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文檔簡介
PAGE8-萬有引力定律及其應用1.此部分內容幾乎每年必考,以選擇題為主。近幾年的出題主要集中在月球探測,嫦娥系列,以及萬有引力定律在航空領域的應用。2.衛(wèi)星運行規(guī)律 例1.(2024?全國I卷?15)火星的質量約為地球質量的eq\f(1,10),半徑約為地球半徑的eq\f(1,2),則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5【答案】B【解析】依據F=Geq\f(Mm,R2)得,故選B。例1.(2024?全國II卷?15)若一勻稱球形星體的密度為ρ,引力常量為G,則在該星體表面旁邊沿圓軌道繞其運動的衛(wèi)星的周期是()A.B.C.D.【答案】A【解析】衛(wèi)星在星體表面旁邊繞其做圓周運動,則Geq\f(Mm,r2)=meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r,M=ρ·eq\f(4,3)πr3,知衛(wèi)星該星體表面旁邊沿圓軌道繞其運動的衛(wèi)星的周期。例3.(2024?全國III卷?16)“嫦娥四號”探測器于2024年1月在月球背面勝利著陸,著陸前曾繞月球飛行,某段時間可認為繞月做勻速圓周運動,圓周半徑為月球半徑的K倍。已知地球半徑R是月球半徑的P倍,地球質量是月球質量的Q倍,地球表面重力加速度大小為g。則“嫦娥四號”繞月球做圓周運動的速率為()A.B.C.D.【答案】D【解析】假設在地球表面和月球表面上分別放置質量為m和m0的兩個物體,則在地球和月球表面處,分別有Geq\f(Mm,R2)=mg,,解得,設嫦娥四號衛(wèi)星的質量為m1,依據萬有引力供應向心力得,解得。提分訓練提分訓練1.如圖所示,A、B為地球兩個同軌道面的人造衛(wèi)星,運行方向相同,A為同步衛(wèi)星,A、B衛(wèi)星的軌道半徑之比為eq\f(rA,rB)=k,地球自轉周期為T。某時刻A、B兩衛(wèi)星位于地球同側直線上,從該時刻起至少經過多長時間A、B間距離最遠()A.eq\f(T,2(\r(k3)-1))B.eq\f(T,\r(k3)-1)C.eq\f(T,2(\r(k3)+1))D.eq\f(T,\r(k3)+1)【答案】A【解析】由開普勒第三定律得,設兩衛(wèi)星至少經過時間t距離最遠,如圖所示,eq\f(t,TB)-eq\f(t,TA)=nB-nA=eq\f(1,2),又TA=T,解得t=eq\f(T,2(\r(k3)-1)),選項A正確。2.位于貴州的“中國天眼”(FAST)是目前世界上口徑最大的單天線射電望遠鏡,通過FAST可以測量地球與木星之間的距離。當FAST接收到來自木星的光線傳播方向恰好與地球公轉線速度方向相同時,測得地球與木星的距離是地球與太陽距離的k倍。若地球和木星繞太陽的運動均視為勻速圓周運動且軌道共面,則可知木星的公轉周期為()A.年B.年C.年D.年【答案】A【解析】該題中,太陽、地球、木星的位置關系如圖,設地球的公轉半徑為R1,木星的公轉半徑為R2,測得地球與木星的距離是地球與太陽距離的k倍,則有R22=R12+(kR1)2=(1+k2)R12,由開普勒第三定律有eq\f(R\o\al(,13),T\o\al(,12))=eq\f(R\o\al(,23),T\o\al(,22)),可得Teq\o\al(,22)=eq\f(R\o\al(,23),R\o\al(,13))·Teq\o\al(,12)=·Teq\o\al(,12),由于地球公轉周期T1=1年,則有T2=年,故A正確,B、C、D錯誤。3.假設地球可視為質量勻稱分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0,在赤道的大小為g;地球自轉的周期為T,引力常量為G。地球的密度為()A.eq\f(3π(g0-g),GT2g0)B.eq\f(3πg0,GT2(g0-g))C.eq\f(3π,GT2)D.eq\f(3πg0,GT2g)【答案】B【解析】由萬有引力定律可知Geq\f(Mm,R2)=mg0,在地球的赤道上Geq\f(Mm,R2)-mg=meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R,地球的質量M=eq\f(4,3)πR3ρ,聯(lián)立三式可得ρ=eq\f(3πg0,GT2(g0-g)),選項B正確。4.2024年1月3日10時26分,“嫦娥四號”探測器勝利在月球背面著陸,標記著我國探月航天工程達到了一個新高度,圖示為“嫦娥四號”到達月球背面的巡察器。已知地球和月球的半徑之比約為4∶1,其表面重力加速度之比約為6∶1。則地球和月球相比較,下列說法中最接近實際的是()A.地球的密度與月球的密度比為3∶2B.地球的質量與月球的質量比為64∶1C.地球的第一宇宙速度與月球的第一宇宙速度比為8∶1D.蘋果在地球表面受到的引力與它在月球表面受到的引力比為60∶1【答案】A【解析】設星球的密度為ρ,由Geq\f(mM,R2)=mg,得M=eq\f(gR2,G),ρ=eq\f(M,V)=eq\f(3g,4πGR),已知地球的半徑約為月球半徑4倍;地球表面重力加速度約為月球表面重力加速度的6倍,所以地球和月球的密度之比約為3∶2,地球的質量與月球的質量比為96∶1,故A正確,B錯誤;依據Geq\f(mM,R2)=mg=meq\f(v2,R)可得v=eq\r(gR),則地球的第一宇宙速度與月球的第一宇宙速度比為2eq\r(6)∶1,選項C錯誤;依據F=mg可知,蘋果在地球表面受到的引力與它在月球表面受到的引力比為6∶1,選項D錯誤。5.(多選)使物體成為衛(wèi)星的最小放射速度稱為第一宇宙速度v1,而使物體脫離星球引力所須要的最小放射速度稱為其次宇宙速度v2,v2與v1的關系是v2=eq\r(2)v1。已知某星球半徑是地球半徑R的eq\f(1,3),其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的eq\f(1,6),地球的平均密度為ρ,不計其他星球的影響,則()A.該星球上的第一宇宙速度為eq\f(\r(3gR),3)B.該星球上的其次宇宙速度為eq\f(\r(gR),3)C.該星球的平均密度為eq\f(ρ,2)D.該星球的質量為eq\f(8πR3ρ,81)【答案】BC【解析】星球的半徑R′=eq\f(R,3),星球上的重力加速度g′=eq\f(g,6),該星球上的第一宇宙速度v1=eq\r(g′R′)=eq\r(\f(g,6)·\f(R,3))=eq\f(\r(2gR),6),選項A錯誤;該星球上的其次宇宙速度為v2=eq\r(2)v1=eq\r(2)eq\f(\r(2gR),6)=eq\f(\r(gR),3),選項B正確;由g′=eq\f(GM′,R′2),g=eq\f(GM,R2),M=ρV,V=eq\f(4,3)πR3,聯(lián)立解得該星球的質量為M′=eq\f(2πR3ρ,81),選項D錯誤;該星球體積V′=eq\f(4,3)πR′3,該星球的平均密度為ρ′=eq\f(M′,V′),R′=eq\f(R,3),聯(lián)立解得ρ′=eq\f(ρ,2),選項C正確。6.“嫦娥五號”作為我國登月安排中第三期工程的“主打星”,登月后又從月球起飛,并以“跳動式返回技術”勝利返回地面,完成探月第三期工程的重大跨越帶回月球樣品?!疤鴦邮椒祷丶夹g”是指航天器在關閉發(fā)動機后進入大氣層,依靠大氣升力再次沖出大氣層,降低速度后進入大氣層。如圖所示,虛線為大氣層的邊界,已知地球半徑為R,d點與地心距離為r,地球表面重力加速度為g。下列說法正確的是()A.“嫦娥五號”在b點處于完全失重狀態(tài)B.“嫦娥五號”在d點的向心加速度大小等于eq\f(gr2,R2)C.“嫦娥五號”在a點和c點的速率相等D.“嫦娥五號”在c點和e點的速率相等【答案】D【解析】由“嫦娥五號”運動軌跡可知,其在b點的加速度方向與所受萬有引力方向相反,處于超重狀態(tài),選項A錯誤;由萬有引力定律和牛頓其次定律得Geq\f(Mm,r2)=ma,其在d點的向心加速度a=eq\f(GM,r2),在地表處,有mg=Geq\f(Mm,R2),解得a=eq\f(gR2,r2),選項B錯誤;從a點到c點過程中,萬有引力做功為零,但大氣阻力做負功,由動能定理可知,動能改變量不為零,故在a、c兩點時速率不相等,選項C錯誤;從c點到e點過程中,所經空間無大氣,萬有引力做功為零,所以在c、e兩點時速率相等,選項D正確。7.我國先后放射了量子科學試驗衛(wèi)星、“天宮二號”、“風云四號A”、全球二氧化碳監(jiān)測科學試驗衛(wèi)星等衛(wèi)星或航天器,如圖所示,其中量子科學試驗衛(wèi)星運行在距地面500千米的極地軌道,“天宮二號”運行在距地面393千米的軌道,“風云四號A”是中國新一代靜止氣象衛(wèi)星,運行在地球同步軌道上,全球二氧化碳監(jiān)測科學試驗衛(wèi)星運行在距地面700千米的極地軌道上,這些衛(wèi)星或航天器對我國及國際的科學探討做出了重大貢獻。下列關于這些衛(wèi)星或航天器的說法正確的是()A.量子科學試驗衛(wèi)星的軌道在赤道上空B.“天宮二號”的運行速度最小C.“風云四號A”的運行軌道距地面的高度最大D.全球二氧化碳監(jiān)測科學試驗衛(wèi)星運行周期為24小時【答案】C【解析】量子科學試驗衛(wèi)星運行在距地面500千米的極地軌道,軌道不在赤道上空,選項A錯誤;依據萬有引力供應向心力可知Geq\f(Mm,r2)=meq\f(v2,r),解得v=eq\r(\f(GM,r)),軌道半徑越大,速度越小,依據題意可知,“風云四號A”的軌道半徑最大,則其速度最小,距地面的高度最大,選項B錯誤,C正確;依據萬有引力供應向心力得Geq\f(Mm,r2)=meq\f(4π2r,T2),解得T=2πeq\r(\f(r3,GM)),地球同步衛(wèi)星的周期為24h,軌道半徑越大,周期越大,而全球二氧化碳監(jiān)測科學試驗衛(wèi)星的軌道半徑小于同步衛(wèi)星的軌道半徑,則周期小于24h,選項D錯誤。8.2024年8月12日,美國“帕克”太陽探測器在佛羅里達州卡納維拉爾角放射升空,這是人類首個將穿越日冕“觸摸”太陽的探測器。已知海王星距太陽的距離約為450400萬千米,“帕克”太陽探測器距太陽的距離約為4273萬千米。若海王星與“帕克”太陽探測器圍繞太陽的運動均視為勻速圓周運動,則()A.海王星的運行周期肯定比“帕克”太陽探測器的運行周期小B.在相同時間內,海王星轉過的弧長肯定比“帕克”太陽探測器轉過的弧長長C.海王星運行時的向心加速度肯定比“帕克”太陽探測器運行時的向心加速度小D.海王星的角速度肯定比“帕克”太陽探測器的角速度大【答案】C【解析】由公式T=2πeq\r(\f(r3,GM))可知T∝eq\r(r3),所以海王星的運行周期比“帕克”太陽探測器的運行周期大,選項A錯誤;由Geq\f(Mm,r2)=meq\f(v2,r)得v=eq\r(\f(GM,r)),知軌道半徑小,運行速度大,海王星運行時的速度比“帕克”太陽探測器的小,在相同時間內,海王星轉過的弧長肯定比“帕克”太陽探測器的短,選項B錯誤;依據Geq\f(Mm,r2)=ma可得a=eq\f(GM,r2)∝eq\f(1,r2),因為海王星的軌道半徑大,所以其向心加速度較小,選項C正確;依據公式Geq\f(Mm,r2)=mrω2可得ω=eq\r(\f(GM,r3)),軌道半徑越大,角速度越小,所以海王星的角速度小于“帕克”太陽探測器的角速度,選項D錯誤。9.(多選)在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上,把物體P輕放在彈簧上端,P由靜止向下運動,物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖中實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧,改用物體Q完成同樣的過程,其a-x關系如圖中虛線所示。假設兩星球均為質量勻稱分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍,則()A.M與N的密度相等B.Q的質量是P的3倍C.Q下落過程中的最大動能是P的4倍D.Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍【答案】AC【解析】由題圖知,當x=0時,對P有mPgM=mP·3a0,即星球M表面的重力加速度gM=3a0;對Q有mQgN=mQa0,即星球N表面的重力加速度gN=a0。在星球表面,由mg=Geq\f(Mm,R2)得,星球質量M=eq\f(gR2,G),V=eq\f(4,3)πR3,則星球的密度ρ=eq\f(M,V)=eq\f(3g,4πGR),所以M、N的密度之比eq\f(ρM,ρN)=eq\f(gM,gN)·eq\f(RN,RM)=eq\f(3,1)×eq\f(1,3)=1,選項A正確;當P、Q的加速度a=0時,對P有mPgM=kx0,則mP=eq\f(kx0,3a0);對Q有mQgN=k·2x0,則mQ=eq\f(2kx0,a0),即mQ=6mP,選項B錯誤;依據a-x圖線與坐標軸圍成圖形的面積和質量的乘積表示合外力做的功及動能定理可知,EkmP=eq\f(3,2)mPa0x0,EkmQ=mQa0x0,所以EkmQ=4EkmP,選項C正確;依據運動的對稱性可知,Q下落時彈簧的最大壓縮量為4x0,P下落時彈簧的最大壓縮量為2x0,選項D錯誤。10.2024年3月3日,中國探月工程總設計師吳偉仁宣布中國探月工程“三步走”即將收官,我國對月球的探究將進入新的征程。若近似認為月球繞地球做勻速圓周運動,地球繞太陽也做勻速圓周運動
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