福建省部分地市（廈門、福州、莆田、三明、龍巖、寧德、南平）2023屆高三第一次質量檢測數(shù)學試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1福建省部分地市2023屆高中畢業(yè)班第一次質量檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，滿足：，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗有集合關系，作出Venn圖，數(shù)形結合即可求解.〖詳析〗由集合，，滿足：，，如圖所示：，，故選：B2.設在復平面內對應的點為，則“點在第四象限”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.既不充分也不必要條件 D.充要條件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復數(shù)的幾何意義解決即可.〖詳析〗由題知，在復平面內對應的點為，因點在第四象限，即，，即，或，所以“點在第四象限”是“”的充分不必要條件，故選：A3.設，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性結合中間量法即可求解.〖詳析〗因為，所以，因為，所以，又因為，所以，所以，故選：.4.函數(shù)的最小正周期不可能是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗令、、中的兩個等于零分類，結合三角函數(shù)最小正周期，即可判斷選項A，B，D；而若時，，，即可化簡得出，再分類為與判斷其周期，與假設矛盾，即可證明最小正周期不可能是.〖詳析〗當，時，函數(shù)，最小正周期為，故選項A可能；當，時，函數(shù)，最小正周期為，故選項B可能；當，時，函數(shù)，最小正周期為，故選項D可能；而對于選項C：，，則若時，，即，，，則若時，，即，故若時，，則，且，此時當時，，不滿足周期為，當時，，也不滿足周期為，與假設矛盾，故函數(shù)的最小正周期不可能是，故選：C.5.過拋物線的焦點作直線l，l交C于M，N兩點，若線段中點的縱坐標為2，則（）A.10 B.9 C.8 D.7〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗設直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，利用韋達定理求出值，再利用弦長公式即可.〖詳析〗由拋物線方程知焦點坐標為，設直線的方程為，聯(lián)立得，設，，則，，則，解得，則，故選：C.6.函數(shù)恒有，且在上單調遞增，則的值為（）A. B. C. D.或〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題意可得時取得最大值，可得.根據(jù)單調性可得，即.當時，根據(jù)可求的值；若，根據(jù)單調性可知不滿足題意，從而可求解.〖詳析〗易知，因為恒有，所以當時取得最大值，所以，得.因為在上單調遞增，所以,即，得.當時，因為，所以.因為在上單調遞增，所以,得.所以，且，，解得，.故.當，，因為，所以，故在上單調遞減，不滿足題意.故選:B.7.在正四棱臺中，，且各頂點都在同一球面上，則該球體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意畫出圖形，由圖構造直角三角形，即可求得，由求得表面積公式求得球體的表面積.〖詳析〗如圖所示的正四棱臺，，取上下兩個底面的中心，連接，，，過點作底面的垂線與相交于點，因為四棱臺為正四棱臺，所以外接球的球心一定在上，在上取一點為球心，連接，則，設，因為，所以，，在中，，即，在中，，即，解得，所以，故選：A.8.雙曲線的下焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，若過A，B和點的圓的圓心在x軸上，則直線l的斜率為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意設出直線的方程，與曲線方程聯(lián)立，結合韋達定理求出的中點坐標和弦長，然后利用垂徑定理可得直線l的斜率.〖詳析〗由題意可知：，設，，的中點為，過點的圓的圓心坐標為，則，由題意知：直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為：，聯(lián)立方程組，消元可得：，則，，由韋達定理可得：，，所以的中點的坐標，則，由圓的性質可知：圓心與弦中點連線的斜率垂直于弦所在的直線，所以，整理可得：（*），則圓心到直線的距離，由弦長公式可得：，由垂徑定理可得：，也即，將（*）代入可得：，即，整理可得：，則，因為，所以，則，故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.記正項等比數(shù)列的前n項和為，則下列數(shù)列為等比數(shù)列的有（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項公式和逐項分析判斷.〖詳析〗由題意可得：等比數(shù)列的首項，公比，即，對A：，且，即為等比數(shù)列，A正確；對B：，且，即為等比數(shù)列，B正確；∵，則有：對C：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，C錯誤；對D：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，D錯誤；故選：AB.10.已知正實數(shù)x，y滿足，則（）A.的最小值為 B.的最小值為8C.的最大值為 D.沒有最大值〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗將代入，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可判斷A；根據(jù)及基本不等式可判斷B；，根據(jù)基本不等式可判斷C；，，根據(jù)基本不等式可判斷D.〖詳析〗因為x，y為正實數(shù)，且，所以.所以，當時，的最小值為，故A正確；，當且僅當時等號成立，故B錯誤；，當且僅當時等號成立，故，即的最大值為，故C正確；，，當且僅當，即時等號成立，所以.所以有最大值，故D錯誤.故選:AC.11.平面向量滿足，對任意的實數(shù)t，恒成立，則（）A.與的夾角為 B.為定值C.的最小值為 D.在上的投影向量為〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗由題意可得：與的夾角，然后根據(jù)向量的運算逐項進行檢驗即可求解.〖詳析〗設平面向量與的夾角為，因為對任意的實數(shù)t，恒成立，即恒成立，又，也即對任意的實數(shù)恒成立，所以，則，所以，故選項正確；對于，因為隨的變化而變化，故選項錯誤；對于，因為，由二次函數(shù)的性質可知：當時，取最小值，故選項錯誤；對于，向量上的一個單位向量，由向量夾角公式可得：，由投影向量的計算公式可得：在上的投影向量為，故選項正確，故選：.12.如圖，在棱長為1的正方體中，點M為線段上的動點（含端點），則（）A.存在點M，使得平面B.存在點M，使得∥平面C.不存在點M，使得直線與平面所成的角為D.存在點M，使得平面與平面所成的銳角為〖答案〗BCD〖解析〗〖祥解〗建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式、法向量的性質逐一判斷即可.〖詳析〗建立如圖所示的空間直角坐標系，，設，設平面的法向量為，，則有，假設存在點M，使得平面，所以有，所以有，因此假設不成立，因此選項A不正確；假設存點M，使得∥平面，所以有，所以假設成立，因此選項B正確；假設存在點M，使得直線與平面所成的角為，，所以有，解得，，所以假設不成立，故選項C正確；假設存在點M，使得平面與平面所成的銳角為，設平面、平面的法向量分別為、，顯然，則有，當時，有，所以有，或，假設成立，選項D正確，故選：BCD〖『點石成金』〗三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間中三點，則點A到直線的距離為__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗利用向量的模公式及向量的夾角公式，結合同角三角函數(shù)的平方關系及銳角三角函數(shù)的定義即可求解.〖詳析〗，,，，設點A到直線的距離為，則.故〖答案〗為：.14.以下為甲、乙兩組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：甲組：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；乙組：17，22，32，43，45，49，b，56．若甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則__________．〖答案〗100〖解析〗〖祥解〗根據(jù)百分位數(shù)和平均數(shù)的定義即可列出式子計算求解.〖詳析〗因為，甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第四個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，根據(jù)題意得，解得：，所以，故〖答案〗為：.15.寫出一個同時滿足下列三個性質的函數(shù)__________．①若，則；②；③在上單調遞減．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的三個性質，列出符合條件的函數(shù)即可.〖詳析〗比如，，故，又，也即成立，又在上單調遞減．故〖答案〗為：.16.近年來，“劇本殺”門店遍地開花．放假伊始，7名同學相約前往某“劇本殺”門店體驗沉浸式角色扮演型劇本游戲，目前店中僅有可供4人組局的劇本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知這7名同學中有4名男生，3名女生，現(xiàn)決定讓店主從他們7人中選出4人參加游戲，其余3人觀看，要求選出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同時為女生．則店主共有__________種選擇方式．〖答案〗348〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，按照選出的女生人數(shù)進行分類，分別求出每一類的選擇種數(shù)，然后相加即可求解.〖詳析〗由題意，根據(jù)選出的女生人數(shù)進行分類，第一類：選出1名女生，先從3名女生中選1人，再從四名男生中選3人，然后安排角色，兩名男生扮演A，B角色有種，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先選有，剩下的一個角色從3名男生中選1人，則種，所以共有種，第二類：選出2名女生，先從3名女生中選2人，再從四名男生中選2人，然后安排角色，兩名男生扮演A，B角色有種，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，選出1名女生先選角色有，剩下的一個角色從2名男生中選1人，則種，所以共有種，第三類：選出3名女生，從先從3名女生中選3人，再從四名男生中選1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，選出1名女生先選角色有，剩下的一個角色讓男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有種，由分類計數(shù)原理可得：店主共有種選擇方式，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知正項數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）將數(shù)列和數(shù)列中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數(shù)列，求的前50項和．〖答案〗（1）（2）2150〖解析〗〖祥解〗（1）當時，，得，由，當時，有，作差解決即可；（2），又，同時，所以，分組求和解決即可.〖小問1詳析〗依題意，當時，，解得，由，當時，有，作差得：，所以，因為，所以，所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以.小問2詳析〗由（1）得，，又，同時，所以所以．所以的前50項和為2150．18.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）已知，求的面積．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗(1)利用平面向量的數(shù)量積的定義結合余弦定理即可求出結果；(2)由正弦定理得到，結合和兩角和則正弦公式求出，進而求出三角形的面積.〖小問1詳析〗已知，代入余弦定理，，化簡得：，所以．〖小問2詳析〗由正弦定理知即，又，故，即，得，故（舍），此時，，，則的面積.19.如圖，在直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別為的中點，且平面．（1）求長；（2）若，求二面角的余弦值．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)線面垂直性質得，結合垂直平分線性質和三角形全等得到，結合即可得到的長；（2）以點為原點，建立合適的空間直角坐標系，寫出相關向量，求出平面和平面的一個法向量，利用空間向量的二面角求法即可.〖小問1詳析〗∵面，又面，∴，又∵F為的中點，∴，又在、中，，易證得，故．，，又，，故．〖小問2詳析〗以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可知，則，不妨設是平面的一個法向量，那么，即，令，則．又面，故是平面的一個法向量．設為二面角所成平面角，則，即二面角的余弦值為．20.校園師生安全重于泰山，越來越多的學校紛紛引進各類急救設備．某學校引進M，N兩種類型的自動體外除顫器（簡稱AED）若干，并組織全校師生學習AED的使用規(guī)則及方法．經(jīng)過短期的強化培訓，在單位時間內，選擇M，N兩種類型AED操作成功的概率分別為和，假設每次操作能否成功相互獨立．（1）現(xiàn)有某受訓學生進行急救演練，假定他每次隨機等可能選擇M或N型AED進行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；（2）為激發(fā)師生學習并正確操作AED的熱情，學校選擇一名教師代表進行連續(xù)兩次設備操作展示，下面是兩種方案：方案甲：在第一次操作時，隨機等可能的選擇M或N型AED中的一種，若第一次對某類型AED操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設備；若第一次對某類型AED操作不成功，則第二次使用另一類型AED進行操作．方案乙：在第一次操作時，隨機等可能的選擇M或N型AED中的一種，無論第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所選擇的設備．假定方案選擇及操作不相互影響，以成功操作累積次數(shù)的期望值為決策依據(jù)，分析哪種方案更好？〖答案〗（1）（2）見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）設“操作成功”為事件S，“選擇設備M”為事件A，“選擇設備N”為事件B，結合題意和獨立事件的概率計算公式即可求解；（2）設方案甲和方案乙成功操作累計次數(shù)分別為X，Y，分別求出每一個次數(shù)對應的概率，然后求出每種方案對應的均值，進行比較即可得出結論.〖小問1詳析〗設“操作成功”為事件S，“選擇設備M”為事件A，“選擇設備N”為事件B由題意，恰在第二次操作才成功的概率，，所以恰在第二次操作才成功的概率為．〖小問2詳析〗設方案甲和方案乙成功操作累計次數(shù)分別為X，Y，則X，Y可能取值均為0，1，2，；；；所以方法一：；；所以方法二：方案乙選擇其中一種操作設備后，進行2次獨立重復試驗，所以，決策一：因為，故方案甲更好．決策二：因為與差距非常小，所以兩種方案均可21.已知橢圓的離心率為，其左焦點為．（1）求的方程；（2）如圖，過的上頂點作動圓的切線分別交于兩點，是否存在圓使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請說明理由．〖答案〗（1）（2）不存在，理由見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)待定系數(shù)法求橢圓標準方程即可；（2）假設存在圓滿足題意，當圓過原點時，直線與軸重合，直線的斜率為0，不合題意；不妨設為：，：，，，圓的半徑為，得圓心到直線的距離為，得，聯(lián)立直線與橢圓方程得，進而得，由得，即可解決.〖小問1詳析〗由題意設焦距為，則，由離心率為，所以，則，的方程為．〖小問2詳析〗不存在，證明如下：假設存在圓滿足題意，當圓過原點時，直線與軸重合，直線的斜率為0，不合題意．依題意不妨設為：，：，，，圓的半徑為，則圓心到直線