黑龍江省大慶市2023屆高三第一次教學質量檢測數(shù)學試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1大慶市2023屆高三年級第一次教學質量檢測數(shù)學試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用交集的運算求解.〖詳析〗因為，集合，且，所以，故選：A2.已知復數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗化簡復數(shù)，可得的虛部．〖詳析〗因為，所以復數(shù)的虛部為．故選：C3.已知，，若，則（）A. B.4 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由平面向量的坐標運算求解，〖詳析〗因，所以，所以.故選：B4.我國西北某地區(qū)開展改造沙漠的巨大工程，該地區(qū)對近5年投入的沙漠治理經(jīng)費x（億元）和沙漠治理面積y（萬畝）的相關數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示．治理經(jīng)費x/億元34567治理面積y/萬畝1012111220根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，得到y(tǒng)關于x的線性回歸方程為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用線性回歸直線方程過定點，可得〖答案〗.〖詳析〗因為，因回歸方程過定點，將其代入，得，解得，故選：C5.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由對數(shù)的運算性質求解，〖詳析〗因為，所以.則，所以.故選：B6.已知不重合的直線，，和不重合的平面，，下列說法中正確的是（）A.若，，，則B.若，，，，則C.若，，則D.若，，，，則〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由線線垂直得不到面面垂直，可判斷A錯；無法判斷是否相交，故B錯誤；存在特殊情況，故C錯誤；由線面平行的性質和判定定理可判斷D正確.〖詳析〗對選項A，如圖所示，滿足命題條件，但不一定滿足，故A錯；對選項B，當，時，都滿足，，但推不出，故B錯；對選項C，存在特殊情況，故C錯誤；對選項D，因為，，，所以，又，，所以.故選：D7.設x，，則“”是“x，y中至少有一個大于1”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用反證法可以得到時x，y中至少有一個大于1，充分性成立，再舉出反例，證明必要性不成立〖詳析〗假設x，y均不大于1，即且，則，這與已知條件矛盾，故當時x，y中至少有一個大于1，故充分性成立；取，，滿足x，y中至少有一個大于1，但不成立，故必要性不成立，故“”是“x，y中至少有一個大于1”的充分不必要條件.故選：A8.設拋物線：焦點為，點在上，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得出是拋物線通徑的一半，再由勾股定理即可解決.〖詳析〗由題意可知，，所以.因為拋物線的通徑長，所以軸，所以故選：D.9.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗首先根據(jù)函數(shù)圖象得到，再根據(jù)平移變換求解即可.〖詳析〗由圖知：，則，，所以，則，即.因為，所以，，即，.因為，得，所以.所以.故選：C10.在三棱錐中，平面ABC，且，，E，F(xiàn)分別為BC，PA的中點，則異面直線EF與PC所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗要求異面直線的夾角，利用線線平行進行轉化，如圖分別取AB，PB的中點M，G，連接FM，ME，GE，F(xiàn)G，則，所以或其補角為異面直線EF與PC所成的角，解三角形即可得解.〖詳析〗如圖所示，分別取AB，PB的中點M，G，連接FM，ME，GE，F(xiàn)G，則，所以（或其補角）為異面直線EF與PC所成的角．因為，，所以，．因為平面ABC，平面ABC，，平面ABC，，平面ABC，所以，且．在中，．在中，，，由余弦定理得，所以異面直線EF與PC所成角的余弦值為．故選：B11.已知函數(shù)，的定義域均為，且，，若的圖象關于直線對稱，，則（）A. B. C.0 D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗依題意可得，再由可得，即可得到為偶函數(shù)，再由得到，即可得到的周期為，再根據(jù)所給條件計算可得.〖詳析〗因為的圖象關于直線對稱，所以，所以，因為，所以，所以為偶函數(shù)．因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以的周期為，所以．因為，所以，故．故選：A12.設，分別是橢圓的左、右焦點，點P，Q在橢圓C上，若，且，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用數(shù)量積知識得，然后利用第一定義及勾股定理得到a、c關系，即可求出離心率〖詳析〗由，得，則點P是以為直徑的圓與橢圓C的交點，不妨設和點P在第一象限，如圖連接，令，則，，．因為，所以，即，得，又，所以，將代入，得．故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗先求導，再由導數(shù)的幾何意義和點斜式即可求解〖詳析〗因為，所以．因為，，所以所求切線方程為，即.故〖答案〗為：14.已知直線與圓相離，則整數(shù)的一個取值可以是______．〖答案〗或或（注意：只需從中寫一個作答即可）〖解析〗〖祥解〗利用直線與圓的位置關系列出不等式組，解出整數(shù)的范圍．〖詳析〗因為圓的圓心為，所以圓心到直線的距離，因為圓的方程可化簡為，即半徑為，所以，所以，故整數(shù)的取值可能是．故〖答案〗為：或或（注意：只需從中寫一個作答即可）15.一個口袋里有大小相同的白球個，黑球個，現(xiàn)從中隨機一次性取出個球，若取出的兩個球都是白球的概率為，則黑球的個數(shù)為______．〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗根據(jù)古典概型的概率公式及組合數(shù)公式得到方程，解得即可.〖詳析〗由題意得，所以，解得或（舍去），即黑球的個數(shù)為．故〖答案〗為：16.已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)之比是，則______，展開式的常數(shù)項為______．（用數(shù)字作答）〖答案〗①.9②.〖解析〗〖祥解〗空1：根據(jù)二項式系數(shù)的性質得，解出即可；空2：由題化簡得其展開式的通項為，令，解出值，代回即可得到其常數(shù)項.〖詳析〗由題意得，即，解得．展開式的通項為．令，解得，故展開式中的常數(shù)項為．故〖答案〗為：9；.三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設是公差不為0的等差數(shù)列，，是，的等比中項.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）設的公差為，由題意可得，求出，即可求出的通項公式；（2）由裂項相消法求和即可得出〖答案〗〖小問1詳析〗設的公差為，因為，是，的等比中項，所以，所以.因為，所以，故.〖小問2詳析〗因為，所以.18.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，D為BC邊的中點，，求a的值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由兩角和的正弦公式化簡求解，（2）由平面向量數(shù)量積的運算律與余弦定理求解，〖小問1詳析〗由題意得，所以，所以.因為，所以.因為，所以.〖小問2詳析〗由，可得.因為，，，所以，解得.因為，所以.19.如圖，在長方體中，底面是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點.（1）證明：∥平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）取的中點，連接，，由三角形中位線定理結合已知條件可得四邊形是平行四邊形，則∥，再由線面平行的判定定理可證得結論；（2）以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解.〖小問1詳析〗證明：取的中點，連接，，∵，分別是，的中點，∴∥，∵底面是矩形，是的中點，∴∥∥，∴四邊形是平行四邊形，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面.〖小問2詳析〗解：以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的法向量為，則，令，得.取平面的一個法向量.設平面與平面的夾角為，由圖可知為銳角，則故平面與平面夾角的余弦值為.20.鹽水選種是古代勞動人民的智慧結晶，其原理是借助鹽水估測種子的密度，進而判斷其優(yōu)良.現(xiàn)對一批某品種種子的密度（單位：）進行測定，認為密度不小于的種子為優(yōu)種，小于的為良種.自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為和.（1）若將這批種子的密度測定結果整理成頻率分布直方圖，如圖所示，據(jù)圖估計這批種子密度的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（2）在（1）的條件下，用頻率估計概率，從這批種子（總數(shù)遠大于2）中選取2粒在自然情況下種植，設萌發(fā)的種子數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望（各種子的萌發(fā)互相獨立）；（3）若該品種種子的密度，任取該品種種子20000粒，估計其中優(yōu)種的數(shù)目.附：假設隨機變量，則.〖答案〗（1）1.24（2）分布列見〖解析〗，期望1.44；（3）粒.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接計算平均值即可；（2）求出一粒種子發(fā)芽的概率，問題轉化為二項分布求解分布列與期望；（3）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，利用參考數(shù)據(jù)直接求指定區(qū)間的概率即可得解.〖小問1詳析〗種子密度的平均值為：（）〖小問2詳析〗由頻率分布直方圖知優(yōu)種占比為，任選一粒種子萌發(fā)的概率，因為為這批種子總數(shù)遠大于2，所以，，，，所以布列為：0期望.〖小問3詳析〗因為該品種種子的密度，所以，，即，所以20000粒種子中約有優(yōu)種（粒）即估計其中優(yōu)種的數(shù)目為粒.21.已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，且焦點到漸近線的距離為2.（1）求雙曲線的標準方程；（2）設為雙曲線的右頂點，直線與雙曲線交于不同于的，兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過點且于，證明：存在定點，使得為定值.〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）由已知可設，雙曲線的標準方程為，根據(jù)條件列出a，c關系式，解出代入方程即可；（2）對直線的斜率能否為0進行討論.斜率不為0時，設的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，有垂直關系時，在圓錐曲線中常用向量法，化簡得到m，k的關系式；斜率不存在時，寫出直線方程，驗證即可.〖小問1詳析〗設雙曲線的標準方程為，焦點為，，因為雙曲線與橢圓有相同的焦點，所以.因為焦點到漸近線的距離為2，所以，從而，故雙曲線的標準方程為〖小問2詳析〗證明：設，.①當直線的斜率存在時，設的方程為，聯(lián)立方程組化簡得，則，即，且因為，所以，化簡得所以或，且均滿足.當時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾；當時，直線的方程為，過定點②當直線的斜率不存在時，由對稱性，不妨設DE方程為：y=x-1，聯(lián)立方程組，得得，，此時直線過定點因為，所以點在以為直徑的圓上，為該圓的圓心,為該圓的半徑，故存在定點，使得為定值〖『點石成金』〗圓錐曲線中的定值問題通常是通過設參數(shù)或取“特殊值”來確定定值是多少.因此求解時應設參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定值顯現(xiàn).22.已知函數(shù)的兩個不同極值點分別為，（）.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：（為自然對數(shù)的底數(shù)）.〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥