2024-2025學年高中數學第二章函數2.2.2函數的表示法一學案含解析北師大版必修1

PAGE2.2函數的表示法(一)內容標準學科素養(yǎng)1.駕馭函數的三種表示法：解析法、列表法、圖像法以及各自的優(yōu)缺點．2.在實際問題中，能夠選擇恰當的表示法來表示函數．3.能利用函數圖像求函數的值域，并確定函數值的改變趨勢.加強邏輯推理提升數學運算增加直觀想象授課提示：對應學生用書第20頁[基礎相識]學問點函數的表示法eq\a\vs4\al(預習教材P28－31，思索并完成以下問題)某同學安排買x(x∈{1,2,3,4,5})支2B鉛筆，每支鉛筆的價格為0.5元，共需y元，于是y與x之間建立起了一個函數關系．(1)函數的定義域是什么？提示：{1,2,3,4,5}．(2)y與x有何關系？提示：y＝0.5x.(3)試用表格表示y與x之間的關系．提示：表格如下：支數(x)12345錢數(y)0.511.522.5學問梳理函數的表示方法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(解析法：用自變量的解析表達式表示兩個變量,之間的對應關系,圖像法：用圖像表示兩個變量,之間的對應關系,列舉法：列出表格來表示兩個變量,之間的對應關系))思索：1.任何一個函數都能用解析法表示嗎？提示：不肯定．如一年內每天的氣溫與日期間的關系，每日股票的價格同開盤時間的關系等等，都不能用解析法表示．2．你能說一下三種表示法各自的優(yōu)缺點嗎？提示：表示法優(yōu)點缺點解析法簡明、全面概括了變量間的關系；利用解析式可以求任一點處的函數值不夠形象、直觀而且并非全部的函數都有解析式列表法不需計算可以干脆看出自變量對應的函數值僅能表示自變量取較少的有限的對應關系圖像法能形象直觀地表示函數的改變狀況只能近似求出自變量的值所對應的函數值，而且有時誤差較大3.如何推斷一個圖形是否可以作為函數的圖像？提示：任取一條垂直于x軸的直線l，在定義域上移動此直線，若直線l與圖形只有一個交點，則是函數的圖像，若有兩個或兩個以上的交點，則不是函數的圖像．[自我檢測]1．下列各圖像中，不行能是函數y＝f(x)的圖像的有()A．1個B．2個C．3個 D．4個解析：推斷一個圖像是否是函數圖像，其關鍵是分析是否滿意定義域內的隨意一個x，都有唯一確定的y與之對應．故①②可能是函數圖像．③④肯定不是y＝f(x)的圖像．答案：B2．下列用圖表給出的函數關系中，當x＝6時，對應的函數值y＝()x0＜x≤11＜x≤55＜x≤10x＞10y1234A.2B．3C．4解析：5＜x≤10時，y＝3，∴x＝6時，y＝3.答案：B3．已知f(x)是正比例函數且過點(1,1)，則f(x)＝________.解析：設f(x)＝kx(k≠0)，由題意可知f(1)＝k＝1，∴f(x)＝x.答案：x授課提示：對應學生用書第21頁探究一函數的三種表示方法[例1]下列式子或表格：①y＝2x，其中x∈{0,1,2,3}，y∈{0,2,4}；②x2＋y2＝2；③y＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)；④x12345y9089888595其中表示y是x的函數的是________．[思路點撥]解答本題的關鍵是分析所給式子或表格是否滿意函數的定義．[解析]①不表示y是x的函數，因為當x＝3時，y沒有值與其對應；②不表示y是x的函數，因為當x＝1時，y＝±1，即y有兩個值與x的值對應；③不表示y是x的函數，因為原表達式中x∈?；④能表示y是x的函數，因為該表格既滿意函數概念中的確定性也滿意唯一性．[答案]④方法技巧函數表示法的留意事項：(1)列表法、圖像法、解析法均是函數的表示方法，無論用哪種方式表示函數，都必需滿意函數的概念．(2)推斷所給圖像、表格、解析式是否表示函數的關鍵在于是否滿意函數的定義．跟蹤探究1.某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數x與收款數y之間的函數關系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來．解析：(1)列表法：x(臺)12345678910y(元)30006000900012000150001800021000240002700030000(2)圖像法：如圖所示：(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．探究二求函數的解析式[例2]求下列函數的解析式：(1)已知f(x＋1)＝x2＋x＋1，求f(x)；(2)已知f(x)是一次函數，且滿意3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f((3)已知f(x)滿意2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，求f(x)．[思路點撥](1)用換元法．(2)用待定系數法．(3)用消元法．[解析](1)令x＋1＝t，則x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.(3)2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x①把①中的x換成eq\f(1,x)，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq\f(3,x)②①×2－②得3f(x)＝6x－eq\f(3,x)，∴f(x)＝2x－eq\f(1,x).易錯分析本題(3)在求解過程中常因不理解“2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x”而找不到解題思路．延長探究(1)把例2的(1)換成f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)；(2)把例2的(3)換成2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x解析：(1)令eq\r(x)＋1＝t，則eq\r(x)＝t－1(t≥1)，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)用－x代2f(x)＋f(－x)＝3x中的x2f(－x)＋f(x)＝－3x，∴f(x)＝3x方法技巧求函數解析式事實上就是找尋函數三要素中的對應關系，也就是在已知自變量和函數值的條件下求對應關系．解答此類問題時，可依據已知條件選擇不同的方法求解．求函數解析式的常用方法：(1)待定系數法：若已知函數的類型，可用待定系數法求解，即由函數類型設出函數解析式，再依據條件列方程(或方程組)，通過解方程(組)求出待定系數，進而求出函數解析式．(2)代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，其解法為用g(x)替換f(x)解析式中的全部自變量x.(3)換元法(有時可用“配湊法”)：已知函數f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，從而求出f(x)(或將f(g(x))的解析式轉化為含g(x)的表達式，然后干脆整體代換g(x))．(4)方程組法：這種方法針對于特別題型，猶如時出現f(x)和feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)時，需把f(x)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)分別看作一個整體，通過解方程組消去不須要的feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)，解出f(x)的解析式，這種方法也稱為消元法．跟蹤探究2.(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)；(3)已知f(x)是二次函數，且滿意f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；(4)已知函數f(x)對于隨意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x解析：(1)令x＋1＝t，則x＝t－1，將x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2－2，∴f(x)＝x2－2.(3)設所求的二次函數為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1，則f(x)＝ax2＋bx＋1.∵f(x＋1)－f(x)＝2x對隨意x∈R成立，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，由恒等式的性質，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))∴所求二次函數為f(x)＝x2－x＋1.(4)因為對于隨意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，將x替換為－x得f(－x)＋2f(x)＝－3x－2，聯立方程組消去f(－x)，可得f(x)＝－3x－eq\f(2,3).探究三函數的圖像[例3]作出下列函數的圖像并求其值域：(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．[思路點撥]看函數的類型→看函數的定義域→描點、連線、成圖．[解析](1)因為x∈Z，所以函數圖像為始終線上的孤立點(如圖(1))，由圖像知，y∈Z.(2)因為x∈[0,3)，故函數圖像是一段拋物線(如圖(2))，由圖像知，y∈[－5,3)．方法技巧函數的圖像能直觀地反映出函數的一些性質，因此，解答函數問題時經常借助于圖像．(1)作函數圖像主要有三步：列表、描點、連線．作圖像時一般應先確定函數的定義域，再在定義域內化簡函數解析式，最終列表畫出圖像．(2)函數的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點，畫圖時要留意關鍵點，如圖像與坐標軸的交點、區(qū)間端點，二次函數的頂點等等，還要分清這些關鍵點是實心點還是空心圓圈．跟蹤探究3.作出下列函數的圖像：(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)．解析：(1)當x＝0時，y＝1；當x＝1時，y＝3；當x＝2時，y＝5.圖像過(0,1)，(1,3)，(2,5)點．圖像如圖所示：(2)當x＝2時，y＝1；當x＝4時，y＝eq\f(1,2)；當x＝6時，y＝eq\f(1,3).圖像如圖所示：授課提示：對應學生用書第22頁[課后小結]1．如何求函數的解析式求函數的解析式的關鍵是理解對應關系f的本質與特點(對應關系就是對自變量進行對應處理的操作方法，與用什么字母表示無關)，應用適當的方法，留意有的函數要注明定義域，主要方法有：待定系數法、換元法、解方程組法(消元法)．2．如何作函數的圖像一般地，作函數圖像主要有三步：列表、描點、連線，作圖像時一般應先確定函數的定義域，再在定義域內化簡函數解析式、再依據所列表中的點描出圖像，畫圖時要留意一些關鍵點，如與坐標軸的交點、端點的虛實問題等．3．如何用函數圖像常借助函數圖像探討定義域、值域、函數改變趨勢及兩個函數圖像交點問題．[素養(yǎng)培優(yōu)]忽視變量的實際意義而致誤易錯案例：如圖所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，點P在AD上移動，CQ⊥BP，Q為垂足．設BP＝x，CQ＝y，試求y關于x的函數表達式，并畫出函數的圖