2025屆上海市靜安區(qū)新中高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析_第1頁
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2025屆上海市靜安區(qū)新中高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.與圓和圓都外切的圓的圓心在()A.一個圓上 B.一個橢圓上C.雙曲線的一支上 D.一條拋物線上2.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是,方差是4,則數(shù)據(jù)的方差是()A.3.4 B.3.6C.3.8 D.43.函數(shù)的遞增區(qū)間是()A. B.和C. D.和4.在平面內(nèi),A,B是兩個定點,C是動點,若,則點C的軌跡為()A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線5.()A. B.C. D.6.已知雙曲線:的左、右焦點分別為,,過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為,若,則雙曲線的離心率是()A. B.C. D.7.已知直線:和直線:,拋物線上一動點P到直線和直線的距離之和的最小值是()A. B.C. D.8.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為,則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.9.已知雙曲線的離心率為2,則C的漸近線方程為()A. B.C. D.10.已知直線過點,,則該直線的傾斜角是()A. B.C. D.11.已知是拋物線的焦點,是拋物線的準(zhǔn)線,點,連接交拋物線于點,,則的面積為()A.4 B.9C. D.12.拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離是()A.4 B.3C.2 D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.歐陽修在《賣油翁》中寫道:(翁)乃取一葫蘆置于地,以錢覆其口,徐以杓酌油瀝之,自錢孔入,而錢不濕,可見“行行出狀元”,賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為4cm的圓,中間有邊長為1cm的正方形孔,若你隨機地向銅錢上滴一滴油,則油(油滴的大小忽略不計)正好落入孔中的概率是_______14.已知拋物線的焦點為F,過F的直線l交拋物線C于AB兩點,且,則p的值為______15.已知曲線與曲線有相同的切線,則________16.已知焦點為F的拋物線的方程為,點Q的坐標(biāo)為,點P在拋物線上,則點P到y(tǒng)軸的距離與到點Q的距離的和的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,內(nèi)角所對的邊長分別為,是1和的等差中項(1)求角;(2)若的平分線交于點,且,求的面積18.(12分)已知.(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)有最大值,且最大值大于時,求取值范圍.19.(12分)如圖,在正方體中,是棱的中點.(1)試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并說明理由;(2)求證:直線面.20.(12分)設(shè)數(shù)列的首項,(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)設(shè)且前項和為,求21.(12分)已知等差數(shù)列滿足,.(1)求的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.22.(10分)已知直線,圓.(1)證明:直線l與圓C相交;(2)設(shè)l與C的兩個交點分別為A、B,弦AB的中點為M,求點M的軌跡方程;(3)在(2)的條件下,設(shè)圓C在點A處的切線為,在點B處的切線為,與的交點為Q.試探究:當(dāng)m變化時,點Q是否恒在一條定直線上?若是,請求出這條直線的方程;若不是,說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)動圓的半徑為,然后根據(jù)動圓與兩圓都外切得,再兩式相減消去參數(shù),則滿足雙曲線的定義,即可求解.【詳解】設(shè)動圓的圓心為,半徑為,而圓的圓心為,半徑為1;圓的圓心為,半徑為2依題意得,則,所以點的軌跡是雙曲線的一支故選:C2、B【解析】利用方差的定義即可解得.【詳解】由方差的定義,,則,所以數(shù)據(jù)的方差為:.故選:B3、C【解析】求導(dǎo)后,由可解得結(jié)果.【詳解】因為的定義域為,,由,得,解得,所以的遞增區(qū)間為.故選:C.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的增區(qū)間,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】首先建立平面直角坐標(biāo)系,然后結(jié)合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè),以AB中點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則:,設(shè),可得:,從而:,結(jié)合題意可得:,整理可得:,即點C的軌跡是以AB中點為圓心,為半徑的圓.故選:A.【點睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運算,軌跡方程的求解等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5、B【解析】根據(jù)微積分基本定理即可直接求出答案.【詳解】故選:B.6、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形,然后結(jié)合雙曲線的定義得到,設(shè),進(jìn)而作,得出,由此求出結(jié)果【詳解】因為,所以,即所以,由雙曲線的定義,知,設(shè),則,易得,如圖,作,為垂足,則,所以,即,即雙曲線的離心率為.故選:B7、A【解析】根據(jù)已知條件,結(jié)合拋物線的定義,可得點P到直線和直線的距離之和,當(dāng)B,P,F(xiàn)三點共線時,最小,再結(jié)合點到直線的距離公式,即可求解【詳解】∵拋物線,∴拋物線的準(zhǔn)線為,焦點為,∴點P到準(zhǔn)線的距離PA等于點P到焦點F的距離PF,即,∴點P到直線和直線的距離之和,∴當(dāng)B,P,F(xiàn)三點共線時,最小,∵,∴,∴點P到直線和直線的距離之和的最小值為故選:A8、D【解析】由已知設(shè)拋物線方程為,由題意可得,求出,從而可得拋物線的方程【詳解】因為拋物線的準(zhǔn)線方程為,所以設(shè)拋物線方程為,則,得,所以拋物線方程為,故選:D,9、A【解析】根據(jù)離心率及a,b,c的關(guān)系,可求得,代入即可得答案.【詳解】因為離心率,所以,所以,,則,所以C的漸近線方程為.故選:A10、C【解析】根據(jù)直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為,該直線的斜率,即.故選:C11、D【解析】根據(jù)題意求得拋物線的方程為和焦點為,由,得到為的中點,得到,代入拋物線方程,求得,進(jìn)而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準(zhǔn)線,可得,即,所以拋物線的方程為,其焦點為,因為,可得可得三點共線,且為的中點,又因為,,所以,將點代入拋物線,可得,所以的面積為.故選:D.12、C【解析】由拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為求解即可.【詳解】因為拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為,故拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離是2.故選:C【點睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】分別求出圓和正方形的面積,結(jié)合幾何概型的面積型計算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為銅錢的面積為,正方形孔的面積為,所以隨機地向銅錢上滴一滴油,則油(油滴的大小忽略不計)正好落入孔中的概率是.故答案為:【點睛】本題考查了幾何概型計算公式,考查了數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、3【解析】根據(jù)拋物線焦點弦性質(zhì)求解,或聯(lián)立l與拋物線方程,表示出,求其最值即可.【詳解】已知,設(shè),,,則,∵,所以,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)m=0時,取..故答案為:3.15、0【解析】設(shè)切點分別為,.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得,則.由,,計算可得,進(jìn)而求得點坐標(biāo)代入方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點分別為,由題意可得,則,即因為,,所以,即,解得,所以,則,解得故答案為:016、##【解析】利用定義將所求距離之和的最小值問題,轉(zhuǎn)化為的最小值問題.【詳解】焦點F坐標(biāo)為,拋物線準(zhǔn)線為,如圖,作垂直于準(zhǔn)線于A,交y軸于B,.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】(1)根據(jù)是1和的等差中項得到,再利用正弦定理結(jié)合商數(shù)關(guān)系,兩角和與差的三角函數(shù)化簡得到求解;(2)由和求得b,c的關(guān)系,再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】(1)由已知得,在中,由正弦定理得,化簡得,因為,所以,所以;(2)由正弦定理得,又,即,由余弦定理得,所以,所以【點睛】方法點睛:在解有關(guān)三角形的題目時,要有意識地考慮用哪個定理更適合,或是兩個定理都要用,要抓住能夠利用某個定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時,則要考慮兩個定理都有可能用到18、(1)時,在是單調(diào)遞增;時,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(2).【解析】(Ⅰ)由,可分,兩種情況來討論;(II)由(I)知當(dāng)時在無最大值,當(dāng)時最大值為因此.令,則在是增函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng)時,因此a的取值范圍是.試題解析:(Ⅰ)的定義域為,,若,則,在是單調(diào)遞增;若,則當(dāng)時,當(dāng)時,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(Ⅱ)由(Ⅰ)知當(dāng)時在無最大值,當(dāng)時在取得最大值,最大值為因此.令,則在是增函數(shù),,于是,當(dāng)時,,當(dāng)時,因此a取值范圍是.考點:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用及分類討論思想.19、(1)平面AEC,理由見解析(2)證明見解析【解析】(1)以線面平行的判定定理去證明直線與平面平行即可;(2)以線面垂直的判定定理去證明直線面即可.【小問1詳解】連接BD,設(shè),連接OE.在中,O、E分別是BD、的中點,則.因為直線OE在平面AEC上,而直線不在平面AEC上,根據(jù)直線與平面平行的判定定理,得到直線平面AEC.【小問2詳解】正方體中,故,又,故同理故,又,故又根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,得直線平面.20、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)由已知變形得出,即可證得結(jié)論成立;(2)計算,利用并項求和法可求得.【小問1詳解】證明:對任意的,,則,且,故數(shù)列為等比數(shù)列,且該數(shù)列的首項為,公比也為,故.【小問2詳解】解:,所以,,因此,.21、(1);(2).【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個量的值,可得出數(shù)列的通項公式;(2)求得,利用裂項法可求得.【小問1詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,可得,由可得,即,解得,,故.【小問2詳解】解:,因此,.22、(1)證明見解析;(2);(3)點Q恒在直線上,理由見解析.【解析】(1)求出直線過定點,得到在圓內(nèi)部,故證明直線l與圓C相交;(2)設(shè)出點,利用垂直得到等量關(guān)系,整理后即為軌跡方程;(3)利用Q、A、B、C四點共圓,得到此圓方程,聯(lián)立,求出相交弦的方程,即直線的方程,根據(jù)直線過的定點,得到,從而得到點Q恒在直線上.【小問1

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