新高考數(shù)學專題復(fù)習專題18情境問題的探究之函數(shù)部分專題練習(學生版+解析)

專題18情境問題的探究之函數(shù)部分一、題型選講題型一、指對數(shù)模型例1、【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應(yīng)用于流行病學領(lǐng)城．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當I()=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69例2、【2020年新高考全國Ⅰ卷】基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天題型二、分段函數(shù)模型黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個特殊函數(shù)，由德國數(shù)學家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，黎曼函數(shù)定義在上，其定義為：，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，則______.例4、電影《流浪地球》中反復(fù)出現(xiàn)這樣的人工語音：“道路千萬條，安全第一條，行車不規(guī)范，親人兩行淚”成為網(wǎng)絡(luò)熱句．講的是“開車不喝酒，喝酒不開車”．2019年，公安部交通管理局下發(fā)《關(guān)于治理酒駕醉駕違法犯罪行為的指導(dǎo)意見》，對綜合治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規(guī)定，根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局下發(fā)的標準，車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閱值見表。經(jīng)過反復(fù)試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點圖”見圖，且圖表所示的函數(shù)模型．假設(shè)該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過n(n)小時才可以駕車，則n的值為（參考數(shù)據(jù)：ln15≈2.71，ln30≈3.40）駕駛行為類別閣值（mg/100mL）飲酒駕車[20，80)醉酒駕車[80，)車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閣值A(chǔ)．5B．6C．7D．8題型三、函數(shù)與不等式結(jié)合例5、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的P點的距離是2km，從P點沿海岸正東12km處有一個城鎮(zhèn).假設(shè)一個人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度為，時間t（單位：h）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸處距P點的距離.設(shè)，則（）A．函數(shù)為減函數(shù) B．C．當時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間最少 D．當時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間不超過3h例6、【2019年高考北京理數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．例7、【2019年高考全國I卷理數(shù)】古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm二、達標訓練1、【2019年高考北京理數(shù)】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10?10.12、【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05．志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名3、（2020?香坊區(qū)校級三模）1614年納皮爾在研究天文學的過程中為了簡化計算而發(fā)明對數(shù)；1637年笛卡爾開始使用指數(shù)運算；1770年，歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，稱為歷史上的珍聞．若，lg2＝0.3010，則x的值約為（）A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.6694、一種藥在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危險．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（）小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，答案采取四舍五入精確到）A.2.3小時 B.3.5小時 C.5.6小時 D.8.8小時5、函數(shù)概念最早是在17世紀由德國數(shù)學家萊布尼茨提出的，后又經(jīng)歷了貝努利、歐拉等人的改譯．1821年法國數(shù)學家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著一定的關(guān)系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他的變數(shù)叫做函數(shù)．德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴謹．后人在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：“一般地，設(shè)A，B是兩個非

空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù)”，因此，下列對應(yīng)法則f滿足函數(shù)定義的有A．B．C．D．6、歷史上第一個給出函數(shù)一般定義的是19世紀德國數(shù)學家狄利克雷(Dirichlet)，當時數(shù)學家們處理的大部分數(shù)學對象都沒有完全的嚴格的定義，數(shù)學家們習慣借助于直覺和想象來描述數(shù)學對象，狄利克雷在1829年給出了著名函數(shù)：（其中Q為有理數(shù)集，QC為無理數(shù)集），狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學家們對數(shù)學的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學的一些“人造”特征開始展現(xiàn)出來，這種思想也標志著數(shù)學從研究“算”轉(zhuǎn)變到了研究“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”．一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為：（其中a，bR且a≠b），以下對說法正確的是A．當a＞b時，的值域為[b，a]；當a＜b時，的值域為[a，b]B．任意非零有理數(shù)均是的周期，但任何無理數(shù)均不是的周期C．為偶函數(shù)D．在實數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性7、（2020屆山東省濟寧市高三上期末）年月，中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產(chǎn)名錄，標志著中華五千年文明史得到國際社會認可．良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實證了中華五千年文明史．考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律．已知樣本中碳的質(zhì)量隨時間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳原有的質(zhì)量），則經(jīng)過年后，碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼腳_______；經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳的質(zhì)量是原來的至，據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約在________年到年之間．（參考數(shù)據(jù)：）8、【2018年高考浙江】我國古代數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為，，，則當時，___________，___________．9、（2020·浙江溫州中學3月高考模擬）《九章算術(shù)》中記載了“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價各幾何？”.其意思是“若干個人合買一頭豬，若每人出100，則會剩下100；若每人出90，則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少？”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價，則___，___.專題18情境問題的探究之函數(shù)部分一、題型選講題型一、指對數(shù)模型例1、【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應(yīng)用于流行病學領(lǐng)城．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當I()=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，則，所以，，解得.故選：C．例2、【2020年新高考全國Ⅰ卷】基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】因為，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B．題型二、分段函數(shù)模型黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個特殊函數(shù)，由德國數(shù)學家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，黎曼函數(shù)定義在上，其定義為：，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，則______.【答案】【解析】由知：關(guān)于對稱，又為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱為周期函數(shù)，周期例4、電影《流浪地球》中反復(fù)出現(xiàn)這樣的人工語音：“道路千萬條，安全第一條，行車不規(guī)范，親人兩行淚”成為網(wǎng)絡(luò)熱句．講的是“開車不喝酒，喝酒不開車”．2019年，公安部交通管理局下發(fā)《關(guān)于治理酒駕醉駕違法犯罪行為的指導(dǎo)意見》，對綜合治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規(guī)定，根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局下發(fā)的標準，車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閱值見表。經(jīng)過反復(fù)試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點圖”見圖，且圖表所示的函數(shù)模型．假設(shè)該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過n(n)小時才可以駕車，則n的值為（參考數(shù)據(jù)：ln15≈2.71，ln30≈3.40）駕駛行為類別閣值（mg/100mL）飲酒駕車[20，80)醉酒駕車[80，)車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閣值A(chǔ)．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】當酒精含量低于20時才可以開車，故結(jié)合分段函數(shù)建立不等式：取整數(shù)故為6小時。題型三、函數(shù)與不等式結(jié)合例5、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的P點的距離是2km，從P點沿海岸正東12km處有一個城鎮(zhèn).假設(shè)一個人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度為，時間t（單位：h）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸處距P點的距離.設(shè)，則（）A．函數(shù)為減函數(shù) B．C．當時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間最少 D．當時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間不超過3h【答案】AC【解析】A.∵，∴，由題意，在上是減函數(shù)，A正確．B.，整理得，B錯誤；C.由A、B得，即時取等號，由，解得，C正確；D.時，，，，D錯．故選：AC.例6、【2019年高考北京理數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．【答案】①130；②15【解析】①時，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付元.②設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為元，當元時，李明得到的金額為，符合要求；當元時，有恒成立，即，因為，所以的最大值為.綜上，①130；②15.【名師點睛】本題主要考查函數(shù)的最值，不等式的性質(zhì)及恒成立，數(shù)學的應(yīng)用意識，數(shù)學式子變形與運算求解能力.以實際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學生身邊的數(shù)學，考查學生的數(shù)學建模素養(yǎng).例7、【2019年高考全國I卷理數(shù)】古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【解析】方法一：如下圖所示.依題意可知：，腿長為105cm得，即，，，所以AD>169.89.②頭頂至脖子下端長度為26cm，即AB<26，，，，，所以.綜上，.故選B.方法二：設(shè)人體脖子下端至肚臍的長為xcm，肚臍至腿根的長為ycm，則，得．又其腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故選B．二、達標訓練1、【2019年高考北京理數(shù)】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10?10.1【答案】A【解析】兩顆星的星等與亮度滿足，令，則從而.故選A.2、【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05．志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，設(shè)需要志愿者x名，，,故需要志愿者名.故選：B3、（2020?香坊區(qū)校級三模）1614年納皮爾在研究天文學的過程中為了簡化計算而發(fā)明對數(shù)；1637年笛卡爾開始使用指數(shù)運算；1770年，歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，稱為歷史上的珍聞．若，lg2＝0.3010，則x的值約為（）A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669【答案】．A【解析】：由，lg2＝0.3010，所以x＝log2＝＝＝＝≈1.322；即x的值約為1.322．故選：A．4、一種藥在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危險．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（）小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，答案采取四舍五入精確到）A.2.3小時 B.3.5小時 C.5.6小時 D.8.8小時【答案】A【解析】設(shè)從現(xiàn)在起經(jīng)過小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．則，，，，．故選：A．5、函數(shù)概念最早是在17世紀由德國數(shù)學家萊布尼茨提出的，后又經(jīng)歷了貝努利、歐拉等人的改譯．1821年法國數(shù)學家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著一定的關(guān)系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他的變數(shù)叫做函數(shù)．德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴謹．后人在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：“一般地，設(shè)A，B是兩個非

空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù)”，因此，下列對應(yīng)法則f滿足函數(shù)定義的有A．B．C．D．【答案】AD【解析】對于A，可得是函數(shù)；對于B不唯一不是函數(shù)對于C不是函數(shù)對于D運用換元法可得是函數(shù)，故選AD6、歷史上第一個給出函數(shù)一般定義的是19世紀德國數(shù)學家狄利克雷(Dirichlet)，當時數(shù)學家們處理的大部分數(shù)學對象都沒有完全的嚴格的定義，數(shù)學家們習慣借助于直覺和想象來描述數(shù)學對象，狄利克雷在1829年給出了著名函數(shù)：（其中Q為有理數(shù)集，QC為無理數(shù)集），狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學家們對數(shù)學的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學的一些“人造”特征開始展現(xiàn)出來，這種思想也標志著數(shù)學從研究“算”轉(zhuǎn)變到了研究“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”．一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為：（其中a，bR且a≠b），以下對說法正確的是A．當a＞b時，的值域為[b，a]；當a＜b時，