級(jí)·山東威?！て谀┤鐖D，點(diǎn)P在△ABC的邊AB上，∠A=70°，∠B=45°，若△ABC∽△ACP，則∠APC=（

）A．45° B．55° C．65° D．75°【變式1-3】（23-24九年級(jí)·陜西西安·期末）已知兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2:3，它們的面積之差為40，那么它們的面積之和為．【題型2運(yùn)用相似三角形解決折疊問題】【例2】（23-24九年級(jí)·安徽六安·期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)C落在△ABC邊上C′處，并且C′D∥BC

A．132 B．15625 C．254【變式2-1】（23-24九年級(jí)·湖北十堰·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形ABCD的邊AD=5，OA:OD=1:4，將矩形ABCD沿直線OE折疊到如圖所示的位置，線段OD恰好經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)C落在y軸的點(diǎn)C1位置，點(diǎn)E的坐標(biāo)是【變式2-2】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形紙片ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將紙片沿CE折疊，點(diǎn)B落在B′處，CB′⊥AD，垂足為F．若CF=4cm，F(xiàn)【變式2-3】（23-24九年級(jí)·江蘇淮安·期中）在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．

圖1

圖2(1)如圖1，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求APDE(2)如圖2，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)．【題型3運(yùn)用相似三角形解決三角板問題】【例3】（2024·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè)）將一副三角板如圖所示擺放，△ABC為等腰Rt△ABC，∠ABC=∠BAD=90°，∠ABD=30°，AB=63，記DB交AC于E．若AC上有一點(diǎn)F滿足∠DBF=45°，則EF的長(zhǎng)為（A．66?63 B．18?63 C．【變式3-1】（23-24九年級(jí)·內(nèi)蒙古包頭·期末）如圖，將一副三角板按圖疊放，則AOOC的值為【變式3-2】（23-24九年級(jí)·山東濟(jì)南·期中）【問題背景】△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，小熙拿含45°角的透明三角板，使45°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板可繞P【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】（1）如圖1，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)，以下結(jié)論正確的是：_______；①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP=∠CPF【用數(shù)學(xué)的思維思考】（2）將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖2情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊AC于點(diǎn)E、F．△BPE與△CFP相似嗎？請(qǐng)說明理由；【用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)】（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPE∽△PFE？說明理由．

【變式3-3】（23-24九年級(jí)·山東濟(jì)南·期中）如圖，把兩塊全等的等腰直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)E與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)重合，其中∠BAC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6．把三角板ABC固定不動(dòng)，三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)E沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，其中0°<α<90°．設(shè)射線ED與射線BA相交于點(diǎn)P，射線EF與線段CA相交于點(diǎn)Q（當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖3所示位置時(shí)，線段EP交線段CA于點(diǎn)M）．(1)如圖1，當(dāng)射線EF經(jīng)過點(diǎn)A，即點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，易證△BPE∽△CEQ．此時(shí)，(2)當(dāng)三角板DEF轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，BP?CQ的值是否改變？說明你的理由；(3)在三角板DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，兩三角板重合部分的面積是否可能為154？若可能，直接寫出此時(shí)CQ【題型4運(yùn)用相似三角形解決裁剪問題】【例4】（2024·山東菏澤·一模）包書皮是每位同學(xué)都經(jīng)歷過的事情，下面展示兩種包書皮的方法：方法一：方法二：

(1)一本字典長(zhǎng)為acm，寬為bcm，高為ccm，如果按方法一包書，將封面和封底各折進(jìn)去3cm，試用含a、b(2)現(xiàn)有1張一角污損的矩形包書紙，如右圖，矩形ABCD中，AB=30cm，BC=50cm，AE=12cm，AF=16cm．使用沒有污損的部分按方法二的方式包一本長(zhǎng)為19cm(3)在（2）的條件下，是否存在裁剪后最大的矩形也能包這本書，并說明理由．

【變式4-1】（23-24九年級(jí)·北京·期中）如圖，直角三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC邊長(zhǎng)為10cm．現(xiàn)從下往上依次裁剪寬為4cm的矩形紙條，如果剪得第二張矩形紙條恰好是正方形，那么BC的長(zhǎng)是cm．【變式4-2】（2024·河南駐馬店·二模）延時(shí)課上，同學(xué)們利用面積為100dm2的正方形紙板，制作一個(gè)正方體禮品盒(如圖所示裁剪)．則這個(gè)禮品盒的體積是【變式4-3】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）A4紙是由國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織的ISO216定義的，世界上多數(shù)國(guó)家所使用的紙張尺寸都是采用這一國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)．這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)最初是被魏瑪共和國(guó)在1922年納入DIN(編號(hào)是DIN476)，雖然其中一些格式法國(guó)在同一時(shí)期也自行研發(fā)出來，不過之后就被遺忘了．ISO216定義了A、B、C三組紙張尺寸．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第1次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的邊重合，由此可求出A4紙較長(zhǎng)邊與較短邊的比為．(2)探究遷移；將一張A4紙沿經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的直線折疊，展開后得折痕AC，再將其沿經(jīng)過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在OC上（O為兩條折痕的交點(diǎn)），設(shè)第二條折痕與AD交于點(diǎn)E．點(diǎn)E是否為AD的中點(diǎn)?請(qǐng)說明理由．(3)拓展應(yīng)用；利用一張A4紙經(jīng)過裁剪獲得一張邊長(zhǎng)為21cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG．試說明：G是AB【題型5運(yùn)用相似三角形解決格點(diǎn)問題】【例5】（23-24九年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）以下各圖均是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，圖中的點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．(1)在圖①中，PDPA(2)利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在線段AB上找一點(diǎn)P，使APBP②如圖③，在線段BC上找一點(diǎn)P，使△APB∽【變式5-1】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期末）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，請(qǐng)按要求作圖．

(1)在圖1中畫一個(gè)格點(diǎn)△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不為1）．(2)在圖2中畫一條格點(diǎn)線段BP，交AC于點(diǎn)Q，使CQ=2AQ．【變式5-2】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·階段練習(xí)）在5×5的方格中，△ABC是格點(diǎn)三角形（三角形的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上）(1)要求在圖1的方格中，畫一個(gè)與△ABC相似且相似比為整數(shù)（不為1）的格點(diǎn)三角形．(2)要求在圖2的方格中，畫一個(gè)與△ABC相似且相似比不為整數(shù)的格點(diǎn)三角形．(3)要求在圖3的方格中，畫一個(gè)與△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形．【變式5-3】（2024·江蘇無錫·一模）以下各圖均是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，圖中的點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．(1)在圖①中，PC：PB=(2)利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在AB上找一點(diǎn)P，使AP=3．②如圖③，在BD上找一點(diǎn)P，使△APB∽【題型6運(yùn)用相似三角形探究線段之間的關(guān)系】【例6】（2024·湖北·中考真題）在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊CD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，PG交BC于點(diǎn)H．(1)如圖1，求證：△DEP∽△CPH；(2)如圖2，當(dāng)P為CD的中點(diǎn)，AB=2，AD=3時(shí)，求GH的長(zhǎng)；(3)如圖3，連接BG，當(dāng)P，H分別為CD，BC的中點(diǎn)時(shí)，探究BG與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式6-1】（23-24九年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）（1）如圖1，已知正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB>DE），連接AG，CE交于點(diǎn)H，判斷線段AG與CE的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系；（2）如圖2，已知矩形ABCD和矩形DEFG，AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，將矩形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，連接AG，CE交于點(diǎn)H，（1）中線段數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出理由；若不成立，請(qǐng)寫出線段AG，CE【變式6-2】（23-24九年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F，連接CE．(1)求證：∠DAE=∠DCE；(2)求證：△ECF∽△EGC；(3)當(dāng)AE=2EF時(shí)，判斷FG與EF有何等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【變式6-3】（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）閱讀理解：如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥DC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關(guān)系．(1)解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易證△AEB≌△FEC，得到AB=FC，從而把AB，AD，DC轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中，即可判斷．AB，AD，DC之間的等量關(guān)系為______；(2)問題探究：如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)問題解決：如圖3，AB∥CF，AE與BC交于點(diǎn)E，BE：EC=2：3，點(diǎn)D在線段AE上，且∠EDF=∠BAE，試判斷AB，DF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論．【題型7運(yùn)用相似三角形解決尺規(guī)作圖問題】【例7】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，用尺規(guī)按①到③的步驟作圖：①以A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、AC于F、E兩點(diǎn)；②分別以F、E為圓心，大于12FE為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)③作射線AG，交BC于點(diǎn)D；結(jié)論Ⅰ：線段AD上必有一點(diǎn)M，使得S△ABM結(jié)論Ⅱ：ABAC對(duì)于結(jié)論Ⅰ和結(jié)論Ⅱ，下列判斷正確的是(

)

A．結(jié)論Ⅰ和結(jié)論Ⅱ都對(duì) B．結(jié)論Ⅰ和結(jié)論Ⅱ都不對(duì)C．結(jié)論Ⅰ對(duì)，結(jié)論Ⅱ不對(duì) D．結(jié)論Ⅰ不對(duì)，結(jié)論Ⅱ?qū)Α咀兪?-1】（2024·四川成都·三模）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D，連接AD交邊BC于點(diǎn)E；②以點(diǎn)E為圓心，以BE的長(zhǎng)為半徑作弧交邊AC于點(diǎn)F．若AB=AC=3，BC=2，則CF的長(zhǎng)為【變式7-2】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）某校課后延時(shí)興趣小組嘗試用尺規(guī)來“作一條線段的三等分點(diǎn)”，請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的操作過程并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)．如圖，①分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑在AB兩側(cè)畫弧，四段弧分別交于點(diǎn)C，點(diǎn)D；②連接AC，BC，AD，作射線BD；③以D為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線BD于點(diǎn)E；④連接CE，交AB于點(diǎn)F．點(diǎn)F即為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（即學(xué)習(xí)任務(wù)：(1)填空：四邊形ADBC的形狀是；你的依據(jù)是；(2)證明：AF=【變式7-3】（2024·遼寧撫順·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，點(diǎn)E是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，D為線段EF的中點(diǎn)，按下列步驟作圖：①以A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧交AB，AC于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，大于12MN為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)為G；③作射線AG．若射線AG經(jīng)過點(diǎn)DA．813 B．1513 C．2013【題型8運(yùn)用相似三角形解決動(dòng)點(diǎn)問題】【例8】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，Rt△AOB中，∠O=90°，OA=20cm，OB=15cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段AO上以每秒2cm的速度向O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從OA開始以每秒1cm的速度向上平行移動(dòng)，分別與OB,AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t為時(shí)，【變式8-1】（23-24九年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8，過點(diǎn)B作射線BM∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BM于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)△DEG與△ACB相似且點(diǎn)D位于點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，t的值為．【變式8-2】（23-24九年級(jí)·福建廈門·期末）如圖，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2厘米的速度向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C同時(shí)出發(fā)，以每秒3厘米的速度向A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也相應(yīng)停止運(yùn)動(dòng)，那么，當(dāng)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為【變式8-3】（23-24九年級(jí)·山西呂梁·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒342cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)△PBQ是直角三角形時(shí)，t的值為【題型9運(yùn)用相似三角形解決最值問題】【例9】（23-24九年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，E是AB邊上一點(diǎn)，且BE=3，D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，作∠EDF交AC邊于點(diǎn)F，若∠EDF=60°，則AF的最小值為．

【變式9-1】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=5，點(diǎn)D、F分別在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于點(diǎn)F，則△AFE面積的最大值是．【變式9-2】（2024·河北邯鄲·三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E在CB邊上，DE的中點(diǎn)為G，EG繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得EF，若CE=x，則：（1）當(dāng)x=6時(shí)，EF的長(zhǎng)為；（2）在x的變化過程中，CF的最小值是．【變式9-3】（23-24九年級(jí)·江蘇無錫·期中）如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C，AB=8，AC=6，以BC邊為斜邊在BC右側(cè)作等腰直角三角形BCD，連接AD，則AD2的最大值是（A．98 B．100 C．72 D．70【題型10運(yùn)用相似三角形解決多結(jié)論問題】【例10】（2024·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD中，G是AD邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以CG為對(duì)角線作正方形CFGE，GE的延長(zhǎng)線交對(duì)角線AC于點(diǎn)H，連接BE，DF，延長(zhǎng)FG，CD交于點(diǎn)M．下列結(jié)論：①BE⊥AC；②∠AHG=∠AGF；③AD+DG=2

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【變式10-1】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)G是邊BC的三等分點(diǎn)(BG<GC)，點(diǎn)H是邊CD的中點(diǎn)，線段AG，AH與對(duì)角線BD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．設(shè)矩形ABCD的面積為S，則以下4個(gè)結(jié)論中：①FH:AF=1:2；②BE:EF:FD=4:6:5；③S1+S2+A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式10-2】（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期中）如圖所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，M為AE的中點(diǎn)，BF⊥BC交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BD=4

A．①②③ B．①④ C．①③④ D．②③④【變式10-3】（23-24九年級(jí)·山東·期末）如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，M為AE的中點(diǎn)，BF⊥BC交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BD=4，CD=3．下列結(jié)論①∠AED=∠ADC；②DEDA=34A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

專題4.4相似三角形的性質(zhì)【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求解】 2【題型2運(yùn)用相似三角形解決折疊問題】 3【題型3運(yùn)用相似三角形解決三角板問題】 9【題型4運(yùn)用相似三角形解決裁剪問題】 16【題型5運(yùn)用相似三角形解決格點(diǎn)問題】 22【題型6運(yùn)用相似三角形探究線段之間的關(guān)系】 27【題型7運(yùn)用相似三角形解決尺規(guī)作圖問題】 36【題型8運(yùn)用相似三角形解決動(dòng)點(diǎn)問題】 42【題型9運(yùn)用相似三角形解決最值問題】 47【題型10運(yùn)用相似三角形解決多結(jié)論問題】 52知識(shí)點(diǎn)1：相似三角形的性質(zhì)①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求解】【例1】（23-24九年級(jí)·四川成都·期末）若△ABC∽△A1B1C1，且ABA1BA．83 B．6 C．9 【答案】D【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可直接得出結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC∽△A1B1C∴S∵△ABC的面積為8，∴△A故選：D．【變式1-1】（23-24九年級(jí)·江蘇連云港·期末）已知△ABC∽△DEF,△ABC的三條邊分別為6、8、10，若△DEF的最短邊為3，則最長(zhǎng)邊為【答案】5【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】解：設(shè)△DEF最長(zhǎng)邊為x，∵△ABC∽△DEF,△ABC的三條邊分別為6、8、10，∴36解得x=5，即△DEF最長(zhǎng)邊為5，故答案為：5．【變式1-2】（23-24九年級(jí)·山東威?！て谀┤鐖D，點(diǎn)P在△ABC的邊AB上，∠A=70°，∠B=45°，若△ABC∽△ACP，則∠APC=（

）A．45° B．55° C．65° D．75°【答案】C【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠ACP=∠B=45°，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】解：∵△ABC∽△ACP，∴∠ACP=∠B=45°，∴∠APC=180°?∠A?∠ACP=180°?70°?45°=65°．故選：C【變式1-3】（23-24九年級(jí)·陜西西安·期末）已知兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2:3，它們的面積之差為40，那么它們的面積之和為．【答案】104【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)．根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方，列出方程，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2:3，∴它們的面積比為4:9，設(shè)兩個(gè)三角形的面積分別為：4x,9x，由題意，得：9x?4x=5x=40，∴x=8，∴它們的面積和為：4x+9x=13x=13×8=104；故答案為：104．【題型2運(yùn)用相似三角形解決折疊問題】【例2】（23-24九年級(jí)·安徽六安·期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)C落在△ABC邊上C′處，并且C′D∥BC

A．132 B．15625 C．254【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理就可以求出AC的值，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)就可以得出C′D=CD，由C′D∥【詳解】解：∵∠B=90°，AB=5，∵△DEC′與△DEC關(guān)于∴△DEC∴C′∵C′∴△ADC∴ADAC∴13?CD13∴CD=156故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．【變式2-1】（23-24九年級(jí)·湖北十堰·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形ABCD的邊AD=5，OA:OD=1:4，將矩形ABCD沿直線OE折疊到如圖所示的位置，線段OD恰好經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)C落在y軸的點(diǎn)C1位置，點(diǎn)E的坐標(biāo)是【答案】5?1,2/【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．先證明△AOB∽△D1C1O求得AB=CD=2，設(shè)EF=x【詳解】解：∵矩形ABCD的邊AD=5，OA:OD=1:4，∴OD=4，OA=1，BC=AD=5，AB=CD，AB∥x軸，∴∠ABO=∠D1O∴△AOB∽△D1C由折疊性質(zhì)得OD1=OD=4，CE=C1∴AB4=1AB∴CD=2，如圖，OC1=OC=∴C1設(shè)EF=x，則EC由EF2+解得x=5綜上，點(diǎn)E坐標(biāo)為5?1,2故答案為5【變式2-2】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形紙片ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將紙片沿CE折疊，點(diǎn)B落在B′處，CB′⊥AD，垂足為F．若CF=4cm，F(xiàn)【答案】25【分析】由CF=4cm，F(xiàn)B′=1cm可得CB′=5cm，由菱形的性質(zhì)與折疊可得BC=CD=B′C=5cm，∠BCE=∠B′CE=45°，過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)【詳解】∵CF=4cm，F(xiàn)∴CB由翻折可得：BC=B∴在菱形ABCD中，CD=BC=5cm∵CB∴∠CFD=∠CFA=90°∴在Rt△CDF中，DF=∵在菱形ABCD中，AD∥∴∠BCB又由折疊有∠BCE=∠B′CE∴∠BCE=45°過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，∴∠EGB=∠EGC=90°，∴∠CEG=90°?∠BCE=90°?45°=45°，∴∠CEG=∠BCG，∴EG=CG，設(shè)CG=xcm，則EG=xcm，∵在菱形ABCD中，∠B=∠D，又∠EGB=∠CFD=90°，∴△EGB∽△CFD，∴EGCF=解得：x=20∴EG=207cm∴在Rt△BEG中，BE=故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)．綜合運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線，得到相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24九年級(jí)·江蘇淮安·期中）在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．

圖1

圖2(1)如圖1，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求APDE(2)如圖2，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)．【答案】(1)AP(2)BF的長(zhǎng)為3【分析】（1）先得出∠APB=∠AED，再證明△ABP∽△DAE，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）過點(diǎn)E作EH∥DP交AD于點(diǎn)H，先得出EH=DH，設(shè)EH=DH=x，則AH=6?x，根據(jù)勾股定理得出22【詳解】（1）在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，由折疊性質(zhì)得：AP⊥DE，∴∠BAP+∠AED=90°，∴∠APB=∠AED，∵∠EAD=∠ABP=90°，∴△ABP∽△DAE，∴AP（2）如圖，過點(diǎn)E作EH∥DP交AD于點(diǎn)∵EH∥∴∠HED=∠EDP，∵由折疊性質(zhì)得∠HDE=∠EDP，∠DPE=∠A=90°，∴∠HED=∠HDE，∴EH=DH，設(shè)EH=DH=x，則AH=6?x，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE=2，∵AE∴2解得：x=103，即∴AH=8∵EH∥∴∠HEP=90°，∴∠AEH+∠BEF=90°，∵∠A=∠B=90°，∴∠AEH+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠BEF，∴△AEH∽△BFE，∴AEBF=解得BF=3∴BF的長(zhǎng)為32【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．【題型3運(yùn)用相似三角形解決三角板問題】【例3】（2024·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè)）將一副三角板如圖所示擺放，△ABC為等腰Rt△ABC，∠ABC=∠BAD=90°，∠ABD=30°，AB=63，記DB交AC于E．若AC上有一點(diǎn)F滿足∠DBF=45°，則EF的長(zhǎng)為（A．66?63 B．18?63 C．【答案】D【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．將△ABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)勾股定理求出FG的長(zhǎng)，既可以得到答案．【詳解】解：將△ABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，至△BCG，連接CG、FG，∴∠FBG=∠EDF=45°,BG=BE,CG=AE,∠BCG=∠BAE=45°，∴△BEF≌△BGF(SAS∴EF=FG，∵∠ABC=∠BAD=90°,∠ABD=30°,AB=63∴AD=6,BC=63∴AD∥∴∠ADE=∠EBC，∵∠AED=∠CED，∴△ADE∽△CBE，∴AD∴6∴AE=92∵∠FCG=90°，∴FG設(shè)EF=FG=x，∴CF=66∴x∴x=66故選D．【變式3-1】（23-24九年級(jí)·內(nèi)蒙古包頭·期末）如圖，將一副三角板按圖疊放，則AOOC的值為【答案】3【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形的特征；根據(jù)三角板的角度可得△ABC是等腰直角三角形，設(shè)AB=a，則BC=a，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理可得CD，進(jìn)而根據(jù)AB∥CD，得出【詳解】解：由于將一副三角板按圖疊放，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥∴△ABO∽∴AO設(shè)AB=a，則BC=a，∴BD=2a，∴CD===3∴==3故答案為：33【變式3-2】（23-24九年級(jí)·山東濟(jì)南·期中）【問題背景】△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，小熙拿含45°角的透明三角板，使45°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板可繞P【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】（1）如圖1，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)，以下結(jié)論正確的是：_______；①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP=∠CPF【用數(shù)學(xué)的思維思考】（2）將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖2情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊AC于點(diǎn)E、F．△BPE與△CFP相似嗎？請(qǐng)說明理由；【用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)】（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPE∽△PFE？說明理由．

【答案】（1）②③④；（2）△BPE與△CFP相似，理由見解析；（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)位置時(shí)，△BPE與△PFE相似，理由見解析．【分析】（1）找出△BPE與△CFP的對(duì)應(yīng)角，其中∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，得出∠BEP=∠CPF，從而解決問題；（2）利用（1）小題證明方法可證：△BPE∽△CFP；（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)位置時(shí)，△BPE與△PFE相似，同（1），可證△BPE∽△CFP，得CP:BE=PF:PE，而CP=BP，因此PB:BE=PF:PE，進(jìn)而求出，△BPE與△PFE相似．【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°，又∵∠EPF=45°∴∠B=∠C=∠EPF=45°，又∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∴∠BEP=∠FPC，故③正確；∴△BPE∽△CFP，故②正確；∴BECP故答案為：②③④．（2）解：△BPE∽△CFP；理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=∵∠B+∴∠BPE+∵∠EPF=45°又∵∠BPE+∴∠BPE+∴∠BEP=又∵∠B=∴△BPE∽△CFP．（3）解：動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)位置時(shí)，△BPE與△PFE相似，證明：同（1），可證△BPE∽△CFP，得CP:BE=PF:PE，而CP=BP，因此PB:BE=PF:PE．又∵∠EBP=∴△BPE∽△PFE．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定．它以每位學(xué)生都有的三角板在圖形上的運(yùn)動(dòng)為背景，既考查了學(xué)生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想，靜中思動(dòng)，動(dòng)中求靜的思維方法，又考查了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究的能力．【變式3-3】（23-24九年級(jí)·山東濟(jì)南·期中）如圖，把兩塊全等的等腰直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)E與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)重合，其中∠BAC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6．把三角板ABC固定不動(dòng)，三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)E沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，其中0°<α<90°．設(shè)射線ED與射線BA相交于點(diǎn)P，射線EF與線段CA相交于點(diǎn)Q（當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖3所示位置時(shí)，線段EP交線段CA于點(diǎn)M）．(1)如圖1，當(dāng)射線EF經(jīng)過點(diǎn)A，即點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，易證△BPE∽△CEQ．此時(shí)，(2)當(dāng)三角板DEF轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，BP?CQ的值是否改變？說明你的理由；(3)在三角板DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，兩三角板重合部分的面積是否可能為154？若可能，直接寫出此時(shí)CQ【答案】(1)18(2)不變，BP·CQ=18(3)CQ=32【分析】（1）兩塊全等的等腰直角三角板ABC和DEF疊放在一起，點(diǎn)E與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)重合，其中∠BAC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6，可求出BP，△BPE∽（2）△ABC是等腰直角三角形，且點(diǎn)E是BC邊中點(diǎn)，∠B=∠C=45°，可求出BE的長(zhǎng)，△DEF是等腰直角三角形，∠PEC=∠3+∠4=∠B+∠1，可證△BPE∽（3）由（1），（2）的結(jié)論，過點(diǎn)E作EN⊥AC于N，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和函數(shù)解析式得最值即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，AE為BC的垂直平分線，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，∴AB⊥DE，且DE平分AB，則BP=EP=12AB=∴BE=CE=AE=32∵△BPE∽∴BPBE=CE∴BP·CQ=32故答案為：18．（2）解：不變，BP·CQ=18．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，且點(diǎn)E是BC邊中點(diǎn)，∴在△BPE和△CEQ中，∠B=∠C=45°，且BE=CE=1∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠3=45°=∠B，∵∠PEC=∠3+∠4=∠B+∠1，∴∠1=∠4，∴△BPE∴BPCE∴BP·CQ=CE·BE=(3（3）解：如圖所示，過點(diǎn)E作EN⊥AC于N，此時(shí)重疊部分為△MEQ，設(shè)CQ為x，∵BP·CQ=18，∴BP=18∴AP=18∵EN⊥AC，∴∠ENC=90°=∠BAC，∴EN∥AB，∴△ENM∽△PAM，∴AMNM=PAEN，即∴MQ=6?AM?CQ=6?x?6x?18x?6，設(shè)重疊部分的面積為∴y=1當(dāng)y=154時(shí)，代入得，154∵x=32或∴存在CQ使面積為154∴CQ=32或【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形變換，等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形相似判定與性質(zhì)例，掌握?qǐng)D形變換時(shí)三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型4運(yùn)用相似三角形解決裁剪問題】【例4】（2024·山東菏澤·一模）包書皮是每位同學(xué)都經(jīng)歷過的事情，下面展示兩種包書皮的方法：方法一：方法二：

(1)一本字典長(zhǎng)為acm，寬為bcm，高為ccm，如果按方法一包書，將封面和封底各折進(jìn)去3cm，試用含a、b(2)現(xiàn)有1張一角污損的矩形包書紙，如右圖，矩形ABCD中，AB=30cm，BC=50cm，AE=12cm，AF=16cm．使用沒有污損的部分按方法二的方式包一本長(zhǎng)為19cm(3)在（2）的條件下，是否存在裁剪后最大的矩形也能包這本書，并說明理由．

【答案】(1)長(zhǎng)為2b+6+c，寬為a(2)答案不唯一，見詳解(3)不存在，見詳解【分析】本題考查了代數(shù)式，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，正確掌握知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．（1）仔細(xì)分析題意及圖形特征即可求解；（2）設(shè)PM=xcm，表示出EM=34x，則剪裁后矩形的長(zhǎng)和寬分別為50?xcm（3）y=50?x30?12+34x此時(shí)50?13=37<16×2+6=38，即可說理．【詳解】（1）解：長(zhǎng)為2b+6+c，寬為a（2）解：設(shè)PM=xcm，由得△EPM∽△EFA，∴x16∴EM=3此時(shí)剪裁后矩形的長(zhǎng)和寬分別為50?xcm，30?12+當(dāng)x=4，則長(zhǎng)和寬分別為46cm，22裁剪方式如下圖：

（3）解：不存在，設(shè)面積為y，則y=50?x當(dāng)x=13時(shí)，y最大，此時(shí)50?13=37<16×2+6=38，所以，不存在．【變式4-1】（23-24九年級(jí)·北京·期中）如圖，直角三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC邊長(zhǎng)為10cm．現(xiàn)從下往上依次裁剪寬為4cm的矩形紙條，如果剪得第二張矩形紙條恰好是正方形，那么BC的長(zhǎng)是cm．【答案】20【分析】根據(jù)已知可得AE=2，DE=4，DE//BC，結(jié)合相似三角形性質(zhì)可得AEAC【詳解】解：如圖所示：由題意可知：AC=10，AE=10?8=2，DE=4，∵DE//BC，∴△ADE～△ACB，∴AEAC=DE解得：BC=20，故答案為20．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì),根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定定理找出△ADE～△ACB解題的關(guān)鍵.【變式4-2】（2024·河南駐馬店·二模）延時(shí)課上，同學(xué)們利用面積為100dm2的正方形紙板，制作一個(gè)正方體禮品盒(如圖所示裁剪)．則這個(gè)禮品盒的體積是【答案】16【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂裁剪的方法，找到相似三角形．設(shè)EF=x，判斷出△AEF和△DEG為等腰直角三角形，證明△AEF∽△DEG，得到AEDE=EF【詳解】解：如圖，在正方形ABCD中，AD=10，設(shè)EF=x，由此裁剪可得：△AEF和△DEG為等腰直角三角形，∴△AEF∽△DEG，∴AEDE=EF解得：AE=2(分米)，∴EF=2∴正方體禮品盒的棱長(zhǎng)為22∴體積為22故答案為：162【變式4-3】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）A4紙是由國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織的ISO216定義的，世界上多數(shù)國(guó)家所使用的紙張尺寸都是采用這一國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)．這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)最初是被魏瑪共和國(guó)在1922年納入DIN(編號(hào)是DIN476)，雖然其中一些格式法國(guó)在同一時(shí)期也自行研發(fā)出來，不過之后就被遺忘了．ISO216定義了A、B、C三組紙張尺寸．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第1次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的邊重合，由此可求出A4紙較長(zhǎng)邊與較短邊的比為．(2)探究遷移；將一張A4紙沿經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的直線折疊，展開后得折痕AC，再將其沿經(jīng)過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在OC上（O為兩條折痕的交點(diǎn)），設(shè)第二條折痕與AD交于點(diǎn)E．點(diǎn)E是否為AD的中點(diǎn)?請(qǐng)說明理由．(3)拓展應(yīng)用；利用一張A4紙經(jīng)過裁剪獲得一張邊長(zhǎng)為21cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG．試說明：G是AB【答案】(1)2(2)是，理由見解析(3)見解析【分析】（1）設(shè)A4紙較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為a，較短邊長(zhǎng)為b，易求得第一次折痕長(zhǎng)為2b，根據(jù)第1次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的邊重合得到a=（2）設(shè)AB=t，AD=2t，根據(jù)矩形和折疊性質(zhì)得到∠AEB=∠ACD，進(jìn)而證得△ABE∽△DAC，由ABAD（3）延長(zhǎng)DA、CG相交于點(diǎn)P，由正方形和折疊性質(zhì)以及勾股定理可求得CE=2125cm，再根據(jù)折疊性質(zhì)和等角對(duì)等邊得到EP=CE=2125【詳解】（1）解：設(shè)A4紙較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為a，較短邊長(zhǎng)為b，由題意，第一次折痕長(zhǎng)為b2∵第1次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的邊重合，∴a=2b，即故答案為：2:1（2）解：點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，理由如下：由（1）得ADAB=2，設(shè)AB=t由折疊使得點(diǎn)A和點(diǎn)C重合得AC⊥BE，則∠AEB+∠OAE=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=90°，CD=AB=t，∠ACD+∠OAE=90°，∴∠AEB=∠ACD，∴△ABE∽△DAC，∴ABAD=AE∴AE=2即點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)；（3）解：如圖，延長(zhǎng)DA、CG相交于點(diǎn)P，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD=BC=21cm，∠D=90°，AD由折疊性質(zhì)得∠BCP=∠ECP，DE=AE=1∴CE=C∵AD∥∴∠EPC=∠BCP=∠ECP，∴EP=CE=21∴AP=EP?AE=21∵AD∥∴△PAG∽△CBG，∴AGBG=AP∴G是AB的黃金分割點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、黃金分割等知識(shí)，熟練掌握折疊性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．【題型5運(yùn)用相似三角形解決格點(diǎn)問題】【例5】（23-24九年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）以下各圖均是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，圖中的點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．(1)在圖①中，PDPA(2)利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在線段AB上找一點(diǎn)P，使APBP②如圖③，在線段BC上找一點(diǎn)P，使△APB∽【答案】(1)1(2)①見解析；②見解析【分析】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．（1）證明△ABP∽△DCP，即可求得PDPA（2）①如圖，取格點(diǎn)E、F，連接EF交AB于點(diǎn)P，利用相似三角形的判定和性質(zhì)即可得解；②如圖，取格點(diǎn)T，連接DT交AB于點(diǎn)P，利用相似三角形的判定即可得解．【詳解】（1）解：∵AB=3，CD=1，且AB∥∴△ABP∽△DCP，∴PDPA故答案為：13（2）解：①點(diǎn)P如圖所示，；②點(diǎn)P如圖所示，．【變式5-1】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期末）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，請(qǐng)按要求作圖．

(1)在圖1中畫一個(gè)格點(diǎn)△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不為1）．(2)在圖2中畫一條格點(diǎn)線段BP，交AC于點(diǎn)Q，使CQ=2AQ．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定，并結(jié)合網(wǎng)格求解；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，在網(wǎng)格中畫出符合條件的圖形．【詳解】（1）如圖

（答案不唯一）（2）如圖

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖－相似的變換，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相似三角形判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理．【變式5-2】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·階段練習(xí)）在5×5的方格中，△ABC是格點(diǎn)三角形（三角形的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上）(1)要求在圖1的方格中，畫一個(gè)與△ABC相似且相似比為整數(shù)（不為1）的格點(diǎn)三角形．(2)要求在圖2的方格中，畫一個(gè)與△ABC相似且相似比不為整數(shù)的格點(diǎn)三角形．(3)要求在圖3的方格中，畫一個(gè)與△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）利用勾股定理畫出一個(gè)△DEF使得△DEF∽△ABC，且相似比為2即可；（2）利用勾股定理畫出一個(gè)△DEF使得△DEF∽△ABC，且相似比為2即可；（3）將△ABC的邊長(zhǎng)擴(kuò)大5倍，利用勾股定理畫出對(duì)應(yīng)的三角形即可．【詳解】（1）解：如圖所示，△DEF即為所求；∵AB=12+12=2∴DEAB∴△DEF∽△ABC，∴△DEF即為所求；（2）解：如圖所示，△DEF即為所求；同理可得DEAB∴△DEF∽△ABC，∴△DEF即為所求；（3）解：如圖所示，△PQM即為所求；【點(diǎn)睛】本題主要考查了在網(wǎng)格中畫相似三角形，勾股定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2024·江蘇無錫·一模）以下各圖均是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，圖中的點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．(1)在圖①中，PC：PB=(2)利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在AB上找一點(diǎn)P，使AP=3．②如圖③，在BD上找一點(diǎn)P，使△APB∽【答案】(1)1(2)圖見解析【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行，對(duì)應(yīng)線段成比例即可得結(jié)論；（2）①根據(jù)勾股定理得AB的長(zhǎng)為5，利用格點(diǎn)，再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)即可找到點(diǎn)P；②作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C與BD的交點(diǎn)即為要找的點(diǎn)P【詳解】（1）解：圖1中，∵AB∥∴PCPB故答案為：13（2）解：①在網(wǎng)格圖②中，AB=3如圖2所示，連接CD，交AB于點(diǎn)P，∵BC∥∴APBP解得：AP=3，∴點(diǎn)P即為所要找的點(diǎn)；②如圖3所示，作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′連接A′C，交BD于點(diǎn)∵AB∥∴△APB∽∴點(diǎn)P即為所要找的點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—相似變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，利用格點(diǎn)構(gòu)造相似三角形．【題型6運(yùn)用相似三角形探究線段之間的關(guān)系】【例6】（2024·湖北·中考真題）在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊CD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，PG交BC于點(diǎn)H．(1)如圖1，求證：△DEP∽△CPH；(2)如圖2，當(dāng)P為CD的中點(diǎn)，AB=2，AD=3時(shí)，求GH的長(zhǎng)；(3)如圖3，連接BG，當(dāng)P，H分別為CD，BC的中點(diǎn)時(shí)，探究BG與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)GH=(3)BG=6【分析】（1）證明對(duì)應(yīng)角相等，即可得到△EDP∽△PCH；（2）根據(jù)△EDP∽△PCH，求得PH的長(zhǎng)度，從而得出GH長(zhǎng)度；（3）延長(zhǎng)AB，PG交于一點(diǎn)M，連接AP，先證明△MBH≌△PCH，得到相等的邊，再根據(jù)△BMG∽△MAP，得出大小關(guān)系．【詳解】（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠1+∠3=90°，∵E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對(duì)稱點(diǎn)P落在DC上，∴∠EPH=∠A=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3=∠2，∴△EDP∽△PCH；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠A=∠D=∠C=90°，∵P為CD中點(diǎn)，∴DP=CP=1設(shè)EP=AE=x，∴ED=AD?x=3?x，在Rt△EDP中，E即x2解得x=5∴EP=AP=x=5∴ED=AD?AE=4∵△EDP∽△PCH，∴EDPC=EP∴PH=5∵PG=AB=2，∴GH=PG?PH=3（3）解：如圖，延長(zhǎng)AB，PG交于一點(diǎn)M，連接AP，∵E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對(duì)稱點(diǎn)P落在CD上，∴AP⊥EF，BG⊥直線EF，∴BG∥AP，∵AE=EP，∴∠EAP=∠EPA，∴∠BAP=∠GPA，∴△MAP是等腰三角形，∴MA=MP，∵P為CD中點(diǎn)，∴設(shè)DP=CP=y，∴AB=PG=CD=2y，∵H為BC中點(diǎn)，∴BH=CH，∵∠BHM=∠CHP，∠CBM=∠PCH，∴△MBH≌△PCH(ASA∴BM=CP=y，HM=HP，∴MP=MA=MB+AB=3y，∴HP=1在Rt△PCH中，CH=∴BC=2CH=5∴AD=BC=5在Rt△APD中，AP=∵BG∥AP，∴△BMG∽△AMP，∴BGAP∴BG=6∴ABBG∴AB=6BG，即【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24九年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí)）（1）如圖1，已知正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB>DE），連接AG，CE交于點(diǎn)H，判斷線段AG與CE的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系；（2）如圖2，已知矩形ABCD和矩形DEFG，AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，將矩形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，連接AG，CE交于點(diǎn)H，（1）中線段數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出理由；若不成立，請(qǐng)寫出線段AG，CE【答案】（1）AG=CE，AG⊥CE；（2）不成立，2AG=CE，AG⊥CE【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形可證明△GDA≌△EDCSAS，從而得到AG=CE；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠HOA+∠DAG=90°即可證明AG⊥CE（2）根據(jù)四邊形ABCD和四邊形DEFG都是矩形和AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，可證明△GDA∽△EDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠HOA+∠DAG=90°即可證明AG⊥CE．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，∴DE=DG，AD=CD，∠EDG=∠ADC=90°，∴∠EDG+∠EDA=∠ADC+∠EDA，即∠GDA=∠EDC，∴△GDA≌△EDCSAS∴AG=CE；∠DCE=∠DAG，∵∠HOA=∠DOC，∠DCE+∠DOC=90°，∴∠HOA+∠DAG=90°，∴∠AHO=90°，∴AG⊥CE；解：（2）不成立；如圖：∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是矩形，∴∠EDG=∠ADC=90°，∴∠EDG+∠EDA=∠ADC+∠EDA，即∠GDA=∠EDC，∵AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，∴DC=2DE=2AD，DE=2DG，∴DGDE∴△GDA∽△EDC，∴2AG=CE；∠DCE=∠DAG，∵∠HOA=∠DOC，∠DCE+∠DOC=90°，∴∠HOA+∠DAG=90°，∴∠AHO=90°，∴AG⊥CE；【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和找到角之間的關(guān)系是關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24九年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F，連接CE．(1)求證：∠DAE=∠DCE；(2)求證：△ECF∽△EGC；(3)當(dāng)AE=2EF時(shí)，判斷FG與EF有何等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)FG=3EF，證明見解析【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得到∠ADB=∠CDE，AD=CD，證明兩三角形全等，可得到對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而得到答案；（2）根據(jù)已知條件可以找到兩個(gè)三角形的三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，因此可證明出相似；（3）根據(jù)（1）（2）中的已知條件可以找到相等的邊，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得出最終結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADB=∠CDE，AD=CD，在△ADE和AD=CD∠ADB=∠CDE∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DAE=∠DCE；（2）證明：由（1）可得∠DAE=∠DCE，∵四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∴AD∥BG，∴∠DAE=∠G，∴∠DCE=∠G，又∠CEF=∠GEC，∴∠EFC=∠ECG，在ΔECF∠DAE=∠G∠CEF=∠GEC∴△ECF∽△EGC；（3）解：當(dāng)AE=2EF時(shí)，F(xiàn)G=3EF，證明如下：由（2）可得△ECF∽△EGC，∴EFEC∵△ADE≌△CDE，∴EC=AE，∴EFAE又AE=2EF，EG=EF+FG，∴12整理可得FG=3EF．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形、相似三角形，解題的關(guān)鍵是找到各個(gè)角度、各個(gè)邊長(zhǎng)之間的關(guān)系．【變式6-3】（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）閱讀理解：如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥DC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關(guān)系．(1)解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易證△AEB≌△FEC，得到AB=FC，從而把AB，AD，DC轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中，即可判斷．AB，AD，DC之間的等量關(guān)系為______；(2)問題探究：如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)問題解決：如圖3，AB∥CF，AE與BC交于點(diǎn)E，BE：EC=2：3，點(diǎn)D在線段AE上，且∠EDF=∠BAE，試判斷AB，DF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論．【答案】(1)AD=AB+DC(2)AB=AF+CF，證明見解析(3)AB=【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助性、解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理．（1）延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明△AEB≌△FEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=FC，根據(jù)等腰三角形的判定得到DF=AD，證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，利用同（1）相同的方法證明；（3）延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)相似三角形的判定定理得到△AEB∽△GEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB=2【詳解】（1）解：如圖①，延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，∠BAF=∠F∠AEB=∠FEC∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案為：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，證明：如圖②，延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，∠BAE=∠G∠AEB=∠GEC∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=2證明：如圖③，延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴ABCG=BE∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=2【題型7運(yùn)用相似三角形解決尺規(guī)作圖問題】【例7】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，用尺規(guī)按①到③的步驟作圖：①以A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、AC于F、E兩點(diǎn)；②分別以F、E為圓心，大于12FE為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)③作射線AG，交BC于點(diǎn)D；結(jié)論Ⅰ：線段AD上必有一點(diǎn)M，使得S△ABM結(jié)論Ⅱ：ABAC對(duì)于結(jié)論Ⅰ和結(jié)論Ⅱ，下列判斷正確的是(

)

A．結(jié)論Ⅰ和結(jié)論Ⅱ都對(duì) B．結(jié)論Ⅰ和結(jié)論Ⅱ都不對(duì)C．結(jié)論Ⅰ對(duì)，結(jié)論Ⅱ不對(duì) D．結(jié)論Ⅰ不對(duì)，結(jié)論Ⅱ?qū)Α敬鸢浮緼【分析】取△ABC的內(nèi)心M，連接BM，CM，過點(diǎn)M作MH⊥AB，MK⊥BC，MN⊥AC，垂足分別為H，K，N，得出MH=MK=MN，根據(jù)三角形面積公式得出S△ABM=12AB?MH=12rAB，S△ACM=12AC?MN=12rAC，S△BCM【詳解】解：由題意得：AG為∠BAC的平分線，∵三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∴△ABC的內(nèi)心在AG上，取△ABC的內(nèi)心M，連接BM，CM，過點(diǎn)M作MH⊥AB，MK⊥BC，MN⊥AC，垂足分別為H，K，N，如圖，

則MH=MK=MN，設(shè)MH=MK=MN=r，∴S△ABM=12AB?MH=∴S∵AB+AC>BC，∴S△ABM∴線段AD上必有一點(diǎn)M，使得S△ABM∴結(jié)論Ⅰ正確；過點(diǎn)C作CH∥AB，交AG于點(diǎn)∴∠CHA=∠BAD，∵AG為∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CHA=∠CAD，∴CH=AC．∵CH∥∴△CDH∽△BDA，∴BDCD∴ABAC∴結(jié)論Ⅱ正確．綜上，結(jié)論Ⅰ和結(jié)論Ⅱ都對(duì)．故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．【變式7-1】（2024·四川成都·三模）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D，連接AD交邊BC于點(diǎn)E；②以點(diǎn)E為圓心，以BE的長(zhǎng)為半徑作弧交邊AC于點(diǎn)F．若AB=AC=3，BC=2，則CF的長(zhǎng)為【答案】2【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，先證明AD是BC的垂直平分線，再通過夾角相等兩邊成比例證明△ABC∽△FEC，列式代入數(shù)值得出ABFE【詳解】解：連接EF，BD，

∵分別以點(diǎn)B和C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D，連接AD交邊BC于點(diǎn)∴BD=CD，∵AB=AC=3，∴AD是BC的垂直平分線，∴EB=CE=1∵以點(diǎn)E為圓心，以BE的長(zhǎng)為半徑作弧交邊AC于點(diǎn)F．∴EB=FE∴CE=EB=FE=1∵∠C=∠C，AB∴△ABC∽△FEC則AB解得CF=故答案為：2【變式7-2】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）某校課后延時(shí)興趣小組嘗試用尺規(guī)來“作一條線段的三等分點(diǎn)”，請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的操作過程并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)．如圖，①分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑在AB兩側(cè)畫弧，四段弧分別交于點(diǎn)C，點(diǎn)D；②連接AC，BC，AD，作射線BD；③以D為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線BD于點(diǎn)E；④連接CE，交AB于點(diǎn)F．點(diǎn)F即為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（即學(xué)習(xí)任務(wù)：(1)填空：四邊形ADBC的形狀是；你的依據(jù)是；(2)證明：AF=【答案】(1)菱形，四條邊相等的四邊形為菱形(2)見解析【分析】本題主要考查了基本作圖，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用菱形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：由作法可知：AC=AD=BC=BD，∴四邊形ADBC的形狀是菱形，依據(jù)是：四條邊相等的四邊形為菱形；故答案為：菱形，四條邊都相等的四邊形是菱形；（2）證明：∵四邊形ADBC的形狀是菱形，∴AC∥∴∠ACE=∠CEB,∠AFC=∠BFE，∴△AFC∽△BFE，∴AFFB∵AC=BD，BD=DE，∴BE=2AC，∴AFFB∴FB=2AF，∴AB=3AF．∴AF=1【變式7-3】（2024·遼寧撫順·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，點(diǎn)E是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，D為線段EF的中點(diǎn)，按下列步驟作圖：①以A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧交AB，AC于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，大于12MN為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)為G；③作射線AG．若射線AG經(jīng)過點(diǎn)DA．813 B．1513 C．2013【答案】C【分析】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．設(shè)AE=x，先利用勾股定理計(jì)算出AC=4，則CE=4?x，再利用基本作圖得到AD平分∠CAB，接著證明∠EDA=∠EAD得到DE=AE=x，然后證明△CEF∽△CAB，則利用相似比得到CE:CA=EF:AB，即(4?x):4=2x:5，于是解方程可得到AE的長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)AE=x，∵∠C=90°,AB=5,BC=3，∴AC=5由作法得AD平分∠CAB，∴∠BAD=∠EAD，∵EF∥∴∠BAD=∠EDA，∴∠EDA=∠EAD，∴DE=AE=x，∵D為線段EF的中點(diǎn)，∴EF=2x，∵EF∥∴△CEF∽△CAB，∴CE:CA=EF:AB，即(4?x):4=2x:5，解得x=20即AE的長(zhǎng)為2013故選：C．【題型8運(yùn)用相似三角形解決動(dòng)點(diǎn)問題】【例8】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，Rt△AOB中，∠O=90°，OA=20cm，OB=15cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段AO上以每秒2cm的速度向O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從OA開始以每秒1cm的速度向上平行移動(dòng)，分別與OB,AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t為時(shí)，【答案】6或80【分析】分別用t表示OP與OE的長(zhǎng)度，根據(jù)∠EOP與∠BOA都是直角，當(dāng)△EOP與△BOA相似時(shí)，O與O是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此分△EOP∽△BOA與△EOP∽△AOB兩種情況討論,根據(jù)相似列方程解之即可．【詳解】解：∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段AO上以每秒2cm的速度向O運(yùn)動(dòng)，OA=20∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，又∵動(dòng)直線EF從OA開始以每秒1cm∴OE=tcm，根據(jù)∠EOP與∠BOA都是直角，O與O是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此分△EOP∽△BOA與△EOP∽△AOB兩種情況討論，當(dāng)△EOP∽△BOA，即OEOB=OP解得：t=6，當(dāng)△EOP∽△AOB，即OEOA=OP解得：t=80綜上所述：當(dāng)t=6或8011時(shí)，△EOP與△BOA故答案時(shí)：6或8011【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形相似進(jìn)行討論分析是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24九年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8，過點(diǎn)B作射線BM∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BM于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)△DEG與△ACB相似且點(diǎn)D位于點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，t的值為．【答案】3或23/2【分析】若ΔDEG與ΔACB相似，分情況討論，則DEEG【詳解】解：如下圖：∵EF=BC=8，G是EF的中點(diǎn)，∴GE=4．點(diǎn)D位于點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，即AD<AE，∴3t<6+2t，解得：t<6，∴DE=AE?AD=6+2t?3t=6?t，若ΔDEG與ΔACB相似，則DEEG∴6?t4=6∴t=3或t=故答案為：3或23【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是利用分類討論思想解決問題．【變式8-2】（23-24九年級(jí)·福建廈門·期末）如圖，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2厘米的速度向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C同時(shí)出發(fā)，以每秒3厘米的速度向A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也相應(yīng)停止運(yùn)動(dòng)，那么，當(dāng)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為【答案】16【分析】此題應(yīng)分兩種情況討論．（1）當(dāng)△APQ∽△ABC時(shí)；（2）當(dāng)△APQ∽△ACB時(shí)．利用相似三角形的性質(zhì)求解即可【詳解】解：（1）當(dāng)△APQ∽△ABC時(shí)，設(shè)用時(shí)t秒，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．APAB=AQAC，則AP=2t，CQ=3t，于是2t8=16解得，t=1（2）當(dāng)△APQ∽△ACB時(shí)，APAC設(shè)用t秒時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．則AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．于是2t16解得t=4．故答案為：16【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意將對(duì)應(yīng)邊轉(zhuǎn)換，得到兩組相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（23-24九年級(jí)·山西呂梁·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒342cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)△PBQ是直角三角形時(shí)，t的值為【答案】65或【分析】先由勾股定理算出AB的值，再分別用含t的式子表示出AP、BQ、BP及BQ，然后分兩種情況判定△BQ1P1∽△BCA及△BP2Q2∽△BCA，之后利用相似三角形的性質(zhì)列比例式計(jì)算：①當(dāng)∠BQ1P1＝90°時(shí)，如圖1；②當(dāng)∠BP2Q2＝90°時(shí)，如圖2．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，∴AB＝52+3由題意可知點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒時(shí)，AP＝342tcm，BQ＝tcm∴BP＝（34-342t)cm當(dāng)△PBQ是直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)∠BQ1P1＝90°時(shí)，如圖1：∵∠C＝90°，∠BQ1P1＝90°，∴∠C＝∠BQ1P1，又∵∠B＝∠B，∴△BQ1P1∽△BCA，∴BQ∴t3解得：t＝65②當(dāng)∠BP2Q2＝90°時(shí)，如圖2：∵∠C＝90°，∠BP2Q2＝90°，∴∠C＝∠BP2Q2，又∵∠B＝∠B，∴△BP2Q2∽△BCA，∴BP∴34?解得：t＝1710故答案為：65或17【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理、數(shù)形結(jié)合并分類討論是解題的關(guān)鍵.【題型9運(yùn)用相似三角形解決最值問題】【例9】（23-24九年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，E是AB邊上一點(diǎn)，且BE=3，D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，作∠EDF交AC邊于點(diǎn)F，若∠EDF=60°，則AF的最小值為．

【答案】8【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，證明△CDF∽△BED，可得CFBD=CDBE，設(shè)BD=x，則CD=4?x，再建立二次函數(shù)求解【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴BC=AC=4，∠B=∠C=60°，設(shè)BD=x，則CD=4?x，∵∠EDC=∠B+∠BED，即∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，而∠EDF=60°，∴∠BED=∠CDF，∵∠B=∠C，∴△CDF∽△BED，∴CFBD=CD∴CF=?1∴當(dāng)x=2時(shí)，CF有最大值43∴AF有最小值為4?4故答案為：83【變式9-1】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=5，點(diǎn)D、F分別在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于點(diǎn)F，則△AFE面積的最大值是．【答案】4【分析】連接DF，先根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)證明DEAE=23,得到S△AEF=35S△ADF,進(jìn)而根據(jù)CD=2BD，CF=2AF，得到S△AEF=215S【詳解】解：如圖，連接DF，∵CD=2BD，CF=2AF，∴CFCA∵∠C=∠C，∴△CDF∽△CBA，∴DFBA=CDCG=∴DF∥BA，∴△DFE∽△ABE，∴DFAB∴S△AEF∵CF=2AF，∴S△ADF∴S△AEF∵CD=2BD，∴S△ADC∴S△AEF∵△ABC中，AB=4，BC=5，∴，當(dāng)AB⊥BC時(shí)，△ABC面積最大，為12此時(shí)△AFE面積最大為10×2故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定得到DEAE【變式9-2】（2024·河北邯鄲·三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E在CB邊上，DE的中點(diǎn)為G，EG繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得EF，若CE=x，則：（1）當(dāng)x=6時(shí)，EF的長(zhǎng)為；（2）在x的變化過程中，CF的最小值是．【答案】54【分析】（1）首先根據(jù)勾股定理求出DE=CD2（2）過點(diǎn)F作FM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，證明出△DEC∽△EFM，得到CDME=DEEF=CEMF【詳解】（1）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，CE=x∴∠DCE=90°當(dāng)x=6時(shí)，CE=x=6∴DE=∵DE的中點(diǎn)為G，∴GE=∵EG繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得EF，∴EF=GE=5；（2）如圖所示，過點(diǎn)F作FM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M∵DE的中點(diǎn)為G，∴GE=∵EG繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得EF∴FE=GE，∠DEF=90°∴FE=12∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠CDE=∠CEF∴△DEC∽△EFM∴CDME=∴ME=4，MF=∴MC=ME?CE=4?x∴CF=∴當(dāng)x=165時(shí)，CF的最小值為故答案為：5，45【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是