專題21.7二次根式章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（華東師大版）（原卷版）

專題21.7二次根式章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【華東師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1二次根式雙重非負(fù)性的運(yùn)用】 1【題型2復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】 1【題型3二次根式的運(yùn)算與求值技巧】 3【題型4二次根式中的新定義問題】 3【題型5利用分母有理化求值】 4【題型6二次根式中的閱讀理解類問題】 6【題型7二次根式的規(guī)律探究】 8【題型8二次根式的實(shí)際應(yīng)用】 9【題型1二次根式雙重非負(fù)性的運(yùn)用】【例1】（2023春·天津和平·九年級(jí)耀華中學(xué)?？计谥校┤魧?shí)數(shù)a，b，c滿足關(guān)系式a?199+199?a=2a+b?c+b?6，則c＝．【變式11】（2023春·全國·九年級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)x，y，a，b滿足3x?y?7+x?2y?4=a+b?2022×【變式12】（2023春·湖北恩施·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)x、y、z是兩兩不等的實(shí)數(shù)，且滿足下列等式：x3(y?x)3+xA．0 B．1 C．3 D．條件不足，無法計(jì)算【變式13】（2023秋·上海靜安·九年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┮阎猰,x,y是兩兩不相等的實(shí)數(shù)，且滿足mx?m+my?m=【題型2復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】【例2】（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)統(tǒng)考期中）像4?23，484?23＝3?23+1＝(3)再如：5+26=3+26+2=請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡(jiǎn)：12+235(2)化簡(jiǎn)：17?415(3)若a+65=(m+5n)2，且a，【變式21】（2023秋·上海·九年級(jí)期中）當(dāng)x=4時(shí)，x?23x2A．1 B．3 C．2 D．3【變式22】（2023春·廣東韶關(guān)·九年級(jí)?？计谥校╅喿x材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+22設(shè)a+2b=m+2n2（其中a、b、∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+2請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+6b=m+6n2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝（2）若a+43=m+3n2，且a、（3）化簡(jiǎn)：7?21+【變式23】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）閱讀材料：康康在學(xué)習(xí)二次根式后、發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如：3+22設(shè)a+b2=m+n22（其中a、b則有a+b2∴a=m2+2n2請(qǐng)你仿照康康的方法探索并解決下列問題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分別表示a、b(2)若7?43=e?f32，且e(3)化簡(jiǎn)：7+21?【題型3二次根式的運(yùn)算與求值技巧】【例3】（2023·九年級(jí)單元測(cè)試）若a=122【變式31】（2023秋·四川成都·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿足（x﹣x2?2016）（y﹣（1）求x，y之間的數(shù)量關(guān)系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．【變式32】（2023春·四川綿陽·九年級(jí)東辰國際學(xué)校校考階段練習(xí)）若x，y是實(shí)數(shù)，且y＝4x?1+1?4x+13，求（2【變式33】（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）當(dāng)x=1+19942時(shí)，多項(xiàng)式4A．1 B．?1 C．22002 D．【題型4二次根式中的新定義問題】【例4】（2023春·重慶江津·九年級(jí)校聯(lián)考期中）對(duì)于任意非負(fù)數(shù)m、n，若定義新運(yùn)算：m?n=m?n(m≥n)m+n(m<n)，在下列說法中：①27?12=3；②11?2+A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式41】（2023春·北京海淀·九年級(jí)人大附中?？计谥校┒x：對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為fz即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果n?12≤x<n+如：fz(0)=fz(0.48)=0，試解決下列問題：①fz(3)=③1+1f【變式42】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）將n個(gè)0或2排列在一起組成一個(gè)數(shù)組，記為A=t1,t2,?,tn，其中t1，t2，…，tn取0或2，稱A是一個(gè)n元完美數(shù)組（n≥2定義以下兩個(gè)新運(yùn)算：新運(yùn)算1：對(duì)于x?y=x+y新運(yùn)算2：對(duì)于任意兩個(gè)n元完美數(shù)組M=x1,M⊕N=1M=2,2,2(1)①在3,2，2,0②設(shè)A=2,0,2，B=(2)已知完美數(shù)組M=2,2,2(3)現(xiàn)有m個(gè)不同的2022元完美數(shù)組，m是正整數(shù)，且對(duì)于其中任意的兩個(gè)完美數(shù)組C，D滿足C⊕D=0，則m的最大可能值是______．【變式43】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第十六中學(xué)?？计谥校┒x：我們將a+b與a+例如：已知18?x?11?x=1因?yàn)?8?x?所以18?x+(1)已知：20?x+①20?x?②結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：20?x+(2)代數(shù)式10?x+x?2中(3)計(jì)算：13【題型5利用分母有理化求值】【例5】（2023春·廣東惠州·九年級(jí)校考期中）閱讀下列材料，然后回答問題．①在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如2323②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算．(1)計(jì)算：13(2)已知m是正整數(shù)，a=m+1?mm+1+m，(3)已知15+x2?【變式51】（2023秋·山西臨汾·九年級(jí)校聯(lián)考期末）閱讀下列解題過程：11請(qǐng)回答下列問題：（1）觀察上面的解答過程，請(qǐng)寫出1n+1（2）利用上面的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：1（3）12?11和【變式52】（2023春·黑龍江牡丹江·九年級(jí)校考期中）（1）觀察下列各式的特點(diǎn)：2?1>3?2>2?35?2>…根據(jù)以上規(guī)律可知：2021?2020______（2）觀察下列式子的化簡(jiǎn)過程：121314+3…根據(jù)觀察，請(qǐng)寫出式子1n+n?1（n（3）根據(jù)上面（1）（2）得出的規(guī)律計(jì)算下面的算式：|12+1?1【變式53】（2023春·北京西城·九年級(jí)北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校╅喿x下述材料：我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”，與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式，比如：7?分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較7?6和7?6=1因?yàn)?+6>再例如：求y=x+2解：由x+2≥0,x?2≥0可知x≥2，而y=x+2當(dāng)x=2時(shí)，分母x+2+解決下述問題：（1）比較32?4和（2）求y=1?x【題型6二次根式中的閱讀理解類問題】【例6】（2023春·湖北隨州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：基本不等式ab≤a+b2(a>0，b>0)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，其中我們把a(bǔ)+b2叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，它是解決最大（小）值問題的有力工具，例如：在x解：∵x＞0，1x＞0，∴x+1x2≥x·1x，∴請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解答下列問題：（1）填空：當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)y=x+4x，則當(dāng)且僅當(dāng)x=____時(shí)，（2）若x＞0，函數(shù)y=2x+1x，當(dāng)【變式61】（2023春·安徽六安·九年級(jí)?？计谥校╅喿x材料，并解決下列問題．在比較同號(hào)兩數(shù)的大小時(shí)，通?？梢员容^兩個(gè)數(shù)的商與1的大小來判斷這兩個(gè)數(shù)的大小，如當(dāng)a,b都是正數(shù)時(shí)，①若ab>1，則a>b；②若ab=1，則a=b；③我們將這種比較大小的方法叫做“作商法”．(1)請(qǐng)用上述方法比較57與7(2)寫出a+1a+2與a【變式62】（2023秋·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀并回答下面問題：計(jì)算：2+設(shè)x=2+3原式===x因?yàn)閤=2+3所以x2+y原式=10+2×23(1)填空：①3+②3+(2)請(qǐng)仿照上面的方法計(jì)算：3+【變式63】（2023春·貴州遵義·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們一般先仔細(xì)閱讀題干，找出有用信息作為已知條件，然后利用這些信息解決問題，但是有的題目信息比較明顯，我們把這樣的信息稱為顯性條件；而有的信息不太明顯，需要結(jié)合圖形、特殊式子成立的條件、實(shí)際問題等發(fā)現(xiàn)隱含信息作為條件，我們把這樣的條件稱為隱含條件；所以我們?cè)谧鲱}時(shí)，要注意發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件．閱讀下面的解題過程，體會(huì)如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題．化簡(jiǎn)：1?3x2解：隱含條件1?3x≥0,，解得x≤1∴1?x>0，∴原式=1?3x?1?x(1)試化簡(jiǎn)：(x?3)2(2)已知a、b滿足(2?a)2=a+3,a?b+1【題型7二次根式的規(guī)律探究】【例7】（2023春·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計(jì)算結(jié)果：①13=1；②13+2（2）深入探究，觀察下列等式：①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×3根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容：1+2+3+?+n+(n+1)=__________．（3）拓展應(yīng)用，通過以上初步感知與深入探究，計(jì)算：①13②113【變式71】（2023春·湖北隨州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n3）個(gè)數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）（

）．A．n2?1 B．n2?2 C．【變式72】（2023春·湖北隨州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列各式：1+112+122=1+11×2，請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算1+112+122+1+【變式73】（2023春·廣西南寧·九年級(jí)南寧二中校聯(lián)考期末）已知：223=223；338【題型8二次根式的實(shí)際應(yīng)用】【例8】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家泰九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積p(1)當(dāng)三角形的三邊a=3，b=5，c=6時(shí)，請(qǐng)你利用公式計(jì)算出三角形的面積；(2)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)依次為5、6，7，請(qǐng)求出三角形的面積；(3)若p=8，a=4，求此時(shí)三角形面積的最大值．【變式81】（2023春·陜西安康·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）某居民小區(qū)有塊形狀為長(zhǎng)方形ABCD的綠地，長(zhǎng)BC為72米，寬AB為32米，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建兩個(gè)形狀大小相同的長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），每個(gè)長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為8+1米，寬為8(1)求長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)；（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）(2)除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/平方米的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購買地磚需要花費(fèi)多少元？【變式82】（2023秋·四川資陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在日常生活中，有時(shí)并不要求某個(gè)量的準(zhǔn)確值，而只需求出它的整數(shù)部分．如今天是星期一，還有55天中考，問中考前還有多少個(gè)星期一、容易知557=767，但答案并不是將小數(shù)部分四舍五入得到8，而是767的整數(shù)部分7，所以有7個(gè)星期一、為了解決某些實(shí)際問題，我們定義一種運(yùn)算——取一個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，即取出不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)．在數(shù)軸上就是取出實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)左邊最接近的整數(shù)點(diǎn)（包括x本身），簡(jiǎn)稱取整，記為[x]．這里[x]=x?a，[x]+a=x，其中[x]是一個(gè)整數(shù)，0≤a<1，a稱為實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，記作Zx關(guān)于取整運(yùn)算有部分性