2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.11.1.1空間向量及其線性運(yùn)算學(xué)案新人教A版選擇性必修第一冊

1.1空間向量及其運(yùn)算1.學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1.理解空間向量及相關(guān)概念．(重點(diǎn))2.駕馭空間向量的線性運(yùn)算．(重點(diǎn))3.駕馭共線向量定理、共面對量定理及其推論的應(yīng)用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過空間向量有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.借助向量的線性運(yùn)算、共線向量及共面對量的學(xué)習(xí)，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).回憶平面對量的有關(guān)概念與約定，思索能否將它們從平面推廣到空間中，假如能，嘗試說出推廣后的不同之處，假如不能，請說明理由．學(xué)問點(diǎn)1空間向量及相關(guān)概念(1)空間向量的定義及表示定義在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量長度或?？臻g向量的大小叫做空間向量的長度或模表示方法幾何表示與平面對量一樣，空間向量也用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模符號(hào)表示空間向量常用一個(gè)小寫字母表示．如：向量a，b，c…，其模分別記為|a|，|b|，|c|…空間向量也可以用有向線段表示．如圖所示，向量a也可記作eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|(2)幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量隨意00單位向量1相反向量相反相等a的相反向量：－a；eq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b1.若兩個(gè)空間向量相等，則它們的方向相同，且模相等，那么它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)也相同嗎？[提示]起點(diǎn)、終點(diǎn)未必相同．單位向量、零向量都只規(guī)定了向量的模而沒有規(guī)定方向．需留意單位向量有多數(shù)個(gè)，它們的方向并不確定，因此，它們不肯定相等；零向量也有多數(shù)個(gè)，它們的方向是隨意的，但規(guī)定全部的零向量都相等．1.思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)向量eq\o(AB,\s\up8(→))與向量eq\o(BA,\s\up8(→))的長度相等． ()(2)零向量沒有方向． ()[提示](1)√對于隨意向量eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(BA,\s\up8(→))，都有|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|成立．(2)×零向量有方向，它的方向是隨意的．回憶平面對量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算，思索如何定義空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算，并嘗試總結(jié)空間向量的線性運(yùn)算與平面對量的線性運(yùn)算有何不同．學(xué)問點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(MN,\s\up8(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；安排律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb2.由λa＝0，可否得出λ＝0?[提示]不能．λa＝0?λ＝0或a＝0.2.(1)已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up8(→))等于()A．a(chǎn)＋b－c B．c－a－bC．c＋a－b D．c＋a＋b(2)化簡eq\o(MN,\s\up8(→))＋eq\o(PM,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＝________.(1)B(2)0[(1)eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝－b－a＋c＝c－a－b，故選B．(2)eq\o(MN,\s\up8(→))＋eq\o(PM,\s\up8(→))－eq\o(PN,\s\up8(→))＝eq\o(MN,\s\up8(→))＋eq\o(NM,\s\up8(→))＝0.]學(xué)問點(diǎn)3共線向量(1)定義：假如表示若干空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與隨意向量平行，即對隨意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于隨意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.3.怎樣利用向量共線定理證明空間A，B，C三點(diǎn)共線？[提示]只需證明向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))(不唯一)共線即可．向量共線的充要條件可以作為判定線線平行的依據(jù)．但必需留意在向量a(或b)所在直線上至少有一點(diǎn)不在b(或a)所在的直線上．3.思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若a∥b，b∥c，則a∥c. ()(2)若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb. ()(3)若eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線． ()[提示](1)×當(dāng)b＝0時(shí)，a∥c不肯定成立．(2)×當(dāng)a是非零向量，b＝0時(shí)，不存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.(3)√由eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))知eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(BC,\s\up8(→))，且有公共點(diǎn)B，此時(shí)A，B，C三點(diǎn)共線．學(xué)問點(diǎn)4共面對量和共面對量定理(1)定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面對量．(2)共面對量定理：假如兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g隨意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).4.(1)空間中隨意兩個(gè)向量肯定是共面對量嗎？(2)設(shè)空間五點(diǎn)O，A，B，C，P，滿意eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))，若x＋y＋z＝1，則P，A，B，C四點(diǎn)是否共面？[提示](1)空間中隨意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一個(gè)平面的兩個(gè)向量，因此肯定是共面對量．(2)由x＋y＋z＝1，得eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))＝(1－y－z)eq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋y(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋z(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))，即eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝y(tǒng)eq\o(AB,\s\up8(→))＋zeq\o(AC,\s\up8(→))，即eq\o(AP,\s\up8(→))＝y(tǒng)eq\o(AB,\s\up8(→))＋zeq\o(AC,\s\up8(→))，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面．共面對量定理可作為判定三條直線共面的依據(jù)，但要留意應(yīng)用共面對量定理判定三條直線共面時(shí)，還須要其中一條直線上有一點(diǎn)在另外兩條直線所確定的平面內(nèi)．4.思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若向量a，b，c共面，則表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面． ()(2)若點(diǎn)P，M，A，B四點(diǎn)共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq\o(MP,\s\up8(→))＝xeq\o(MA,\s\up8(→))＋yeq\o(MB,\s\up8(→)). ()(3)對于空間的隨意三個(gè)向量a，b,2a－b，它們肯定是共面對量． [提示](1)×三條直線不肯定在同一平面內(nèi)．(2)×當(dāng)eq\o(MA,\s\up8(→))與eq\o(MB,\s\up8(→))共線，eq\o(MP,\s\up8(→))與eq\o(MA,\s\up8(→))不共線時(shí)，x，y不存在．(3)√由2a－b＝2·a＋(－1)·b得2a－b與a，類型1空間向量的有關(guān)概念及簡潔應(yīng)用【例1】給出下列結(jié)論：①若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間向量a，b滿意|a|＝|b|，則a＝±b；③若空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則m＝p；④空間中隨意兩個(gè)單位向量必相等；⑤在如圖1所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))；圖1圖2⑥如圖2所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′的全部棱對應(yīng)的向量中，與eq\o(AA′,\s\up8(→))相等的向量有3個(gè)．其中正確的是________．(填序號(hào))③⑤⑥[當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等，但兩個(gè)相等向量不肯定起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同，故①錯(cuò)誤；要保證兩向量相等，則需模相等且方向相同，要保證兩向量是相反向量，則需模相等且方向相反，但②中僅給出向量a與向量b的模相等，所以這兩個(gè)向量不肯定為相等向量或相反向量，故②錯(cuò)誤；命題③是相等向量的傳遞性，明顯正確；空間中隨意兩個(gè)單位向量的模均為1，但方向不肯定相同，故④錯(cuò)誤；在正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量eq\o(AC,\s\up8(→))與eq\o(A1C1,\s\up8(→))的方向相同，模也相等，所以eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))，故⑤正確；在平行六面體ABCD-A′B′C′D′的全部棱對應(yīng)的向量中，與eq\o(AA′,\s\up8(→))相等的向量分別為eq\o(BB′,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))，eq\o(DD′,\s\up8(→))，故⑥正確．]解答空間向量有關(guān)概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)及留意點(diǎn)(1)關(guān)鍵點(diǎn)：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向．(2)留意點(diǎn)：留意一些特別向量的特性．①零向量不是沒有方向，而是它的方向是隨意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說明白共線向量不具備傳遞性．②單位向量方向雖然不肯定相同，但它們的長度都是1.③兩個(gè)向量模相等，不肯定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚甗跟進(jìn)訓(xùn)練]1.如圖所示，以長方體ABCD-A1B1C1D1(1)試寫出與eq\o(AB,\s\up8(→))相等的全部向量；(2)試寫出eq\o(AA1,\s\up8(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up8(→))的模．[解](1)與向量eq\o(AB,\s\up8(→))相等的全部向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))及eq\o(D1C1,\s\up8(→))共3個(gè)．(2)向量eq\o(AA1,\s\up8(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up8(→))，eq\o(B1B,\s\up8(→))，eq\o(C1C,\s\up8(→))，eq\o(D1D,\s\up8(→)).(3)|eq\o(AC1,\s\up8(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up8(→))|2＋|\o(BC,\s\up8(→))|2＋|\o(CC1,\s\up8(→))|2))＝eq\r(22＋22＋12)＝eq\r(9)＝3.類型2空間向量的線性運(yùn)算【例2】(1)(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的運(yùn)算結(jié)果為向量eq\o(B1D1,\s\up8(→))的是()A．eq\o(A1D1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)) B．eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→))－eq\o(D1C1,\s\up8(→))C．eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB1,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→)) D．eq\o(B1D1,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→))(2)已知正四棱錐P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y，z的值．①eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))＋zeq\o(PA,\s\up8(→))；②eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→)).(1)CD[eq\o(A1D1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AD1,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BD1,\s\up8(→))，A錯(cuò)；eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→))－eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))－eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(BC1,\s\up8(→))＋eq\o(C1D1,\s\up8(→))＝eq\o(BD1,\s\up8(→))，B錯(cuò)；eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB1,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→))＝eq\o(B1D,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→))＝eq\o(B1D1,\s\up8(→))，C對；eq\o(B1D1,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→))＝eq\o(B1D1,\s\up8(→))－eq\o(DD1,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→))＝eq\o(B1D1,\s\up8(→))，D對．故選CD．](2)[解]①如圖，∵eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PO,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up8(→))，∴y＝z＝－eq\f(1,2).②法一：如圖，eq\o(PA,\s\up8(→))＝eq\o(PD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))＝eq\o(PD,\s\up8(→))＋2eq\o(QO,\s\up8(→))＝eq\o(PD,\s\up8(→))＋2(eq\o(PO,\s\up8(→))－eq\o(PQ,\s\up8(→)))＝eq\o(PD,\s\up8(→))＋2eq\o(PO,\s\up8(→))－2eq\o(PQ,\s\up8(→))∴x＝2，y＝－2.法二：由eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→))得eq\o(PA,\s\up8(→))－eq\o(PD,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))，即eq\o(DA,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))又eq\o(DA,\s\up8(→))＝2eq\o(QO,\s\up8(→))＝2(eq\o(PO,\s\up8(→))－eq\o(PQ,\s\up8(→)))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))－2eq\o(PQ,\s\up8(→))∴x＝2，y＝－2.1．空間向量加法、減法運(yùn)算的2個(gè)技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，敏捷運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必留意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采納空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．2．利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合詳細(xì)圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．(2)明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識(shí)，奇妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式．(1)eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))；(2)eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→)))．[解](1)因?yàn)镚是△BCD的重心，所以|eq\o(GE,\s\up8(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up8(→))|，所以eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(GE,\s\up8(→))，又因?yàn)閑q\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(EF,\s\up8(→))，所以由向量的加法法則，可知eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\o(GE,\s\up8(→))＋eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))＋eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→)).從而eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→)).(2)法一：由eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AH,\s\up8(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))得eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\o(AH,\s\up8(→))－eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(FH,\s\up8(→)).法二：如圖所示，分別取AB，AC的中點(diǎn)P，Q，連接PH，QH，則四邊形APHQ為平行四邊形，且有eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))，eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AQ,\s\up8(→))，而eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(AQ,\s\up8(→))＝eq\o(AH,\s\up8(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))，所以eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(AQ,\s\up8(→))－eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AH,\s\up8(→))－eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(FH,\s\up8(→)).類型3空間向量共線問題【例3】(1)設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up8(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up8(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)k＝________.(2)如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，且eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up8(→)).求證：四邊形EFGH是梯形．(1)1[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.設(shè)eq\o(AD,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，則7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝7，,λk＝k＋6，))解得k＝1.](2)[證明]∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AH,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))，則eq\o(EH,\s\up8(→))＝eq\o(AH,\s\up8(→))－eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up8(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up8(→))))＝eq\f(3,4)(Ceq\o(G,\s\up8(→))－eq\o(CF,\s\up8(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up8(→))，∴eq\o(EH,\s\up8(→))∥eq\o(FG,\s\up8(→))且|eq\o(EH,\s\up8(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up8(→))|≠|(zhì)eq\o(FG,\s\up8(→))|.又F不在直線EH上，∴四邊形EFGH是梯形．證明空間三點(diǎn)共線有哪些方法？[提示]對于空間三點(diǎn)P，A，B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線．(1)存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up8(→))＝λeq\o(PB,\s\up8(→))成立．(2)對空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))(x＋y＝1)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)已知空間中三個(gè)不共面的向量m，n，p，若a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋yn＋2p，且a∥b，則x＝________，y(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，F(xiàn)在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→)).求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．(1)－eq\f(5,2)1[由a∥b得，b＝λa(λ∈R)，即(x＋1)m＋yn＋2p＝3λm－2λn－4λp.因?yàn)橄蛄縨，n，p不共面．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝3λ，,y＝－2λ，,2＝－4λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2)，,y＝1，,λ＝－\f(1,2).))](2)[證明]設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，因?yàn)閑q\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→))，所以eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up8(→))，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up8(→))，所以eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c，所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(A1F,\s\up8(→))－eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up8(→))＝eq\o(EA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up8(→))，因?yàn)镋F，EB有公共點(diǎn)E，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．類型4向量共面問題【例4】(對接教材P5例題)如圖所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，在AC1上和BC上分別有一點(diǎn)M和N，且eq\o(AM,\s\up8(→))＝keq\o(AC1,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))＝keq\o(BC,\s\up8(→))，其中0≤k≤1.求證：eq\o(MN,\s\up8(→))，a，c共面．如何推斷空間中的三個(gè)向量是否共面？[證明]因?yàn)閑q\o(AM,\s\up8(→))＝keq\o(AC1,\s\up8(→))＝kb＋kc，eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BN,\s\up8(→))＝a＋keq\o(BC,\s\up8(→))＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb，所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AM,\s\up8(→))＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc.由共面對量定理可知，eq\o(MN,\s\up8(→))，a，c共面．解決向量共面的策略(1)若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面對量定理，證明過程中要敏捷進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來表示．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿意eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)).(1)推斷eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))三個(gè)向量是否共面；(2)推斷M是否在平面ABC內(nèi)．[解](1)∵eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝3eq\o(OM,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＋(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))，∴eq\o(MA,\s\up8(→))＝eq\o(BM,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\o(MB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面，而它們有共同的起點(diǎn)M，且A，B，C三點(diǎn)不共線，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC內(nèi)．1．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的命題是()A．任一向量與它的相反向量都不相等B．長度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量C．平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量D．若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|B[對于A，零向量與它的相反向量相等，故A錯(cuò)．對于B，依據(jù)相等向量的定義知，B正確．對于C，兩向量平行，方向不肯定相同，故C錯(cuò)．對于D，a≠b，但可能兩個(gè)向量的模相等而方向不同，故D錯(cuò)．因此選B．]2.(多選題)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量eq\o(AC1,\s\up8(→))的有()A．(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))B．(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))C．(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))D．(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))ABCD[對于A，(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→)