2025屆高考數(shù)學統(tǒng)考二輪復習增分強化練五不等式推理與證明理含解析

PAGE增分強化練(五)考點一不等式的性質(zhì)及解法1．(2024·安陽模擬)已知集合A＝{x|－2＜x≤5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)≤－1))))，則A∩B＝()A．{x|x＜0} B．{x|x≤5}C．{x|－3≤x≤5} D．{x|－2＜x＜0}解析：∵集合A＝{x|－2＜x≤5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)≤－1))))＝{x|－3≤x<0}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜0}．故選D.答案：D2．若關于x的不等式(mx－1)(x－2)>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)<x<2))))，則m的取值范圍是()A．m>0 B．0<m<2C．m>eq\f(1,2) D．m<0解析：(mx－1)(x－2)>0，mx2－2mx－x＋2>0，因為不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)<x<2))))，所以二次項的系數(shù)小于0，m<0.故選D.答案：D3．下列命題中正確的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若a>b，c<d，則eq\f(a,c)>eq\f(b,d)C．若a>b，c>d，則a－c>b－dD．若ab>0，a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)解析：對于A選項，當c＝0時，不成立，A選項錯誤；當a＝1，b＝0，c＝－2，d＝－1時，eq\f(a,c)<eq\f(b,d)，B選項錯誤；當a＝1，b＝0，c＝1，d＝0時，a－c＝b－d，C選項錯誤，D選項正確．故選D.答案：D4．不等式eq\f(1,x－1)＋2≥0的解集為________．解析：原不等式等價于eq\f(2x－1,x－1)≥0，解得x>1或x≤eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x≤\f(1,2)))))考點二簡潔的線性規(guī)劃問題1．(2024·漢中質(zhì)檢)若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥2y－2≤02x－y≤2))，則x2＋y2的最大值為()A．4 B．8C．2 D．6解析：作出可行域如圖：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝22x－y＝2))，解得A(2,2)，明顯|AO|2＝8最大，故選B.答案：B2．(2024·成都質(zhì)檢)設實數(shù)x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤4,x＋2y≤2x－1≥0))，則eq\f(y＋1,x)的最大值是()A．－1 B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(3,2)解析：由約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤4,x＋2y≤2x－1≥0))，作出可行域如圖，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0,x＋2y－2＝0))，解得A(1，eq\f(1,2))，eq\f(y＋1,x)的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點P(0，－1)連線的斜率，由圖可知kPA＝eq\f(\f(1,2)＋1,1)＝eq\f(3,2)最大．答案：D3．若x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0,x＋y－3≥0,3x－y－5≤0))，z＝2x＋y的最小值為________；z＝eq\f(y＋x,x)的最大值為________．解析：畫出約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0,x＋y－3≥0,3x－y－5≤0))表示的可行域，如圖，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0,x＋y－3＝0))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))，將z＝2x＋y變形為y＝－2x＋z，平移直線y＝－2x＋z，由圖可知當直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A(1,2)時，直線在y軸上的截距最小，最小值為z＝2×1＋2＝4；z＝eq\f(y＋x,x)＝eq\f(y,x)＋1，eq\f(y,x)表示可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率，由圖可知，eq\f(y,x)的最大值為kOA＝2，eq\f(y,x)＋1的最大值為2＋1＝3.答案：43考點三基本不等式1．設a>0，b>0，若a＋b＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．4 B．8C．2 D.eq\f(1,4)解析：由題意eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b＝eq\f(1,2)時取等號．故選A.答案：A2．(2024·化州模擬)若正數(shù)x，y滿意x＋3y＝5xy，當3x＋4y取得最小值時，x＋2y的值為()A.eq\f(24,5) B．2C.eq\f(28,5) D．5解析：∵x＋3y＝5xy，x＞0，y＞0，∴eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))＝eq\f(13,5)＋eq\f(3x,5y)＋eq\f(4y,5x)×3≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(3x,5y)·\f(12y,5x))＝5，當且僅當eq\f(3x,5y)＝eq\f(12y,5x)，即x＝2y＝1時取等號，x＋2y的值為2.故選B.答案：B3．(2024·涼山質(zhì)檢)函數(shù)y＝eq\f(2x2＋1,x)(x>0)的值域是________．解析：依題意y＝2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＝2eq\r(2)，當且僅當2x＝eq\f(1,x)，x＝eq\f(\r(2),2)時等號成立，故函數(shù)的值域為[2eq\r(2)，＋∞)．答案：[2eq\r(2)，＋∞)考點四推理與證明1．將棱長相等的正方體按圖示的形態(tài)擺放，從上往下依次為第1層，第2層，……則第20層正方體的個數(shù)是()A．420 B．440C．210 D．220解析：視察可得，第1層正方體的個數(shù)為1，第2層正方體的個數(shù)為3，比第1層多2個，第3層正方體的個數(shù)為6，比第2層多3個…，可得，每一層比上一層多的個數(shù)依次為2,3,4,5，…故第20層的正方體個數(shù)為1＋2＋3＋4＋…＋20＝eq\f(1＋20×20,2)＝210，故選C.答案：C2．已知x>0，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推廣為x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，則a的值為()A．n2 B．nnC．2n D．22n－2解析：由題意，當分母的指數(shù)為1時，分子為11＝1；當分母的指數(shù)為2時，分子為22＝4；當分母的指數(shù)為3時，分子為33＝27；據(jù)此歸納可得：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1中，a的值為nn.故選B.答案：B3．在平面幾何中，正三角形的內(nèi)切圓半徑等于這個正三角形高的eq\f(1,3).拓展到空間幾何中，類比平面幾何的上述結構，得正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個正四面體的高的()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析：從平面