數(shù)學教材梳理向量的線性運算

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識·巧學1.向量的加法(1)向量加法的定義向量是否能進行運算？先看下面幾個實例.①某人從A到B，再從B按原方向到C，則兩次的位移和：。〔如圖2—2（1)（2)圖2②若上題改為從A到B,再從B按反方向到C，則兩次的位移和:.〔如圖2—2③某車從A到B，再從B改變方向到C，則兩次的位移和：.〔如圖2—2(1)（2)圖2④船速為，水速為，則兩速度和：?！踩鐖D2—2-2上面四個實例雖然是物理學中求兩個已知位移和位移的題目，實質(zhì)上它們當中卻包含著數(shù)學中的向量的加法運算。一般地，已知向量a和b，在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b，則向量叫做a與b的和,記作a+b.即a+b=。(如圖2—2-3）圖2-2兩個向量的和仍是一個向量。求兩個向量的和的運算叫做向量的加法.上面根據(jù)向量的定義得出的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.三角形法則有兩個步驟：①以表示向量的第一個有向線段的終點作為表示第二個向量的有向線段的起點；②第一條有向線段的起點到第二條有向線段的終點的有向線段表示的向量為兩個向量的和向量.向量加法的三角形法則,實質(zhì)是把這兩個向量首尾順次連接。當兩個向量共線時三角形法則仍然適用.深化升華任何一個向量均可以寫成兩個任意向量之和,只要注意到這個向量的起點、終點即可,如：，如圖2—2圖2對于零向量和任一向量a,有a+0=0+a=a，即零向量在向量的加法運算中所起的作用與實數(shù)0在實數(shù)的加法運算中所起的作用是相似的.對于相反向量，有a+（—a)=（-a）+a=0,這與實數(shù)運算中互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0也是相似的，但應注意,在此運算中的結果為零向量，而非常數(shù)0.學法一得向量是既有大小又有方向的量，對于首尾相連的幾個向量的和,等于以第一個向量的起點為起點，第n個向量的終點為終點的向量.如果平面內(nèi)有n個向量，它們依次首尾連接組成一條封閉的折線，那么這n個向量的和是零向量.(2）向量加法的運算律和平行四邊形法則向量的加法同實數(shù)的加法相似，滿足加法的交換律和結合律。①向量加法的交換律：a+b=b+a。由向量的加法,當兩個向量共線時，交換律顯然成立。當兩個向量不共線時(如圖2—2-5)，作平行四邊形OABC，使=a，=b，則由平行四邊形的性質(zhì)和相等向量的定義不難得出=a，=b.圖2則=a+b，=b+a,所以，a+b=b+a.②平行四邊形法則在向量加法交換律的證明過程中，包含了求向量和的另外一種方法——平行四邊形法則。對于兩個不共線的非零向量a、b分別作出=a、=b，以OA、OC為鄰邊作平行四邊形OABC，則以O為起點的對角線就是向量a與b的和，這種求兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.平行四邊形法則包括三個步驟：1）先把兩個已知的不共線向量的起點平移到同一點；2）再以這兩個向量為鄰邊作平行四邊形；3)這兩鄰邊所夾的、與兩個已知向量有著同一起點的對角線所對應的向量,就是這兩個已知向量的和。平行四邊形法則有著它的局限性,當兩個向量共線時，平行四邊形法則就不適用了，但在處理某些問題時，平行四邊形法則有它一定的優(yōu)越性。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則稱為向量加法的幾何意義，它們建立起了向量和平面幾何之間的聯(lián)系.辨析比較在幾何中向量的加法是用幾何作圖來定義的。它有兩種法則，其中三角形法則比平行四邊形法則更具有一般性.像兩個向量共線時就只能用三角形法則了.當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是一致的.③向量加法的結合律：（a+b）+c=a+(b+c)證明：如圖2—2-6，使=a,=b，=c圖2-2則（a+b)+c=.a+(b+c)=，∴(a+b）+c=a+(b+c).從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.記憶要訣向量的加法同實數(shù)的加法一樣，滿足交換律與結合律.可對比于實數(shù)加法的運算記憶向量加法的運算。2.向量的減法在實數(shù)的運算中減法是加法的逆運算，同樣地，向量的減法是向量加法的逆運算.一般地，若b+x=a，則向量x就叫a與b的差,記作a—b，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.記憶要訣向量的減法與加法互為逆運算，有關向量的減法可同加法相類比，也可同實數(shù)的減法相類比.向量的減法也滿足三角形法則，具體如下（如圖2—圖2已知向量a與b不共線，在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b。由于，即b+=a，所以，=a—b。這就是說，當向量a，b起點相同時，從b的終點指向a的終點的向量就是a—b，即差向量“箭頭”指向被減數(shù)。由加法的結合律不難得出：a—b=a+(—b)，且這個結果可由圖2-圖2此外，向量的減法也可以用平行四邊形法則來表示：如圖2—2—9,圖中向量=a+b,而向量=a—圖2學法一得一般地，不論兩向量共線還是不共線,常選取一個適當?shù)狞c，通過平移把兩向量的起點重合，則由減數(shù)向量的終點指向被減數(shù)向量的終點的向量，即為所求的差向量。3。向量的數(shù)乘（1)向量的數(shù)乘已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+（—a)+（-a)。由向量的加法不難得出：=a+a+a=3a，=(—a)+（-a）+(-a）=-3a.由圖2—圖2-2-10①3a與a方向相同且|3a|=3｜a|;(2）-3a與a方向相反且｜—3一般地，實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,記作λa,它的長度和方向規(guī)定如下：①｜λa|=|λ｜｜a｜.②λ＞0時,λa與a方向相同;λ＜0時,λa與a方向相反;λ=0時，λa=0。由上可知：①當｜λ｜＞1時,相當于把a的長度擴大;當｜λ|＜1時,相當于把a的長度縮?。虎讦?0時,λa仍然是一個向量，這個向量是零向量，即等式λa=0兩端都是向量，等號才成立。此處容易出現(xiàn)的錯誤是將實數(shù)0與向量0混淆.學法一得由于向量是既有大小又有方向的量,所以無論研究向量的和、差，還是研究實數(shù)與向量的積，對運算的結果都要從模與方向兩個方面給予關注。誤區(qū)警示實數(shù)可以和向量進行乘法運算,其運算結果仍是向量，但不能和向量進行加法和減法運算.例如2+0無意義，它既不是向量也不是實數(shù)。（2)向量數(shù)乘的運算律根據(jù)向量數(shù)乘的定義，可以得出向量數(shù)乘滿足下列運算律結合律：λ（μa）=(λμ）a；①第一分配律：（λ+μ)a=λa+μa;②第二分配律：λ(a+b）=λa+λb.③結合律證明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一個成立，則①式成立。如果λ≠0，μ≠0，a≠0，有|λ（μa）｜=｜λ｜|μa|=|λ｜|μ|｜a|,｜（λμ)a|=|λμ||a｜=|λ||μ｜｜a｜，∴｜λ（μa)|=|（λμ)a|。如果λ、μ同號，則①式兩端向量的方向都與a同向；如果λ、μ異號,則①式兩端向量的方向都與a反向。從而λ(μa）=(λμ)a。第一分配律證明:如果λ=0，μ=0，a=0至少有一個成立,則②式顯然成立。如果λ≠0,μ≠0，a≠0，當λ、μ同號時,則λa和μa同向,∴|（λ+μ）a｜=|λ+μ｜｜a｜=（|λ｜+｜μ｜）｜a|.|λa+μa｜=｜λa|+|μa｜=|λ|｜a｜+|μ||a｜=(｜λ|+|μ｜)｜a|.∵λ、μ同號，∴②兩邊向量方向都與a同向，即｜（λ+μ)a|=｜λa+μa｜.當λ、μ異號，當λ＞μ時，②兩邊向量的方向都與λa同向;當λ＜μ時，②兩邊向量的方向都與μa同向，且｜（λ+μ)a|=｜λa+μa|?！啖谑匠闪ⅰ５诙峙渎勺C明：如果a=0，b=0中至少有一個成立，或λ=0，λ=1,則③式顯然成立.當a≠0,b≠0且λ≠0,λ≠1時，①如圖2-作=a，=b，=λa，=λb。則=a+b，=λa+λb。（1)（2）圖2由作法,知∥,有∠OAB=∠OA1B1，|｜=λ||.∴=λ.∴△OAB∽△OA1B1?！?λ。因此,O、B、B1在同一直線上,|｜=|λ|,與λ方向也相同?！唳?a+b）=λa+λb。②如圖2—2-11（2），當λ＜0時，可類似證明：λ(a+b）=λ辨析比較要清楚實數(shù)與向量積和實數(shù)與實數(shù)積的區(qū)別,前者的結果是一個向量,后者的結果是一個實數(shù)，并且前者滿足兩種分配律，而后者只滿足一種分配律。（3)向量共線定理若有向量a（a≠0）、b，實數(shù)λ，使b=λa，則a與b為共線向量.若a與b共線（a≠0)且｜b|∶｜a｜=μ，則當a與b同向時b=μa;當a與b反向時b=—μa。從而得向量共線定理：如果有一個實數(shù)λ，使b=λa（a≠0）,那么b與a是共線向量；反之,如果b與a是共線向量,那么，有且只有一個實數(shù)λ，使b=λa.在向量共線定理中向量a≠0不能忽略，否則定理不成立.利用向量共線定理有時能很容易地證明幾何中的三點共線和兩條直線平行的問題,但是向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括重合的情況，而向量平行則包括了表示向量的有向線段在同一條直線上或重合的情況。利用向量共線定理證明三點共線的一般步驟是：①以三點中任意兩點為端點構造兩個有一個共同端點的向量a、b；②證明兩個向量滿足向量共線定理，即存在唯一的實數(shù)λ，使b=λa或a=λb成立;③由兩條線段有共同的端點得出結論:三點共線.典題·熱題知識點1向量的加法例1如圖2-2—12，在正六邊形中，若=a,=b，若用向量a、b將、、表示出來,則=________________，=______________，=______________。圖2思路解析：設正六邊形中心為P，則=()+=a+b+a,=a+b+a+b.由對稱性：=b+b+a。答案：a+b+aa+b+a+bb+b+a方法歸納深刻領會平行四邊形法則，充分利用平行四邊形的“對邊平行且相等”的性質(zhì)，從而將陌生化為熟知，解決問題.例2已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點，若=0，則四邊形ABCD是怎樣的一個四邊形，點O是四邊形ABCD的什么點？對于這兩個問題，下列結論中正確的是（）A。四邊形ABCD是正方形，點O是正方形ABCD的中心B.四邊形ABCD是一般四邊形，點O是四邊形ABCD對角線的交點C。四邊形ABCD是一般四邊形，點O是四邊形ABCD外接圓的圓心D。四邊形ABCD是一般四邊形，點O是四邊形ABCD對邊中點連線的交點思路解析:如圖2-2—13，點O是四邊形ABCD內(nèi)一點,且圖2由于=0,且，，所以=0，即I、J、O三點共線，即點O在CD、AB中點的連線上，同理可得點O也在AD、BC中點的連線上。答案：D誤區(qū)警示本題易錯選A,這是因為若四邊形ABCD是正方形,點O是正方形ABCD的中心，則必有=0，但反過來，由=0,不能得出四邊形ABCD是正方形。巧解提示采用排除法，利用平行四邊形這一特殊四邊形便可將A、B、C三項排除。知識點2向量的減法例3如圖2-圖2-2-14b+c=______________，a+d=_______________，b+c+d=______________，f+e=______________，e+g=_______________,b-f+g=_______________.思路解析：b+c=a,a+d=f，b+c+d=a+d=f,f+e=b，e+g=h,b—f+g=e+b=h。答案:affbhh方法歸納當所給圖形是不規(guī)則圖形時，可將其分解成多個三角形。當多個向量進行加、減法運算時，可使用向量加法的運算律--交換律和結合律.例4下列式子：①a-a=0；②=0；③a+0=a;④｜a|-｜a｜=0。其中正確的個數(shù)為（）A。0B。1C。2思路解析：由于向量加減法運算的結果是向量，則a—a=0；=0.向量與實數(shù)不能進行加、減法的運算。向量的模是實數(shù),可以進行加、減法的運算，但其結果是實數(shù).故應選擇A。答案：A誤區(qū)警示向量只能與向量進行加、減法的運算，其運算的結果仍是向量，實數(shù)與實數(shù)之間的運算結果是實數(shù),而向量與實數(shù)之間是無法進行加、減法運算的，且零向量與實數(shù)零在書寫上是有區(qū)別的，如果不注意這些,將使向量加減法的運算出現(xiàn)錯誤，從而錯選D.知識點3向量的數(shù)乘例5如圖2—2-求證：M、N、C三點共線。圖2-2-15思路分析：任取兩點確定兩個向量,看能否找到唯一的實數(shù)λ使兩向量相等.證明：設=a，=b，由于M是AB的中點,且，則=，=。則=b+=b+(a-b)=a+b=（2a+b).又=b+a=（2a+b）。∴.∴M、N、C三點共線。方法歸納要證明三點共線,只需證明以其中一點為起點，以另外兩點為終點的兩個向量共線即可。深化升華實數(shù)與向量的積，向量的加減法運算是向量運算的基礎，向量運算實現(xiàn)了幾何量的代數(shù)運算,從而為“數(shù)形結合”開辟了更加廣闊的空間。問題·探究材料信息探究材料：采訪零向量W：你好！零向量。我是《數(shù)學天地》的一名記者，為了讓在校的高中生更好了解你，能不能對你進行一次采訪呢?零向量：當然可以,我們向量王國隨時恭候大家的光臨，很樂意接受你的采訪，讓高中生朋友更加了解我，更好地為他們服務.W：好的，那就開始吧！你的名字有什么特殊的含義嗎？零向量：零向量就是長度為零的向量,它與數(shù)字0有著密切的聯(lián)系，所以用0來表示我。W：你與其他向量有什么共同之處呢?零向量：既然我是向量王國的一個成員，就具有向量的基本性質(zhì)，如既有大小又有方向，在進行加、減法運算時滿足交