6.6.3球的表面積和體積（教學(xué)設(shè)計(jì)）高一數(shù)學(xué)（北師大版2019）

北師大版必修第二冊(cè)第六章《立體幾何初步》6.6.3球的表面積和體積（教學(xué)設(shè)計(jì)）【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握球的截面特征；（直觀想象）2.掌握球的表面積和體積的計(jì)算公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題（數(shù)學(xué)運(yùn)算）【教學(xué)重點(diǎn)】球的表面積和體積公式【教學(xué)難點(diǎn)】與球相關(guān)的簡(jiǎn)單組合體的表面積與體積的計(jì)算【教學(xué)過(guò)程】一、實(shí)例分析，提出問(wèn)題問(wèn)題1：球也是旋轉(zhuǎn)體，它是由什么平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的？以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體.問(wèn)題2：一條直線(xiàn)與圓相交，在圓內(nèi)的部分是弦.把直線(xiàn)換成平面，圓換成球，即用一個(gè)平面去截球，截面是什么？圓面.球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的大圓；球面被不過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的小圓.球的截面的性質(zhì)：（1）球心和截面圓心的連線(xiàn)垂直于截面；（2）截面半徑r與球的半徑R和球心到截面的距離d有下面的關(guān)系：與圓和直線(xiàn)相切類(lèi)似，當(dāng)直線(xiàn)與球有唯一交點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)直線(xiàn)與球相切，這一交點(diǎn)稱(chēng)為直線(xiàn)與球的切點(diǎn).課本P254思考交流：過(guò)球外一點(diǎn)作球的切線(xiàn)，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段長(zhǎng)稱(chēng)為這點(diǎn)到球的切線(xiàn)長(zhǎng)，過(guò)球外一點(diǎn)P，可以作球的無(wú)數(shù)條切線(xiàn).那么所有切線(xiàn)的切線(xiàn)長(zhǎng)相等嗎？所有切點(diǎn)組成什么圖形？過(guò)球外一點(diǎn)P，可以作球的無(wú)數(shù)條切線(xiàn).那么所有切線(xiàn)的切線(xiàn)長(zhǎng)相等嗎？所有切點(diǎn)組成什么圖形？解：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與球O相切于點(diǎn)A，則平面POA與球面的交線(xiàn)是球的大圓(如圖)，由直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)可得OA⊥AP，∴∵點(diǎn)P到球心O的距離PO為定值，∴AP是定值，∴過(guò)球外一點(diǎn)的所有切線(xiàn)的切線(xiàn)長(zhǎng)都相等，所有切點(diǎn)組成一個(gè)圓.球的表面積和體積可用下面的公式來(lái)計(jì)算：S球面＝4πR2，V球＝43πr3(二、抽象概括，得出概念1.球的截面球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓稱(chēng)為球的大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓稱(chēng)為球的小圓.用一個(gè)平面α去截半徑為R的球O，有以下性質(zhì)：（1）若平面α過(guò)球心O，則截線(xiàn)是以球心O為圓心的圓.（2）若平面α不過(guò)球心O，如下圖，不妨設(shè)OO′⊥α于點(diǎn)O′，記OO′＝d，對(duì)于平面與球面的任意一個(gè)公共點(diǎn)P，都滿(mǎn)足OO′⊥O′P，所以O(shè)′P＝eq\r(R2－d2)，此時(shí)截線(xiàn)是以點(diǎn)O′為圓心、以r＝eq\r(R2－d2)為半徑的圓.2.球的切線(xiàn)（1）定義：當(dāng)直線(xiàn)與球有唯一交點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)直線(xiàn)與球相切，這一交點(diǎn)稱(chēng)為直線(xiàn)與球的切點(diǎn).（2）性質(zhì)：過(guò)球外一點(diǎn)的所有切線(xiàn)的切線(xiàn)長(zhǎng)都相等.3.球的表面積與體積公式條件球的半徑為R表面積公式S＝4πR2體積公式V＝eq\f(4,3)πR3【概念辨析】1.判斷下列說(shuō)法是否正確，正確的在它后面的括號(hào)里畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)球的體積是關(guān)于球半徑的一個(gè)函數(shù).(√)(2)球的表面積等于它的大圓面積的2倍.(×)(3)兩個(gè)球的半徑之比為1∶3，則其體積之比為1∶9.(×)(4)球心與其不過(guò)球心的截面圓的圓心的連線(xiàn)垂直于截面.(√)三、典例剖析，理解概念課本P255例6例6如圖，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，會(huì)溢出杯子嗎？(假設(shè)冰激凌融化前后體積不變)解：∵∴V半球＜V圓錐，∴冰激凌融化了，不會(huì)溢出杯子.課本P255例7例7一個(gè)圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為3cm，瓶里所裝的水深為8cm，將一個(gè)鋼球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm.求鋼球的半徑.解：如圖，設(shè)鋼球半徑為Rcm，根據(jù)題意，得解得R＝1.5，所以鋼球的半徑為1.5cm.【當(dāng)堂訓(xùn)練】1．用平面α截一個(gè)球，所得的截面面積為4π，若α到該球球心的距離為5，求球的體積解：設(shè)截面圓半徑為r，球半徑為R，球心到截面的距離為d.根據(jù)題意可得：πr2=4π，所以球的半徑為R=r所以球的體積為43四、遷移應(yīng)用，掌握概念球的截面問(wèn)題1.已知球的兩平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)，且相距為1.求這個(gè)球的表面積.解如右圖，設(shè)以r1為半徑的截面面積為5π，以r2為半徑的截面面積為8π，O1O2＝1，球的半徑為R，OO2＝x.可得下列關(guān)系式：req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝R2－x2，且πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝π(R2－x2)＝8π，req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝R2－(x＋1)2，且πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝π[R2－(x＋1)2]＝5π.∴π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π.∴R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3.∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，即R2＝9.∴R＝3.∴球的表面積S＝4πR2＝4π×32＝36π.2.如右圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm.若不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A.eq\f(866π,3)cm3B.eq\f(500π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3 D.eq\f(2048π,3)cm3解：利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解.如右圖，作出球的一個(gè)截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm).設(shè)球的半徑為Rcm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42.解得R＝5.故V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)(cm3).，選B.與球有關(guān)的切接問(wèn)題1.球與正方體的六個(gè)面都相切，稱(chēng)球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為r1＝eq\f(a,2)，過(guò)在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)作截面；2.球與正方體的各條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面，得r2＝eq\f(\r(2),2)a；3.長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱(chēng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)是球的直徑.若長(zhǎng)方體過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則過(guò)球心作長(zhǎng)方體的對(duì)角面，得球的半徑為r3＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)；4.正方體棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝eq\r(3)a；5.正四面體的棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝eq\f(\r(6),2)a.1．已知三棱錐A-BCD的所有棱長(zhǎng)均為22,球O為三棱錐A-BCD的外接球,則球O的體積為（

A．4π B．6π C．432．若一個(gè)正四棱柱的表面積為64，高為2，則該正四棱柱的外接球的體積為【參考答案】1．C【詳解】因?yàn)槿忮FA-BCD的所有棱長(zhǎng)均為22，故可把已知三棱錐A-BCD放置在正方體A1

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則a2+a三棱錐A-BCD的外接球就是正方體的外接球，故球O的半徑R=3所以球O的體積V=4π2．解：設(shè)正四棱柱的底面正方形的邊長(zhǎng)為a,a>0則2a2+4a?2=2a2而正四棱柱的外接球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線(xiàn)，所以該正四棱柱的外接球的半徑為R=a所以該正四棱柱的外接球的體積為V=4五、當(dāng)堂檢測(cè)，鞏固達(dá)標(biāo)1．已知某球體的體積與其表面積的數(shù)值相等，則此球體的半徑（

）A．4 B．13 C．43 D2．長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別是1，3，15，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的體積是（

）A．1256π B．125π C．253．已知一平面截球O所得截面圓的半徑為2，且球心O到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為．4．一個(gè)正方體的表面積為6，若一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，則此球的體積是.【參考答案】1．D【詳解】設(shè)球體的半徑為R,則球的體積為43πR3，球的表面積