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文檔簡介
2022-2023學(xué)年湖南省邵東縣三中高三3月學(xué)生學(xué)業(yè)能力調(diào)研數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn),且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.點(diǎn)為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.4.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在上,若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為,則()A. B. C. D.5.1777年,法國科學(xué)家蒲豐在宴請客人時(shí),在地上鋪了一張白紙,上面畫著一條條等距離的平行線,而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的,長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針,讓他們隨意投放.事后,蒲豐對針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)共投針2212枚,與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針,則針落地后與直線相交的概率約為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),,若對任意的總有恒成立,記的最小值為,則最大值為()A.1 B. C. D.7.()A. B. C. D.8.拋物線的準(zhǔn)線方程是,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.9.已知函數(shù)滿足,且,則不等式的解集為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),,則的極大值點(diǎn)為()A. B. C. D.11.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或112.若函數(shù)在時(shí)取得極值,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在邊長為2的正三角形中,,則的取值范圍為______.14.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的最大值是__________.15.若函數(shù),則使得不等式成立的的取值范圍為_________.16.已知非零向量,滿足,且,則與的夾角為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:ρcos2θ=4asinθ?(a>0),直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,y=-1+(I)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程(不要求具體過程);(II)設(shè)P(-2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.18.(12分)若養(yǎng)殖場每個(gè)月生豬的死亡率不超過,則該養(yǎng)殖場考核為合格,該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145(1)從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個(gè)月中任意選取3個(gè)月,求恰好有2個(gè)月考核獲得合格的概率;(2)根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù),求出月利潤y(十萬元)關(guān)于月養(yǎng)殖量x(千只)的線性回歸方程(精確到0.001).(3)預(yù)計(jì)在今后的養(yǎng)殖中,月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從(2)中的關(guān)系,若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只,試估計(jì):該月利潤約為多少萬元?附:線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計(jì)計(jì)算公式如下:,參考數(shù)據(jù):.19.(12分)已知函數(shù),其中.(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)求證:.20.(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且n、、成等差數(shù)列,.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列,求的值.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,取相同長度單位建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;(2)設(shè)射線與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn),與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn),求線段的長.22.(10分)如圖所示,四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=CD=2,E為AB的中點(diǎn),底面四邊形ABCD滿足∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=1.(Ⅰ)求證:平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角D﹣PE﹣B的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
先求出直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得A,B的縱坐標(biāo),利用,求出a,b的關(guān)系,即可求出該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線1(a>b>0)的漸近線方程為y=±x,∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍,∴kl,∴直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得y或y,∵,∴2?,∴ab,∴c=2b,∴e.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),考查向量知識,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.2.B【解析】
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,利用的幾何意義即可得到結(jié)論.【詳解】不等式組作出可行域如圖:,,,的幾何意義是動點(diǎn)到的斜率,由圖象可知的斜率為1,的斜率為:,則的取值范圍是:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.3.B【解析】
可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以.【詳解】在上單調(diào)遞增,且,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),利用單調(diào)性比大小等知識,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.4.C【解析】
求得點(diǎn)坐標(biāo),由此求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,求得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得【詳解】拋物線焦點(diǎn)為,令,,解得,不妨設(shè),則直線的方程為,由,解得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的弦長的求法,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出頻率,用以估計(jì)概率.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查利用頻率估計(jì)概率,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
對任意的總有恒成立,因?yàn)椋瑢愠闪?,可得,令,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】對任意的總有恒成立,對恒成立,令,可得令,得當(dāng),當(dāng),,故令,得當(dāng)時(shí),當(dāng),當(dāng)時(shí),故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題,解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.7.D【解析】
利用,根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡,可得,然后利用兩角差的正弦定理,可得結(jié)果.【詳解】由所以,所以原式所以原式故故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式,關(guān)鍵在于掌握公式,屬基礎(chǔ)題.8.C【解析】
根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對照系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,,即函數(shù)為減函數(shù),,,則不等式等價(jià)為,則不等式的解集為,即的解為,,由得或,解得或,故不等式的解集為.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,是難題.10.A【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)?,故可得,令,因?yàn)椋士傻没?,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點(diǎn)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn),屬基礎(chǔ)題.11.D【解析】
求得直線的斜率,利用曲線的導(dǎo)數(shù),求得切點(diǎn)坐標(biāo),代入直線方程,求得的值.【詳解】直線的斜率為,對于,令,解得,故切點(diǎn)為,代入直線方程得,解得或1.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值,得到,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,又函?shù)在時(shí)取得極值,所以,解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題,屬于常考題型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
建立直角坐標(biāo)系,依題意可求得,而,,,故可得,且,由此構(gòu)造函數(shù),,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),,,,根據(jù),即,,,則,,即,,,則,,所以,,,,,,且,故,設(shè),,易知二次函數(shù)的對稱軸為,故函數(shù)在,上的最大值為,最小值為,故的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意通過設(shè)元、消元,將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題.14.【解析】
令,所求問題的最大值為,只需求出即可,作出可行域,利用幾何意義即可解決.【詳解】作出可行域,如圖令,則,顯然當(dāng)直線經(jīng)過時(shí),最大,且,故的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,要做好此類題,前提是正確畫出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.15.【解析】
分,兩種情況代入討論即可求解.【詳解】,當(dāng)時(shí),,符合;當(dāng)時(shí),,不滿足.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計(jì)算,考查了分類討論的思想.16.(或?qū)懗桑窘馕觥?/p>
設(shè)與的夾角為,通過,可得,化簡整理可求出,從而得到答案.【詳解】設(shè)與的夾角為可得,故,將代入可得得到,于是與的夾角為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,分析能力及計(jì)算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(I)x2=4aya>0,x-y+1=0【解析】
(I)利用所給的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程,直接整理化簡得到直角坐標(biāo)方程和普通方程;(II)聯(lián)立直線的參數(shù)方程和C的直角坐標(biāo)方程,結(jié)合韋達(dá)定理以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】(I)曲線C:ρcos2可得ρ2cos2直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,x-y=-1,得x-y+1=0;(II)將x=-2+22t,y=-1+2t韋達(dá)定理:t1由題意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)和普通方程的互化,以及參數(shù)方程的綜合知識,結(jié)合等比數(shù)列,熟練運(yùn)用知識,屬于較易題.18.(1);(2);(3)利潤約為111.2萬元.【解析】
(1)首先列出基本事件,然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個(gè)月合格的概率;(2)首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值,然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程;(3)根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤.【詳解】(1)2月到6月中,合格的月份為2,3,4月份,則5個(gè)月份任意選取3個(gè)月份的基本事件有,,,,,,,,,,共計(jì)10個(gè),故恰好有兩個(gè)月考核合格的概率為;(2),,,,故;(3)當(dāng)千只,(十萬元)(萬元),故9月份的利潤約為111.2萬元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型,線性回歸方程的求解和使用,屬于基礎(chǔ)題.19.(1)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)且時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn);(2)見解析【解析】
(1)利用的導(dǎo)函數(shù),求得的最大值的表達(dá)式,對進(jìn)行分類討論,由此判斷出的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)由,得到和,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得,即有,從而證得,即.【詳解】(1),∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上遞增,在上遞減,.令在上遞減,在上遞增,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.①時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);②時(shí),,此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn);③時(shí),,令在上遞增,,此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn);綜上:時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)且時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn);(2)由(1)可知:,令在上遞增,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20.(1)證明見解析,;(2)11202.【解析】
(1)由n,,成等差數(shù)列,可得,,兩式相減,由等比數(shù)列的定義可得是等比數(shù)列,可求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)中的可求出,根據(jù)和求出數(shù)列,中的公共項(xiàng),分組求和,結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式,可得答案.【詳解】(1)證明:因?yàn)閚,,成等差數(shù)列,所以,①所以.②①-②,得,所以.又當(dāng)時(shí),,所以,所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,即.(2)根據(jù)(1)求解知,,,所以,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.又因?yàn)?,,,,,,,,,,,所?【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義,考查分組求和,屬于中檔題.21.(1);(2)【解析】
曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.再用極直互化公式求解,曲線的極坐標(biāo)方程用極直互化公式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程.射線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出,射線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出,再用得解【詳解】解:曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.把,代入得:曲線的極坐標(biāo)方程為.轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.設(shè)
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