專題10有關(guān)弧長(zhǎng)應(yīng)用的4種壓軸題型全

專題10有關(guān)弧長(zhǎng)應(yīng)用的4種壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一弧長(zhǎng)與圓心角的互化】 1【考點(diǎn)二利用弧長(zhǎng)計(jì)算出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程】 2【考點(diǎn)三利用弧長(zhǎng)求出組合圖形的周長(zhǎng)】 2【考點(diǎn)四同底數(shù)冪乘除法應(yīng)用的拓展提高】 3【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 4【典型例題】【考點(diǎn)一弧長(zhǎng)與圓心角的互化】【例題1】一條弧所對(duì)的圓心角是144°，那么這條弧長(zhǎng)與這條弧所在圓的周長(zhǎng)之比為（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式以及圓的周長(zhǎng)公式列式化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：設(shè)這條弧所在圓的半徑為，則這條弧長(zhǎng)為：，這條弧所在圓的周長(zhǎng)為，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式：（弧長(zhǎng)為，圓心角度數(shù)為，圓的半徑為），熟記公式是解題的關(guān)鍵．【變式1】一個(gè)扇形占其所在圓的面積的，則該扇形圓心角是（）A．225° B．45° C．60° D．無(wú)法計(jì)算【分析】根據(jù)扇形與所在圓的面積之比即為扇形圓心角度數(shù)與360度的比進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得，該扇形圓心角是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形圓心角度數(shù)，熟知扇形與所在圓的面積之比即為扇形圓心角度數(shù)與360度的比是解題的關(guān)鍵．【變式2】把一個(gè)圓剪成兩個(gè)扇形，如果其中較小扇形的圓心角為135度，那么較小扇形的弧長(zhǎng)是較大扇形的弧長(zhǎng)的_________（填幾分之幾）．【分析】先求出較小扇形的弧長(zhǎng)為，較大扇形的弧長(zhǎng)為，根據(jù)分?jǐn)?shù)的除法÷=即可．【詳解】解：∵，∴較小扇形的弧長(zhǎng)為，∴較大扇形的弧長(zhǎng)為，∴÷=∴較小扇形的弧長(zhǎng)是較大扇形的弧長(zhǎng)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)，圓心角、扇形弧長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)的關(guān)系，分?jǐn)?shù)的除法，掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)，圓心角、扇形弧長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)的關(guān)系，分?jǐn)?shù)的除法是解題關(guān)鍵．【變式3】如果一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”．那么這個(gè)扇形的圓心角度數(shù)為_(kāi)________．（精確到0.1）【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為r，則，解得，，故答案為：57.3°．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，解題關(guān)鍵是熟記弧長(zhǎng)公式，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．【考點(diǎn)二利用弧長(zhǎng)計(jì)算出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程】【例題2】．一個(gè)鬧鐘的分針長(zhǎng)是，從6：00到10：00，這根分針的尖端走了（

）A． B． C． D．【分析】從6：00到10：00分針正好轉(zhuǎn)了4圈，又因分針長(zhǎng)，即分針?biāo)?jīng)過(guò)的圓的半徑是，從而利用圓的周長(zhǎng)公式即可求出分針走過(guò)的路程．【詳解】解：．答：這根分針的尖端走了．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查圓的周長(zhǎng)公式的應(yīng)用，熟練掌握周長(zhǎng)公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】一只掛鐘的分針長(zhǎng)10厘米，經(jīng)過(guò)30分鐘，分針的外端所走的路程是（）厘米．A．20π B．15π C．10π D．5π【分析】根據(jù)分針走一圈是形成一個(gè)圓，再根據(jù)分針走一圈是分鐘，則經(jīng)過(guò)分鐘是走了圓的，即個(gè)圓，再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，計(jì)算即可．【詳解】解：（厘米）．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長(zhǎng)，解本題的關(guān)鍵在理解分針走一圈是分鐘，則經(jīng)過(guò)分鐘是走了圓的．【變式2】如圖小圓半徑繞大圓（半徑）的外側(cè)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，小圓自身轉(zhuǎn)了（）周．【分析】先算出大圓的周長(zhǎng)，小圓的周長(zhǎng)，再根據(jù)題意用大圓的周長(zhǎng)除以小圓的周長(zhǎng)即可得．【詳解】解：大圓的周長(zhǎng)：，小圓的周長(zhǎng)：，∴小圓自身轉(zhuǎn)了：（周），【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)．【變式3】如圖，有一條傳送帶，當(dāng)半徑為40厘米的轉(zhuǎn)動(dòng)輪繞中心順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°時(shí)，傳送帶上的物體移動(dòng)的距離是_________厘米.【分析】傳送帶上的物體A平移的距離為半徑為34cm的轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)過(guò)角的扇形的弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得．【詳解】解：由題意得，R=40cm，n=90°，故cm，故答案為：20π．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，關(guān)鍵是理解傳送帶上的物體A平移的距離為半徑為30cm的轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)過(guò)角的扇形的弧長(zhǎng)【考點(diǎn)三利用弧長(zhǎng)求出組合圖形的周長(zhǎng)】【例題3】如圖，以B、C為圓心的兩個(gè)半圓的直徑都是2厘米，那么陰影部分的周長(zhǎng)是多少厘米？（取3.14）【分析】由題意可知，兩段弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)均為，再依據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求陰影部分的周長(zhǎng)．【詳解】∵已知兩段弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)均為，∴陰影部分的周長(zhǎng)為：．答：陰影部分的周長(zhǎng)是3.09厘米【點(diǎn)睛】考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，注意陰影部分的周長(zhǎng)包含的長(zhǎng)．【變式1】如圖中的圓的周長(zhǎng)是16.4厘米，圓的面積與長(zhǎng)方形的面積正好相等，圖中陰影部分的周長(zhǎng)是多少厘米？（取3.14）【分析】由題可知陰影部分的周長(zhǎng)=長(zhǎng)方形的長(zhǎng)長(zhǎng)方形的寬圓的半徑圓的周長(zhǎng)，求解即可．【詳解】解：由圖可知，這個(gè)長(zhǎng)方形的寬等于圓的半徑，長(zhǎng)方形的面積等于圓的面積，所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓的周長(zhǎng)的一半，故陰影部分的周長(zhǎng)=長(zhǎng)方形的長(zhǎng)長(zhǎng)方形的寬圓的半徑圓的周長(zhǎng)厘米．【點(diǎn)睛】考查不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)的計(jì)算，注意計(jì)算周長(zhǎng)是要包含組成圖形的所有的線段和?。咀兪?】“萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時(shí)廣泛使用的一種圖形．如圖，以邊長(zhǎng)為2厘米的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)畫弧，三段圓弧圍成的圖形就是“萊洛三角形”．請(qǐng)問(wèn)：該“萊洛三角形”的弧長(zhǎng)為_(kāi)________（結(jié)果保留）．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，利用弧長(zhǎng)公式即可求出“萊洛三角形”的弧長(zhǎng)．【詳解】解：為等邊三角形，，“萊洛三角形”的弧長(zhǎng)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的公式，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．【變式3】直徑均為1米的四根管子被一根金屬帶緊緊地的捆在一起，如圖所示，試求金屬帶的長(zhǎng)度．（取3.14）【分析】通過(guò)觀察可知，金屬帶長(zhǎng)度為一個(gè)圓的周長(zhǎng)和直徑的4倍的和，再進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：由題意得：米，故金屬帶的長(zhǎng)度為：7.14米．【點(diǎn)睛】本題中考查了圓的周長(zhǎng)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意金屬帶的長(zhǎng)度包含了4個(gè)直徑．【考點(diǎn)四同底數(shù)冪乘除法應(yīng)用的拓展提高】【例題4】將三角形ABC以B為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到三角形DBE，，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)________．【分析】找出A經(jīng)過(guò)的路徑，利用圓的周長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】解：A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是以AB為半徑的四分之一圓的周長(zhǎng)，A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)：，故答案為：6.28【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的周長(zhǎng)公式，掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，長(zhǎng)方形中，厘米，厘米，把長(zhǎng)方形繞頂點(diǎn)B順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，且點(diǎn)A、B、三點(diǎn)在一條直線上，則A點(diǎn)和C點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程之比為_(kāi)________．【分析】根據(jù)題意可知，A點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程是以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓的周長(zhǎng)，C點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓的周長(zhǎng)，分別求出經(jīng)過(guò)的路程，再求比值即可．【詳解】解：∵厘米，厘米，∴A點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程：（厘米），C點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程：（厘米），∴A點(diǎn)和C點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程之比為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比的應(yīng)用，圓的周長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是先將A點(diǎn)和C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程表示出來(lái)．【變式2】如圖，有一只狗被拴在一建筑物的墻角上，這個(gè)建筑物是邊長(zhǎng)600厘米的正方形，栓狗的繩子長(zhǎng)20米．現(xiàn)狗從A點(diǎn)出發(fā)，將繩子拉緊順時(shí)針跑，可跑多少米？（取3.14）【分析】首先得到狗可以跑4個(gè)圓，然后分別求出4個(gè)圓的長(zhǎng)度，然后求和即可．【詳解】狗可以跑4個(gè)圓，第一個(gè)圓的半徑為20米，路程是：；第二個(gè)圓的半徑為米，路程是：；第三個(gè)圓的半徑為米，路程是：；第四個(gè)圓的半徑為米，路程是：．所以可以跑的總路程為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是分清每段圓的半徑．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題1．在一張長(zhǎng)方形的紙剪一個(gè)最大的半圓，長(zhǎng)是24厘米，寬10厘米，半圓的周長(zhǎng)是（

）A．51.4厘米 B．31.4厘米 C．25.7厘米【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形內(nèi)最大半圓的特點(diǎn)可知，這個(gè)半圓的半徑是10厘米，由此利用半圓的周長(zhǎng)＝圓周長(zhǎng)÷2＋半徑×2即可解答．【詳解】解：2×3.14×10÷2＋10×2＝31.4＋20＝51.4（厘米）即這個(gè)半圓的周長(zhǎng)是51.4厘米．故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了半圓周長(zhǎng)的計(jì)算方法，此題的關(guān)鍵是根據(jù)長(zhǎng)方形內(nèi)最大半圓的特點(diǎn)，先確定出半圓的直徑．2．一條弧所對(duì)的圓心角是，則這條弧長(zhǎng)與這條弧所在圓的周長(zhǎng)之比為（

）A． B． C． D．【分析】利用這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)除以360°即可求出結(jié)論．【詳解】解：72÷360=即這條弧長(zhǎng)與這條弧所在圓的周長(zhǎng)之比為故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是弧長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)，掌握弧長(zhǎng)與這條弧所在圓的周長(zhǎng)之比等于這條弧所對(duì)的圓心角與360°的比是解題關(guān)鍵．3．圖中陰影部分的周長(zhǎng)是（

）

A．18cm B．cm C．36cm D．cm【分析】根據(jù)圖示可知：長(zhǎng)方形的寬為7÷2=3.5cm，每個(gè)圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬3.5cm，圖中陰影部分的周長(zhǎng)是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與兩個(gè)等圓的周長(zhǎng)和．【詳解】長(zhǎng)方形的寬為7÷2=3.5(cm)，每個(gè)圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬3.5cm，陰影部分的周長(zhǎng)為：(cm)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了組合圖形的周長(zhǎng)，明確陰影部分的周長(zhǎng)是“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與兩個(gè)等圓的周長(zhǎng)和”是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．若一弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的，則它所對(duì)的圓心角是度_________．【分析】由于圓周角為360°，則一弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的，那么弧所對(duì)的圓心角是圓周角的，據(jù)此解答．【詳解】，故填：144【點(diǎn)睛】明確圓周角為360度，進(jìn)而根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義求出圓周長(zhǎng)的所在的圓心角度數(shù)．5．在半徑是18厘米的圓中，150°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_________厘米【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：150°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為：；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長(zhǎng)計(jì)算公式，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．6．臺(tái)鐘的時(shí)針長(zhǎng)10厘米，從中午12點(diǎn)到下午3點(diǎn)，時(shí)針尖端走過(guò)的路程是_________厘米．【分析】求出時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：從中午12時(shí)到下午3時(shí)，時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的圓心角的度數(shù)為，所以時(shí)針的針尖劃過(guò)的弧長(zhǎng)為（），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．7．一條弧的長(zhǎng)度為25.12，所對(duì)圓心角為，那么弧所在的圓的半徑為_(kāi)________．【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式可直接求解．【詳解】因?yàn)橐粭l弧的長(zhǎng)度為25.12，所對(duì)圓心角為，所以．故答案為12．【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．8．一條弧長(zhǎng)是56.52cm，這條弧所對(duì)的圓心角是60°，則這條弧所在圓的周長(zhǎng)是_________cm．【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)所對(duì)的圓心角是360°，可得圓周長(zhǎng)是這條弧長(zhǎng)的倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)而可得答案．【詳解】(cm)．故答案為：339.12【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)與弧長(zhǎng)，熟記圓的周長(zhǎng)所對(duì)的圓心角是360°是解題關(guān)鍵．9．一弧長(zhǎng)為，這弧的半徑為，則弧所對(duì)的圓心角為_(kāi)________度．【分析】利用弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】解：該弧所對(duì)的圓心角為，故答案為：270．【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．10．半徑為16厘米的圓形紙片，三次對(duì)折后所得圖形的周長(zhǎng)是_________．【分析】將圓三次對(duì)折后的弧長(zhǎng)即是圓周長(zhǎng)的，再加上兩條半徑即可解題．【詳解】解：，故答案為：厘米．【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)計(jì)算等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．11．一個(gè)直徑在1~1.5厘米之間的圓，從直尺的0刻度線出發(fā)，在直尺上滾動(dòng)一周后，圓的位置大約在_________處．【分析】分別求出直徑為1厘米的圓的周長(zhǎng)和直徑為1.5厘米的圓的周長(zhǎng)，即可求出該圓周長(zhǎng)的取值范圍，從而作出判斷．【詳解】解：直徑為1厘米的圓的周長(zhǎng)為3.14×1=3.14（厘米）直徑為1.5厘米的圓的周長(zhǎng)為3.14×1.5=4.71（厘米）則該圓的周長(zhǎng)在3.14~4.71厘米所以該圓從直尺的0刻度線出發(fā)，在直尺上滾動(dòng)一周后，圓的位置大約在C處故答案為：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是圓的周長(zhǎng)，根據(jù)圓直徑的取值范圍求出周長(zhǎng)的取值范圍是解題關(guān)鍵．12．生活中，經(jīng)常把一些同樣大小的圓柱管按下圖的方式捆扎起來(lái)，如果每根圓柱管的直徑是8cm，當(dāng)圓柱管放置方式是“單層平放”時(shí)，捆扎一圈后的橫截面如下圖所示，那么當(dāng)圓柱管有100個(gè)時(shí)，需要繩子()cm．（取3）

【分析】1個(gè)圓柱體時(shí)，繩子的長(zhǎng)度就是底面圓的周長(zhǎng)；2個(gè)圓柱體時(shí)，繩子的長(zhǎng)度就是一個(gè)底面圓的周長(zhǎng)加上圓的直徑；3個(gè)圓柱體時(shí)，繩子的長(zhǎng)度就是一個(gè)底面圓的周長(zhǎng)加上圓的直徑；那么100個(gè)圓柱體，繩子的長(zhǎng)度就是一個(gè)底面圓的周長(zhǎng)加上圓的直徑；據(jù)此求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，圓柱管有100個(gè)時(shí)，需要繩子，故答案為：1608．【點(diǎn)睛】本題考查了利用圓的相關(guān)知識(shí)求解，根據(jù)題意得出那么100個(gè)圓柱體，繩子的長(zhǎng)度就是一個(gè)底面圓的周長(zhǎng)加上圓的直徑是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．求圖中的長(zhǎng)度．【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)，熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．14．求下列陰影部分的周長(zhǎng)：（單位：dm）【分析】根據(jù)題意及圖形可知陰影部分的周長(zhǎng)是等于兩個(gè)弧長(zhǎng)加兩個(gè)半徑的差，然后列式直接求解即可．【詳解】由題意及圖形可得：陰影部分的周長(zhǎng)為兩個(gè)弧長(zhǎng)加兩個(gè)半徑差【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長(zhǎng)計(jì)算，由圖形分析計(jì)算陰影部分周長(zhǎng)的方法及熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．15．小方家掛鐘的分鐘長(zhǎng)24厘米，1小時(shí)后，分針的尖端所走的路程是多少厘米？10小時(shí)后呢？（取3.14）【分析】1小時(shí)分針走了一圈，要求1小時(shí)分針的尖端所走的路程，只要求得掛鐘的周長(zhǎng)即可；10小時(shí)就把1小時(shí)走的距離乘以10即可．【詳解】1小時(shí)后走過(guò)的路成為：，10小時(shí)后走過(guò)的路成為：．【點(diǎn)睛】考查圓的周長(zhǎng)的計(jì)算，分針走過(guò)1小時(shí)，針尖走過(guò)的路程即為一個(gè)圓的周長(zhǎng)．16．現(xiàn)有四根半徑為5厘米的圓柱形物體，為方便運(yùn)輸，準(zhǔn)備用繩子捆綁在一起