吉林省扶余市第一中學2025屆高一數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

吉林省扶余市第一中學2025屆高一數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知冪函數(shù)的圖像過點，若，則實數(shù)的值為A. B.C. D.2．的零點所在的一個區(qū)間為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，，，，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．在三角形中，若點滿足，則與的面積之比為（）A. B.C. D.5．當生物死后，它體內(nèi)的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半.2010年考古學家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料草裹泥）上提取的草莖遺存進行碳14檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的，以此推斷此水壩建成的年代大概是公元前（）（參考數(shù)據(jù)：，)A.年 B.年C.年 D.年6．已知，則的值為（）A. B.C.1 D.27．函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（）A.1 B.C.0 D.8．已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則滿足的x取值范圍是A. B.C D.9．已知是函數(shù)的反函數(shù)，則的值為（）A.0 B.1C.10 D.10010．設(shè)集合，則（）A. B.C.{2} D.{-2，2}二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)（1）利用五點法畫函數(shù)在區(qū)間上的圖象（2）已知函數(shù)，若函數(shù)的最小正周期為，求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若方程在上有根，求的取值范圍12．已知角的終邊過點，則______13．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是__________14．已知圓心角為2rad的扇形的周長為12，則該扇形的面積為____________.15．圓柱的高為1，它的兩個底面在直徑為2的同一球面上，則該圓柱的體積為____________；16．若冪函數(shù)是偶函數(shù)，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知是定義在上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)和的值；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明：在定義域上為增函數(shù).18．如圖，是平面四邊形的對角線，，，且.現(xiàn)在沿所在的直線把折起來，使平面平面，如圖.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.19．已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)（Ⅰ）求值；（Ⅱ）判斷并證明該函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅳ）設(shè)關(guān)于的函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.20．已知角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點（1）求的值；（2）求的值21．由歷年市場行情知，從11月1日起的30天內(nèi)，某商品每件的銷售價格(元)與時間(天)的函數(shù)關(guān)系是，日銷售量(件)與時間(天)的函數(shù)關(guān)系是.（1）設(shè)該商品的日銷售額為y元，請寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式；（商品的日銷售額=該商品每件的銷售價格×日銷售量）（2）求該商品的日銷售額的最大值，并指出哪一天的銷售額最大？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】將點代入函數(shù)解析式，求出參數(shù)值，令函數(shù)值等于3，可求出自變量的值.詳解】依題意有2＝4a，得a＝，所以，當時，m＝9.【點睛】本題考查函數(shù)解析式以及由函數(shù)值求自變量，一般由函數(shù)值求自變量的值時要注意自變量取值范圍以及題干的要求，避免多解.2、A【解析】根據(jù)零點存在性定理分析判斷即可【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個零點，因為，，所以，所以的零點所在的一個區(qū)間為，故選：A3、D【解析】根據(jù)圖象可得：，，，.，則.令，，，而函數(shù).即可求解.【詳解】解：函數(shù)，的圖象如下：根據(jù)圖象可得：若方程有四個不同的解，，，，且，則，，，.，，則.令，，，而函數(shù)在，單調(diào)遞增.所以，則.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查運算求解能力，求解時注意借助圖象分析問題，屬于中檔題.4、B【解析】由題目條件所給的向量等式，結(jié)合向量的線性運算推斷P、Q兩點所在位置，比較兩個三角形的面積關(guān)系【詳解】因為，所以，即，得點P為線段BC上靠近C點的三等分點，又因為，所以，即，得點Q為線段BC上靠近B點的四等分點，所以，所以與的面積之比為，選擇B【點睛】平面向量的線性運算要注意判斷向量是同起點還是收尾相連的關(guān)系再使用三角形法則和平行四邊形法則進行加減運算，借助向量的數(shù)乘運算可以判斷向量共線，及向量模長的關(guān)系5、B【解析】根據(jù)碳14的半衰期為5730年，即每5730年含量減少一半，設(shè)原來的量為，經(jīng)過年后變成了，即可列出等式求出的值，即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)原來的量為，經(jīng)過年后變成了，即，兩邊同時取對數(shù)，得：，即，，，以此推斷此水壩建成的年代大概是公元前年.故選：B.6、A【解析】先使用誘導公式，將要求的式子進行化簡，然后再將帶入即可完成求解.【詳解】由已知使用誘導公式化簡得：，將代入即.故選：A.7、D【解析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可得，代入表達式利用對數(shù)的運算即可求解.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，從而可得，解得.當時，，即定義域為，所以時，是奇函數(shù)故選：D【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，需掌握函數(shù)奇偶性的定義，同時本題也考查了對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得，解不等式可得x的取值范圍，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則在上為增函數(shù)，則，解可得：，即x的取值范圍是；故選D【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性綜合應(yīng)用，注意將轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】根據(jù)給定條件求出的解析式，再代入求函數(shù)值作答.【詳解】因是函數(shù)的反函數(shù)，則，，所以的值為0.故選：A10、C【解析】解一元二次不等式,求出集合B，解得集合A,根據(jù)集合的交集運算求得答案.【詳解】由題意解得：，故，或，所以，故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1）（2）的值域為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）【解析】（1）取特殊點，列表，描點，連線，畫出函數(shù)圖象；（2）化簡得到的解析式，進而求出值域，整體法求解單調(diào)遞增區(qū)間；（3）整體法先得到，換元后得到在上有根，進而求出的取值范圍.【小問1詳解】作出表格如下：x0020-20在平面直角坐標系中標出以下五點，，，，，，用平滑的曲線連接起來，就是函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如下圖：【小問2詳解】，其中，由題意得：，解得：，故，故的值域為，令，解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：【小問3詳解】因為，所以，則，令，則，所以方程在上有根等價于在上有根，因為，所以，解得：，故的取值范圍是.12、【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出r即可．【詳解】角的終邊過點，，則，故答案為【點睛】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，根據(jù)三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．三角函數(shù)的定義將角的終邊上的點的坐標和角的三角函數(shù)值聯(lián)系到一起，.知道終邊上的點的坐標即可求出角的三角函數(shù)值，反之也能求點的坐標.13、【解析】由題意根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)及分段函數(shù)的特征，可求得的取值范圍【詳解】∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，∴，解得，∴實數(shù)的取值范圍是故答案為【點睛】解答此類問題時要注意兩點：一是根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增得到在定義域的每一個區(qū)間上函數(shù)都要遞增；二是要注意在分界點處的函數(shù)值的大小，這一點容易忽視，屬于中檔題14、9【解析】根據(jù)題意條件，先設(shè)出扇形的半徑和弧長，并找到弧長與半徑之間的關(guān)系，通過已知的扇形周長，可以求解出扇形的半徑和弧長，然后再利用完成求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，由已知得，圓心角，則，因為扇形的周長為12，所以，所以，，則.故答案為：9.15、【解析】由題設(shè)，易知圓柱體軸截面的對角線長為2，進而求底面直徑，再由圓柱體體積公式求體積即可.【詳解】由題意知：圓柱體軸截面的對角線長為2，而其高為1，∴圓柱底面直徑為.∴該圓柱的體積為.故答案為：16、【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義得，解得或，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得.【詳解】解：因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，當時，，為奇函數(shù)，不滿足，舍；當時，，為偶函數(shù)，滿足條件.所以.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見詳解2.【解析】（1）由可得，再求值.（2）設(shè)，作差與零比較.【小問1詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，，，【小問2詳解】設(shè)，則，，，，所以，，故在定義域上為增函數(shù).18、(1)見解析；（2）.【解析】（1）由平面平面，平面平面，且平面,且，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面；（2）取的中點，連.由，可得，又平面，所以，又，所以平面，因此就是點到平面的距離，在中，，，所以.試題解析：（1）證明：因為平面平面平面平面，平面,且，所以平面（2）取的中點，連.因為，所以，又平面，所以，又，所以平面，所以就是點到平面的距離，在中，，，所以.所以是點到平面的距離是.【方法點晴】本題主要考查、線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)定理，屬于中檔題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時要正確運用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.19、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)（Ⅳ）.【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得，解得值；（2）根據(jù)單調(diào)性定義，作差通分，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定因子符號，最后根據(jù)差的符號確定單調(diào)性（3）根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性將不等式化為一元二次不等式恒成立問題，利用判別式求實數(shù)的取值范圍；（4）根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題，根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)求值域，即得實數(shù)的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，需，∴，∴，經(jīng)驗證，為奇函數(shù)，∴.（Ⅱ）減函數(shù)證明：任取，，且，則，∵∴∴，；∴，即∴該函數(shù)在定義域上減函數(shù).（Ⅲ）由得，∵是奇函數(shù)，∴，由（Ⅱ）知，是減函數(shù)∴原問題轉(zhuǎn)化為，即對任意恒成立，∴，得即為所求.（Ⅳ）原函數(shù)零點的問題等價于方程由（Ⅱ）知，，即方程有解∵，∴當時函數(shù)存在零點.點睛:利用函數(shù)性質(zhì)解不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).20、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合三角函數(shù)誘導公式即可求解.（2）利用正切函數(shù)的誘導公式，及正切函數(shù)兩角差公式即可