專題03勾股定理重難點題型分類2022-2023學年八年級數(shù)學下冊重難點題型分類高分必刷題（人教版）

專題03勾股定理重難點題型分類高分必刷題（解析版）專題簡介：本份資料包含《勾股定理》這一章的全部重要題型，所選題目源自各名校期中、期末試題中的典型考題，具體包含八類題型：已知兩邊求第三邊、已知一邊和一特殊角求其它邊長、折疊模型、最短爬行路徑問題、勾股定理與圖形面積關系、勾股定理的逆定理、勾股定理的應用題、勾股定理與其它章節(jié)的綜合題。適合于培訓機構的老師給學生作復習培訓時使用或者學生考前刷題時使用。題型一已知兩邊，求第三邊1．（安徽安慶）在中，若兩直角邊，滿足，則斜邊的長度是______．【詳解】解：∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得c=．故答案為：13．2．（四川涼山）已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為________．【詳解】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時，第三邊的長為：；②長為3、4的邊都是直角邊時，第三邊的長為：；∴第三邊的長為：或5，故答案為：或5．3．如圖，x軸、y軸上分別有兩點A(3，0)、B(0，2)，以點A為圓心，AB為半徑的弧交x軸負半軸于點C，則點C的坐標為（

）A．(﹣1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(3，0)【詳解】解：如圖，∵A（3，0）、B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB．又∵以點A為圓心，AB為半徑的弧交x軸負半軸于點C，∴AC＝AB＝，∴OC＝AC﹣OA3．又∵點C在x軸的負半軸上，∴C（3，0）．故選：D．4.（周南）一架方梯長25m，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7m，求：（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理：梯子距離地面的高度為：＝24米；（2）梯子下滑了4米，即梯子距離地面的高度為A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，根據(jù)勾股定理得：25＝，解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑動了8米．題型二已知一邊和一特殊角求其它邊長5．（長郡）如圖，，平分，交于，交于，若，則等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【詳解】解：過D點作于G點，如圖，∵平分，，∴，又∵，∴，，∴，，∴是等腰三角形，∴，，在中，有，∴，∵，，∴，∴，故選：B．6．如圖，在平面直角坐標系中，，兩點的坐標分別為和，為等邊三角形，則點的坐標為______．【詳解】如圖，過點A作AD⊥BC于D，∵B、C兩點的坐標分別為(2，0)和(6，0)，∴BC=6（2）=8，∵△ABC為等邊三角形∴AB=AC=BC=8，BD=CD=4，∴點D的橫坐標為64=2，在Rt△ABD中，AD=，所以，點A的坐標為(2，)，故答案為：(2，)．7．（山東東營）如圖，在中，，，，則的長度為（

）A． B．2 C． D．3【詳解】解：過A作于D，在中，，，，，在中，，，，，故選：C。8.（師大）小明將一幅三角板如圖所示擺放在一起，發(fā)現(xiàn)只要知道其中一邊的長就可以求出其它各邊的長，若已知，求的長。 【解答】解：在Rt△BCD中，∵CD＝2，∠BCD＝45°，∴BC＝．∵∠BCA＝30°，∴AB=，AC=2AB=．9．（四川內江）已知，在中，，，，則的面積為__．【詳解】解：過點作邊的高，中，，，，在中，，，①是鈍角三角形時，，；②是銳角三角形時，，，故答案為：2或14．題型三：折疊模型：已知一邊，設第二邊為x，第三邊為“幾x”,再列方程.10．（四川達州）如圖，長方形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形紙片折疊，使點D與點B重合，點C落在點H的位置，折痕為EF，則△ABE的面積為（

）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2【詳解】將此長方形折疊，使點與點重合，，，根據(jù)勾股定理得：，解得：．．故選：A．11．（四川涼山）如圖，中，，將沿DE翻折，使點A與點B重合，則CE的長為（

）A． B．2 C． D．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5，設AE=x，則CE=ACAE=8x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8x）2，解得x=，∴CE==，故選：D．12．（2023春·八年級課時練習）如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點落在點處，則重疊部分的面積為（

）A． B． C． D．【詳解】解：由翻折變換的性質可知：，∴，，，∵四邊形為矩形，，，∴，，，∴，，在和中，，∴，∴，，設，則，在中，，∴，解得：，，∴．故選：B．13．（山東菏澤）如圖，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=10，OC=8．在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，求D，E兩點的坐標．【詳解】解：依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，，∴CE=4，∴E（4，8）在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD，∴（8OD）2+42=OD2，∴OD=5，∴D（0，5）。14.（長郡）如圖，在中，，，，是的垂直平分線，交于點，交于點，求的長.

【解答】（1）證明：∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，又∵42+32＝52，即AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；證明：連接CE．∵DE是BC的垂直平分線，∴EC＝EB，設AE＝x，則EC＝4﹣x．∴x2+32＝（4﹣x）2．解之得x＝，即AE的長是．題型四最短爬行路徑問題：先展開，再連起點與終點15．（吉林長春）如圖，圓柱的底面周長是24，高是5，一只在A點的螞蟻想吃到B點的食物，沿著側面需要爬行的最短路徑是（）A．9 B．13 C．14 D．25【詳解】解：該圓柱的側面展開圖，如下圖所示，根據(jù)兩點之間線段最短，可知沿著側面需要爬行的最短路徑即為AB，AB恰為一個矩形的對角線，該矩形的長為圓柱的底面周長的一半，即長為24÷2=12，寬為5，∴AB==13，即沿著側面需要爬行的最短路徑長為13．故選：B．16．（山東棗莊）如圖，圓柱體的高為8cm，底面周長為4cm，小螞蟻在圓柱表面爬行，從A點到B點，路線如圖所示，則最短路程為_____．【詳解】解：將圓柱沿過點A和點B的母線剪開，展開成平面，由圓柱路線可知小螞蟻在水平方向爬行的路程等于個底面周長，如下圖所示：AC=1．5×4=6cm，連接AB，根據(jù)兩點之間線段最短，∴小螞蟻爬行的最短路程為此時AB的長∵圓柱體的高為8cm，∴BC=8cm，在Rt△ABC中，AB=cm，故答案為：10cm．17．（遼寧遼陽）如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點處（三條棱長如圖所示），問最短路線長為_________．【詳解】如圖1，當展開的長方形的長是AC=4+2=6，寬是AD=1，路徑長為AG=；如圖2，當展開的長方形的長是AB=4，寬是BG=2+1，路徑長為AG=；如圖3，當展開的長方形的長是CD=4+1=5，寬是AD=2，路徑長為AG=；故沿長方體的表面爬到對面頂點G處，只有圖2最短，其最短路線長為：5．故答案為：5．題型五勾股定理與圖形面積關系18．（廣西玉林）如圖，以Rt△ABC的兩直角邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，則斜邊AB的長是（

）A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm【詳解】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，∴BC2＝8，AC2＝17，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25，∴AB＝5cm，故選：D．19．（湖南邵陽）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（）A．13 B．26 C．34 D．47【詳解】由勾股定理得：正方形F的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=32+52=34，同理，正方形G的面積=正方形C的面積+正方形D的面積=22+32=13，∴正方形E的面積=正方形F的面積+正方形G的面積=47．故選D．20．如圖，在中，以AC為直角邊向外作，分別以AB，BC，CD，DA為直徑向外作半圓，面積分別記為S1，S2，S3，S4，已知，，，則S4為（

）A．2 B．3 C． D．【詳解】解：∵以AB，BC，CD，DA為直徑向外作半圓的面積分別為S1，S2，S3，S4，∴，，∵∠ABC＝∠CAD＝90°，∴∴，∴S1＋S2＝S3﹣S4，∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，∴3＋1＝7﹣S4，∴S4＝3，故選：B．題型六勾股定理的逆定理21．（廣東湛江）下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長的是（）A．1，2， B．5，4，3 C．17，8，15 D．2，3，4【詳解】解：A、∵12+（）2=22，故是直角三角形，不符合題意；B、32+42=52，故是直角三角形，不符合題意；C、82+152=172，故是直角三角形，不符合題意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，符合題意；故選：D．22．（陜西寶雞）ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定ABC為直角三角形的是（

）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6【詳解】解：A、∠A＋∠B＝∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，則∠C＝90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，則∠C＝90°，是直角三角形；C、由a2＝c2?b2，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32＋42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故選：D．23．（四川雅安）如圖，是一塊草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊草坪的面積．【詳解】連接AC，∵AD＝12，CD＝9，∠ADC＝90°，∴AC==15，∵AB＝39，BC＝36，AC=15，∴，∴∠ACB=90°，∴這塊空地的面積為：==216（平方米），故這塊草坪的面積216平方米．24．（山東青島）我市某中學有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，為了綠化環(huán)境，學校計劃在空地上種植草皮，經測量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．（1)求出空地ABCD的面積．（2)若每種植1平方米草皮需要200元，問總共需投入多少元？【詳解】分析：（1)連接BD．在Rt△ABD中可求得BD的長，由BD、CD、BC的長度關系可得△DBC為直角三角形，DC為斜邊；由四邊形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC構成，則容易求解；（2)根據(jù)總費用=面積×單價解答即可．詳解：（1)連接BD．在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52．在△CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，S四邊形ABCD=S△BAD+S△DBC=?AD?AB+DB?BC=×4×3+×12×5=36．（2)需費用36×200=7200（元)．答：總共需投入7200元．25．（廣東深圳）在一條東西走向的河的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測得千米，千米，千米．(1)問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明．(2)求原來的路線AC的長．【詳解】（1）解：是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，BC2=2.25，∴CH2+BH2=BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是從村莊C到河邊的最近路；（2）設AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，∴x2=（x0.9）2+1.22，解這個方程，得x=1.25，答：原來的路線AC的長為1.25千米．題型七勾股定理的應用題26．（廣東河源）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度(滑輪上方的部分忽略不計)為()A．12m B．13m C．16m D．17m【詳解】解：設旗桿高度為x，則AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗桿的高度為17米．故選D．27．（山東青島）如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地0.5米，將它往前推3米時，踏板離地1.5米，此時秋千的繩索是拉直的，則秋千的長度是（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米【詳解】解：設米，米，米，（米，米，在中，米，米，米，根據(jù)勾股定理得：，解得：，則秋千的長度是5米．故選：C．28．（江西撫州）長清的園博園廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校七年級（1）班的小明和小亮學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度CE，他們進行了如下操作：①測得水平距離BD的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為25米；③牽線放風箏的小明的身高為1.6米．(1)求風箏的垂直高度CE；(2)如果小明想風箏沿CD方向下降12米，則他應該往回收線多少米？【詳解】（1）解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2=BC2BD2=252152=400，所以，CD=20（負值舍去），所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），答：風箏的高度CE為21.6米；（2）解：由題意得，CM=12米，∴DM=8米，∴BM=（米），∴BCBM=2517=8（米），∴他應該往回收線8米．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟悉勾股定理，能從實際問題中抽象出勾股定理是解題的關鍵．29．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）若圖是一個高為3米，長為5米的樓梯表面鋪地毯．（1）求地毯的長是多少米？（2）如果地毯的寬是2米，地毯每平方售價是10元，鋪這個樓梯一共需要多少元？【詳解】（1），，，∴地毯的長為7m；（2）地毯的面積為，∴鋪這個樓梯所需的花費為（元）．30．（河南駐馬店）沙塵暴是指強風將地面塵沙吹起使空氣很混濁，水平能見度很低的一種天氣現(xiàn)象．人類在發(fā)展經濟過程中大肆破壞植被，導致沙塵暴爆發(fā)頻數(shù)增加．如圖，某氣象局監(jiān)測到一個沙塵暴中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一城鎮(zhèn)，且點C與直線AB上的兩點A，B的距離分別為：，，，以沙塵暴中心為圓心周圍25km以內為受影響區(qū)域．(1)請通過計算說明城鎮(zhèn)C會受到沙塵暴影響的原因；(2)若沙塵暴中心的移動速度為20km/h，則沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時間有多長？【詳解】（1）解：如圖所示：過點C作，∵AC=30km，，，∴，∴為直角三角形，∴，即30×40=50×CD，∴，∵以沙塵暴中心為圓心周圍25km以內為受影響區(qū)域，，∴城鎮(zhèn)C會受到沙塵暴影響；（2）解：如圖所示：在AB邊上找E、F兩點，連接CE、CF，當，時，沙塵暴正好影響城鎮(zhèn)C，∴，在與中，，∴，∴DE=DF，∴EF=2ED=14km，∵沙塵暴中心的移動速度為，∴，∴沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時間為．31．臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內形成極端氣候，有極強的破壞力，有一臺風中心沿東西方向AB由點A行駛向點B，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺風中心為圓心周圍250km以內為受影響區(qū)域．(1)海港C會受臺風影響嗎？為什么？(2)若臺風的速度為20km/h，臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？【詳解】（1）解：如圖所示，過點C作CD⊥AB于D點，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴，∴△ABC為直角三角形，∴，∴，∴，∵以臺風中心為圓心周圍250km以內為受影響區(qū)域，∴海港C會受到臺風影響；（2）由（1）得CD=240km，如圖所示，當EC=FC=250km時，即臺風經過EF段時，正好影響到海港C，此時△ECF為等腰三角形，∵，∴EF=140km，∵臺風的速度為20km/h，∴140÷20=7h，∴臺風影響該海港持續(xù)的時間有7h．32．（2021·廣西柳州）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船同時收到某事故漁船的求救訊息，已知此時救助船在的正北方向，事故漁船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故漁船與救助船相距120海里．（1）求收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離；（2）若救助船A，分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達．【詳解】(1)如圖，作于，則，由題意得：海里，，，∴海里，是等腰直角三角形，∴海里，海里，答：收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離為海里；(2)∵海里，海里，救助船分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)，∴救助船所用的時間為(小時)，救助船所用的時間為(小時)，∵，∴救助船先到達．33．（內蒙古）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100米的P處．這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？【詳解】解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，則∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200m，AO＝＝＝100(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，則BO＝OP＝100m.∴AB＝AO－BO＝100－100≈73(m)．∴從A到B小車行駛的速度為73÷3≈24.3(m/s)＝87.48km/h>80km/h.∴此車超過每小時80千米的限制速度．34．（河南新鄉(xiāng)）拖拉機行駛過程中會對周圍產生較大的噪聲影響．如圖，有一臺拖拉機沿公路AB由點A向點B行駛，已知點C為一所學校，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，拖拉機周圍130m以內為受噪聲影響區(qū)域．（1）學校C會受噪聲影響嗎？為什么？（2）若拖拉機的行駛速度為每分鐘50米，拖拉機噪聲影響該學校持續(xù)的時間有多少分鐘？【詳解】解：（1）學校C會受噪聲影響．理由：如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），∵拖拉機周圍130m以內為受噪聲影響區(qū)域，∴學校C會受噪聲影響．（2）當EC＝130m，F(xiàn)C＝130m時，正好影響C學校，∵ED＝=50（m）， ∴EF＝50×2=100（m），∵拖拉機的行駛速度為每分鐘50米，∴100÷50＝2（分鐘），即拖拉機噪聲影響該學校持續(xù)的時間有2分鐘．35．（廣東茂名）新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側點A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．(1)請問村莊A能否聽到宣傳？請說明理由；(2)如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長時間的宣傳？【詳解】（1）解：村莊能聽到宣傳，理由：∵村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，∴村莊能聽到宣傳；（2）解：如圖：假設當宣講車行駛到P點開始影響村莊，行駛Q點結束對村莊的影響，則AP=AQ=1000米，AB=800米，∴BP=BQ==600（米），∴PQ=1200米，∴影響村莊的時間為：1200÷300=4（分鐘），∴村莊總共能聽到4分鐘的宣傳．題型八勾股定理與其它章節(jié)的綜合題36.（青竹湖）利用所學的知識計算：（1）已知，且，，求的值；（2）已知、、為的三邊長，若，求的周長.【解答】解：（1）∵a2+b2＝13，ab＝6，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13﹣2×6＝1，∵a＞b，∴a﹣b＝1；（2）∵a2+b2+25＝6a+8b，∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝3，b＝4，當4是直角邊時，斜邊長＝＝5，則Rt△ABC的周長＝3+4+5＝12，當4是斜邊時，另一條直角邊長＝＝，則Rt△ABC的周長＝3+4+＝7+，綜上所述，Rt△ABC的周長為12或7+．37.（廣益）△，△是等腰直角三角形，點在上.（1）求證：△≌△（2）若，，求.【解答】（1）證明：∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，∴OC＝OD，OA＝OB，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOD，在△AOC和△BOD中∴△AOC≌△BOD（SAS）；（2）解：∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，∴OC＝OD，OA＝OB，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠B＝∠OAB＝45°，∵△AOC≌△BOD，BD＝1，∴AC＝BD＝1，∠CAO＝∠B＝45°，∵∠OAB＝45°，∴∠CAD＝45°+45°＝90°，在Rt△CAD中，由勾股定理得：CD＝＝＝．38.（雅境）在中，平分交于點，在上取一點，使得.(1)求證：；(2)若，，，求的長.【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵EA＝ED，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴DE∥AC；（2）解法一：∵ED＝EB，ED＝EA，∴EA＝EB＝3，∠B＝∠4．∴AB＝6，又∵DE∥AC，∴∠4＝∠C．∴∠B＝∠C．又∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD．∴∠ADB＝∠ADC．∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，由勾股定理得：．解法二：∵ED＝EB，ED＝EA，∴∠B＝∠4，ED＝EB＝EA＝3．∴AB＝6，在△ABD中，∠B+∠4+∠3+∠1＝180°，∵∠1＝∠3，∠B＝∠4，∴∠B+∠4+∠3+∠1＝2∠3+2∠4＝180°．∴∠ADB＝∠3+∠4＝90°．在Rt△ABD中，由勾股定理得：．39.（師大）如圖，在中，=，，點是上一動點，連接，過點作，并且始終保持，連接.(1)求證：(2)若平分交于，求證：(3)在(2)的條件下，若，，求的長，【解答】（1）BD2+FC2＝DF2．證明：連接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠3＝45°，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE，∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴BD2+FC2＝EF2，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，在△DAF和△EAF中，，∴△DAF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∴BD2+FC2＝DF2．（2）解：過點A作AG⊥BC于G，由（1）知DF2＝BD2+FC2＝32+42＝25，∴DF＝5，∴BC＝BD+DF+