第24章圓(拔高卷)教師版_第1頁
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20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊章節(jié)真題匯編檢測卷(拔高)第24章圓考試時間:120分鐘試卷滿分:100分難度系數(shù):0.49一.選擇題(共10小題,滿分20分,每小題2分)1.(2分)(2023春?倉山區(qū)校級期中)如圖,點A,B,C,D在⊙O上,∠AOC=140°,B是弧AC的中點,則∠D的度數(shù)是()A.30° B.35° C.45° D.70°解:連接OB,如圖,∵B是弧AC的中點,即=,∴∠AOB=∠COB=∠AOC=×140°=70°,∵∠D和∠AOB都對,∴∠D=∠AOB=35°.故選:B.2.(2分)(2022秋?無錫期末)下列說法正確的是()A.三點確定一個圓 B.任何三角形有且只有一個內(nèi)切圓 C.長度相等的弧是等弧 D.三角形的外心是三條角平分線的交點解:A.不在同一條直線上的三個點確定一個圓,故A不符合題意;B.任何三角形有且只有一個內(nèi)切圓,故B符合題意;C.能夠重合的弧是等弧,故C不符合題意;D.三角形的外心是三條邊垂直平分線的交點,故D不符合題意;故選:B.3.(2分)(2022秋?路北區(qū)校級期末)如圖,PA,PB,DE分別切⊙O于點A,B,C.若⊙O的半徑為8cm,PO的長為17cm,則△PDE的周長為()A.15cm B.16cm C.30cm D.34cm解:連接OA,∵PA、PB是⊙O的切線,∴OA⊥PA,PA=PB;由勾股定理得:PA2=PO2﹣OA2=289﹣64=225,∴PA=PB=15cm;∵EA、EC、DC、DB均為⊙O的切線,∴EA=EC,DB=DC,∴DE=EA+DB,∴PE+PD+DE=PA+PB=30(cm),即△PDE的周長為30cm.故選:C.4.(2分)(2023?宜賓)《夢溪筆談》是我國古代科技著作,其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”.如圖,是以點O為圓心、OA為半徑的圓弧,N是AB的中點.MN⊥AB.“會圓術(shù)”給出的弧長l的近似值計算公式:l=AB+.當(dāng)OA=4,∠AOB=60°時,則l的值為()A.11﹣2 B.11﹣4 C.8﹣2 D.8﹣4解:連接ON,如圖:∵是以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓弧,N是AB的中點,MN⊥AB,∴ON⊥AB,∴M,N,O共線,∵OA=4,∠AOB=60°,∴△AOB是等邊三角形,∴OA=AB=4,∠OAN=60°,∴ON=OA?sin60°=2,∴MN=OM﹣ON=4﹣2,∴l(xiāng)=AB+=4+=11﹣4;故選:B.5.(2分)(2023?原平市模擬)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AD是⊙O的直徑,過點C作⊙O的切線交AD的延長線于點E.若∠E=40°,則∠ABC的度數(shù)為()A.110° B.115° C.120° D.125°解:連接OC、DC,則OC=OD,∵CE與⊙O相切于點C,∴CE⊥OC,∴∠OCE=90°,∵∠E=40°,∴∠COE=90°﹣∠E=90°﹣40°=50°,∴∠ADC=∠OCD=×(180°﹣50°)=65°,∴∠ABC=180°﹣∠ADC=180°﹣65°=115°,故選:B.6.(2分)(2022秋?阜寧縣期末)如圖,AB為⊙O的直徑,C、D是⊙O上的兩點,∠DAC=25°,AD=CD,則∠BAC的度數(shù)是()A.30° B.35° C.40° D.50°解:連接BD,如圖,∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∵∠DAC=∠DBC=25°,∵DA=DC,∴弧AD=弧CD,∴∠DBC=∠ABD=25°,∴∠ABC=50°,∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°.故選:C.7.(2分)(2022秋?蜀山區(qū)校級期末)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,BC經(jīng)過圓心O,過點D作⊙O的切線DE,交BC的延長線于點E,AD∥BC.若∠B=60°,則∠E的大小等于()A.30° B.35° C.40° D.50°解:連接OA,OD,如圖,∵∠B=60°,OA=OB,∴△ABO為等邊三角形,∴∠AOB=∠BAO=60°,又∵AD∥BC,∴∠BAD=120°,∴∠DAO=120°﹣60°=60°,又∵OA=OD,∴△ADO為等邊三角形,∴∠AOD=60°,∴∠DOC=180°﹣60°﹣60°=60°,又∵DE是⊙O的切線,∴∠ODE=90°,∴∠E=180°﹣90°﹣60°=30°.故選:A.8.(2分)(2023?原平市模擬)如圖,△ABC是等邊三角形,AD是BC邊上的中線,以點A為圓心,AD長為半徑畫弧分別交AB,AC于點E,F(xiàn),過點E作EG⊥AC于點G,交AD于點H,若AB=6,則圖中陰影部分的面積為()A. B. C. D.解:∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC=BC=6,∵AD是BC邊上的中線,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=30°,BD=CD=3,∴AD=3,∵AE=AF=AD=3,∴△AEF是等邊三角形,∵EG⊥AC于點G,∴EG是∠AEF的角平分線,EG=AE=,∴H是△AEF的重心,∴S△AEF===,∴圖中陰影部分的面積=﹣×=﹣.故選:A.9.(2分)(2023?婺城區(qū)校級模擬)在△ABC中,若O為BC邊的中點,則必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依據(jù)以上結(jié)論,解決如下問題:如圖,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,點P在以DE為直徑的半圓上運動,則PF2+PG2的最小值為()A. B. C.10 D.34解:設(shè)點M為DE的中點,點N為FG的中點,∵PG2+PF2=2PN2+2FN2,∴當(dāng)PN最小時,PF2+PG2的值最小,此時點P在MN上,∵DE=4,四邊形DEFG為矩形,∴GF=DE,MN=EF,∴MP=FN=DE=2,∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1,∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10.故選:C.10.(2分)(2023?十堰)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,弦BD交AC于點E,AE=DE,BC=CE,過點O作OF⊥AC于點F,延長FO交BE于點G,若DE=3,EG=2,則AB的長為()A.4 B.7 C.8 D.解:如圖,連接CD,在△AEB和△DEC中,,∴△AEB≌△DEC(ASA),∴EB=EC,∵BC=CE,∴BE=CE=BC,∴△EBC為等邊三角形,∴∠ACB=60°,如圖,作BM⊥AC于點M,∵OF⊥AC,∴AF=CF,∵△EBC為等邊三角形,∴∠GEF=60°,∴∠EGF=30°,∵EG=2,∴EF=1,∵AE=ED=3,∴CF=AF=4,∴AC=8,EC=5,∴BC=5,∵∠BCM=60°,∴∠MBC=30°,∴CM=,BM=CM=,∴AM=AC﹣CM=,∴AB==7.故選:B.二.填空題(共10小題,滿分20分,每小題2分)11.(2分)(2023?阿瓦提縣模擬)某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐,它的母線AB=5米,半徑OB=4米,則圓錐的側(cè)面積是20π平方米(結(jié)果保留π).解:∵OB=4米,AB=5米,∴圓錐的底面周長=2×π×4=8π米,∴S扇形=lr=×8π×5=20π米2.故答案為:20π.12.(2分)(2023春?富錦市校級期中)將半徑為4cm的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經(jīng)過圓心O,則折痕AB的長度為4cm.解:作半徑OC⊥AB于D點,連接OA、AC,如圖,∵點C與點O關(guān)于AB對稱,即AB垂直平分OC,∴AO=AC,AD=BD,而OA=OC,∴OA=OC=AC,∴△OAC為等邊三角形,∴∠AOD=60°,∴AD=OD=2cm,∴AB=2AD=4cm.故答案為4cm.13.(2分)(2023?通榆縣模擬)如圖,AC是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一條對角線,點D關(guān)于AC的對稱點E在邊AB上,連接CE,若∠ABC=70°,則∠AEC=110°.解:∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,∠ABC=70°,∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°,∵點D關(guān)于AC的對稱點E在邊AB上,∴△ADC≌△AEC,∴∠D=∠AEC=110°,故答案為:110.14.(2分)(2023?長陽縣一模)如圖,C,D是以AB為直徑的半圓上的兩點,連接BC,CD,AC,BD,BC=CD,∠ACD=30°,AB=12,則圖中陰影部分的面積為6π.解:連接OD,OC,OC交BD于點E,過點O作OF⊥CD于點F,則:OD=OC=OB;∵AB為直徑,∴∠ACB=90°,∵∠ACD=30°,AB=12,∴,∵BC=CD,為半圓,∴,∵OD=OC=OB,∴,△COD為等邊三角形,∴OE⊥BD,BD=2BE,,∴,,,∴,∴S陰影=S扇形OCB+S△OCD﹣S△OBD==6π.故答案為:6π.15.(2分)(2023?呼和浩特)圓錐的高為,母線長為3,沿一條母線將其側(cè)面展開,展開圖(扇形)的圓心角是120度,該圓錐的側(cè)面積是3π(結(jié)果用含π的式子表示).解:∵圓錐的高為,母線長為3,∴圓錐底面圓的半徑為:,∴圓錐底面圓的周長為:2π.設(shè)展開圖(扇形)的圓心角是n°,依題意得:,解得:n=120°,圓錐的側(cè)面積是:..故答案為:120,3π.16.(2分)(2022秋?連云港期末)如圖,AB是⊙O的直徑,C是BA延長線上一點,點D在⊙O上,且CD=OE,CD的延長線交⊙O于點E.若∠C=25°,則∠CEO度數(shù)為50°.解:連接OD.∵CD=OE,OE=OD,∴CD=OD,∵∠C=25°,∴∠DOC=∠C=25°,∴∠EDO=∠C+∠DOC=50°,∵OD=OE,∴∠E=∠EDO=50°.故答案為:50.17.(2分)(2023?淮陽區(qū)三模)如圖,在扇形OBA中,∠AOB=135°,AC∥OB,交于點C,過點C作AC的垂線,交OB于點D.若OA=2,則圖中陰影部分的面積之和為π﹣3.解:連接OC,AD,過點D作DE⊥OA于E,∵AC∥OB,∴∠AOB+∠OAC=180°,∵∠AOB=135°,∴∠OAC=180°﹣135°=45°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=45°,∴∠AOC=90°,∵OA=OC=2,∴AC=2,∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°,∴∠OCD=90°﹣45°=45°,∵∠AOB=135°,∠AOC=90°,∴∠COD=135°﹣90°=45°,∠DOE=45°,∴∠CDO=180°﹣45°﹣45°=90°,∴CD=OD=,∵DE⊥AO,∴∠DEO=90°,∴△ODE是等腰直角三角形,∴DE=OE=1,∴圖中陰影部分的面積之和=S扇形﹣S△ACD﹣S△AOD=﹣=π﹣3.故答案為:π﹣3.18.(2分)(2023?武侯區(qū)校級模擬)如圖,多邊形ABCDE為⊙O內(nèi)接正五邊形,PA與⊙O相切于點A,則∠PAB=36°.?解:連接OB,OA,∵多邊形ABCDEF是正多邊形,∠AOB==72°,∴∠OAB=(180°﹣∠AOB)=54°.∵直線PA與⊙O相切于點A,∴∠OAP=90°.∴∠BAP=90°﹣54°=36°.故答案為:36°.19.(2分)(2023?碧江區(qū)校級三模)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,Q是矩形ABCD左側(cè)一點,連接AQ、BQ,且∠AQB=90°,連接DQ,E為DQ的中點,連接CE,則CE的最大值為6.解:延長DC到點F,使CF=DC,取AB中點O,連接FO并延長交⊙O于點Q,取CD中點G,連接OG,則OG⊥CD,∵點E為DQ中點,點C為DF中點,∴EC為△DQF中位線,∵OG=AD=8,GF=CG+CF=2+4=6,∴OF=,∴QF=QO+OF=2+10=12,∵Q為圓上一動點,∴此時FQ=12為最大值,∴CE的最大值為.故答案為:6.20.(2分)(2023?金牛區(qū)模擬)如圖,已知四邊形ABCD是矩形,AB=8,AD=12,點E是線段DC上一個動點,分別以DE、EC為邊向線段DC的下方作正方形DEFG、正方形CEHI,連接GI,過點B作直線GI的垂線,垂足是J,連接AJ,求點E運動過程中,線段AJ的最大值是10+2.解:如圖,取GI中點P,以PB為直徑作⊙O,連接AO并延長交⊙O于點J,作OM⊥AC于M,作PQ⊥AB于Q,交OM、DC于點N、K,∴PK是梯形DGIC中位線,∵DC=8,∴PK=(CI+DG)=4,∵P是GI中點,∴P到DG、CI的距離均為4,∴P一定是以DC為邊的正方形的中心點,∴J一定在以BP為直徑的圓上運動,∴當(dāng)AJ過點圓心O時,AJ最大,∵AB=8,∴QB=4,∵AD=12,∴PQ=16,∵QB=4,∴BP==4,∴OJ=2,∵PQ=16,∴QN=AM=8,∵ON=QB=2,∴OM=6,∴AO=10,∴AJ=10+2.故答案為:10+2.三.解答題(共8小題,滿分60分)21.(6分)(2022秋?槐蔭區(qū)期末)如圖所示的拱橋,用表示橋拱.(1)若所在圓的圓心為O,EF是弦CD的垂直平分線,請你利用尺規(guī)作圖,找出圓心O.(不寫作法,但要保留作圖痕跡)(2)若拱橋的跨度(弦AB的長)為16m,拱高(的中點到弦AB的距離)為4m,求拱橋的半徑R.解:(1)作弦AB的垂直平分線,交于G,交AB于點H,交CD的垂直平分線EF于點O,則點O即為所求作的圓心.(如圖1)(2分)(2)連接OA.(如圖2)由(1)中的作圖可知:△AOH為直角三角形,H是AB的中點,GH=4,∴AH=AB=8.(3分)∵GH=4,∴OH=R﹣4.在Rt△AOH中,由勾股定理得,OA2=AH2+OH2,∴R2=82+(R﹣4)2.(4分)解得:R=10.(5分)∴拱橋的半徑R為10m.22.(6分)(2023?永壽縣二模)如圖,AB為⊙O的直徑,DE切⊙O于點E,BD⊥DE于點D,交⊙O于點C,連接BE.(1)求證:BE平分∠ABC;(2)若AB=10,BC=6,求CD的長.解:(1)如圖,∵DE切⊙O于點E,∴OE⊥ED,∵BD⊥DE,∴OE∥BD,∴∠OEB=∠EBD,∵OB=OE,∴∠OEB=∠OBE,∴∠EBD=∠OBE,∴BE平分∠ABC;(2)連接AC,過點E作EM⊥AB于點M,∵BE平分∠ABD,∴ED=EM,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACD=∠D=∠DEF=90°,∴四邊形CDEF是矩形,∴DE=CF=AC,∵AB=10,BC=6,∴AC===8,則EM=ED=CF=AF=AC=4.∴OF===3,∴EF=OE﹣OF=2,∴CD=EF=2.23.(8分)(2022秋?信都區(qū)校級期末)如圖,在Rt△ABC中,BC=8,∠BAC=30°,點E,F(xiàn)為邊AB上的動點,點D是EF的中點,以點D為圓心,DE長為半徑在△ABC內(nèi)作半圓D.(1)若EF=2,P為弧EF的中點,則在半圓D移動的過程中,求CP的最小值.(2)當(dāng)半圓D同時與Rt△ABC的兩直角邊相切時,求EF的長.解:(1)連接DP,CP,當(dāng)C,P,D三點共線,且CD垂直AB時,CP的值最小,∵在Rt△ABC中,BC=8,∠BAC=30°,∴AB=16,,∴,∵,∴,∴CP的最小值是.(2)設(shè)半圓D分別與邊BC、CA相切于點M、N,連接DM、DN,則DM⊥BC,DN⊥AC,DM=DN=DF,∵∠BCA=90°,∴四邊形CNDM是正方形,∴CM=DM,DM∥CN,∴△BMD∽△BCA,∴,設(shè)DM=x,則BM=8﹣x,∵BC=8,,∴,解得.∴.24.(8分)(2023?銀川校級四模)如圖△ABC中,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于點D,以點D為圓心,BD為半徑作⊙D交AB于點E.(1)求證:⊙D與AC相切;(2)若AC=5,BC=3,試求AE的長.(1)證明:過D作DF⊥AC于F,∵∠B=90°,∴AB⊥BC,∵CD平分∠ACB交AB于點D,∴BD=DF,∴⊙D與AC相切;(2)解:設(shè)圓的半徑為x,∵∠B=90°,BC=3,AC=5,∴AB==4,∵AC,BC,是圓的切線,∴BC=CF=3,∴AF=AB﹣CF=2,∵AB=4,∴AD=AB﹣BD=4﹣x,在Rt△AFD中,(4﹣x)2=x2+22,解得:x=,∴AE=4﹣3=1.25.(8分)(2022秋?泰興市期末)如圖,點A在⊙O的直徑CD的延長線上,點B在⊙O上,連接AB、BC.(1)給出下列信息:①AB=BC;②∠A=30°;③AB與⊙O相切.請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件,第三個作為結(jié)論,組成一個正確的命題并作出證明.你選擇的條件是①②,結(jié)論是③(填寫序號,只需寫出你認為正確的一種情形).(2)在(1)的條件下,若AB=6,求圖中陰影部分的面積.解:(1)若AB=BC,∠A=30°,則AB與⊙O相切.理由如下:連接OB,如圖,∵AB=BC,∴∠C=∠A=30°,∵∠AOB=2∠C=60°,∴∠OBA=180°﹣∠A﹣∠AOBC=90°,∴OB⊥AB,∴AB與⊙O相切;故答案為:①②,③(答案不唯一);(2)過O點作OH⊥BC于H點,如圖,則BH=CH=BC=AB=3,在Rt△AOB中,∵∠A=30°,∴∠AOB=60°,OB=AB=×6=2,在Rt△OCH中,∵∠C=30°,∴OH=OC=,∴圖中陰影部分的面積=S扇形BOD+S△BOC=+×6×=2π+3.26.(8分)(2023?大連)如圖1,點A,B,C在O上,AC是⊙O的直徑,AD平分∠BAC,與⊙O相交于點D.連接OD,與BC相交于點E.(1)求∠OEC的度數(shù).(2)如圖2,過點A作⊙O的切線,與CB的延長線相交于點F,過點D作DG∥FA,與AC相交于點G.若AD=2,DE=4,求DG的長.解:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠OAD,∵OAD=∠ODA,∴∠BAD=∠ODA,∴AB∥OD,∴∠B=∠OEC,∵AC是⊙O的直徑,∴∠B=90°,∴∠OEC=90°;(2)連接DC,如圖:∵AC是⊙O的直徑,∴∠ADC=90°,設(shè)半徑為r,則OA=OD=OC=r,OE=r﹣4,AB=2OE=2r﹣8,AC=2r,在Rt△ADC中,DC2=AC2﹣AD2=CE2+DE2=OC2﹣OE2+DE2,∴(2r)2﹣(2)2=r2﹣(r﹣4)2+42,解得r=7或﹣5(舍去),∴AC=14,DC=,∵AF是切線,∴AF⊥AC,∵DG∥FA,∴DG⊥AC,∴S△ADC==,∴=,解得DG=2.27.(8分)(2023?烏當(dāng)區(qū)模擬)如圖,在△ABC中,∠C=90°,DM=DE,DE⊥AD交點E,AE為⊙O的直徑,DF⊥AB.(1)求證:∠CAD=∠DAB;(2)若DM平分∠ADC,求∠CAD的度數(shù);(3)若AD=BD=6cm,求圖中陰影部分的面積.(1)證明:∵DM=DE,∴=,∴∠CAD=∠DAB;(2)解:連接OM,OD,作OH⊥MD于H,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵∠CAD=∠DAB,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∵∠C=90,∴AC⊥BC,∴OD⊥BC,∴∠MDC+∠MDO=90°,∵OM=OD,OH⊥MD,∴∠DOH=∠MOD,∵∠CAD=∠MOD,∴∠CAD=∠DOH,∵∠DOH+∠MDO=90°,∴∠DOH=∠CDM,∴∠CAD=∠CDM,∵DM平分∠ADC,∴∠CDM=∠ADM,∵∠CAD+∠ADM+∠CDM=90°,∴∠CAD=30°;(3)解:∵DA=DB,∴∠DAB=∠B,∵OD=OA,∴∠DAB=∠ADO,∴∠DOB=∠DAB+∠ADO=2∠B,∵∠DOB+∠B=90°,∴∠B=∠DAB=30°,∴∠BOD=60°,∵AD=6cm,∴DF=AD=3cm,∴OF=FD=cm,∴OD=2OF=2cm,∴扇形ODE的面積

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