妙用函數(shù)圖象與性質(zhì)巧解10類題型T

妙用函數(shù)圖象與性質(zhì)，巧解10類題型1．與函數(shù)周期性有關(guān)的5條結(jié)論(1)若f(x＋T)＝f(x)，則T是f(x)的一個(gè)周期．(2)若f(x＋T)＝eq\f(1,f（x）)，則2T是f(x)的一個(gè)周期．(3)若f(x＋T)＝－eq\f(1,f（x）)，則2T是f(x)的一個(gè)周期．(4)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，則y＝f(x)是以2(b－a)為周期的周期函數(shù)．(5)若對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都有f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為T(mén)＝2|a－b|.2．與函數(shù)對(duì)稱性有關(guān)的3條結(jié)論(1)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱?f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)＝f(b＋a－x)；特例：函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對(duì)稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)；函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝0對(duì)稱?f(x)＝f(－x)(即為偶函數(shù))．(2)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；特例：函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱?f(x)＋f(－x)＝0(即為奇函數(shù))．(3)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；y＝f(x＋a)是奇函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于(a，0)對(duì)稱．3判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法數(shù)形結(jié)合法、結(jié)論法(增＋增得增、減＋減得減及復(fù)合函數(shù)的同增異減)、定義法和導(dǎo)數(shù)法．4判斷函數(shù)是奇(偶)函數(shù)的關(guān)注點(diǎn)必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，均有f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))，而不能說(shuō)存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)(f(－x0)＝f(x0))．5函數(shù)3個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用①奇偶性：具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問(wèn)題時(shí)可轉(zhuǎn)化為只研究部分(一半)區(qū)間上．尤其注意偶函數(shù)f(x)性質(zhì)：f(|x|)＝f(x)②單調(diào)性：可以比較大小，求函數(shù)最值，解不等式，證明方程根的唯一性．③周期性：利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解．一．函數(shù)單調(diào)性靈活應(yīng)用已知是定義在上的函數(shù)．對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，都有，記，，，關(guān)系滿足滿足（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則，由得，得，令即得，則得函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)當(dāng)時(shí)，同理可得函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)則因?yàn)?，，，即得所以，即，選B函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)與在上有相同的單調(diào)性，則不等式解集為（）A． B． C． D．【解析】令，則，則是奇函數(shù)，則由為偶函數(shù)知，為奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增所以，即所以，解得，選D二．單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)綜合（構(gòu)造函數(shù)）設(shè)在上可導(dǎo)的函數(shù)滿足并且在上實(shí)數(shù)滿足則范圍是（）A．B．C．D．【解析】設(shè)，則故在區(qū)間上單調(diào)遞減.，故為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增故原不等式等價(jià)于，即平方解得選A函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為()A． B．C． D．【解析】由題意，設(shè)函數(shù)，則，因?yàn)槭嵌x在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，所以，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，又由，即，即，所以，解得，即不等式的解集為，選D三．函數(shù)奇偶性應(yīng)用技巧設(shè)是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是()．A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】由為奇函數(shù)，則，可得，即，又，即，可變?yōu)?，解得．設(shè)函數(shù)f(x)=ex+e-xA．(-∞,1) B．(1,+∞)C．-13,1【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f則f即函數(shù)fx又f'x=ex即函數(shù)fx在[0,+∞)f解得x<-13即x的取值范圍為-∞,-選D

四．函數(shù)奇偶性與導(dǎo)數(shù)綜合已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或【解析】構(gòu)造函數(shù)，則由題可知，所以在時(shí)為增函數(shù)；由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；又，即即又為開(kāi)口向上的偶函數(shù)所以，解得或，選D

五．函數(shù)的周期性設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足，若，則（）A． B． C． D．【解析】由題意定義在R上的函數(shù)滿足，則有，聯(lián)立解得，則函數(shù)為周期函數(shù)且周期為4，則有；又因，則由解得，所以可得，選A已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，對(duì)于有下列幾種描述：①是周期函數(shù)；②是它的一條對(duì)稱軸；③是它圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；④當(dāng)時(shí)，它一定取最大值．正確個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由題意函數(shù)為偶函數(shù)可得：(i)，則可得是函數(shù)的一條對(duì)稱軸；由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)可得：(ii)；則由(i)和(ii)可得：，所以，故得函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為2，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為；由可得，則可得點(diǎn)為函數(shù)的對(duì)稱中心；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)性不確定，所以不一定為最大值，則由上述分析可得①和③正確，②和④不正確，即正確的個(gè)數(shù)為2，選B

函數(shù)滿足，且，則（）A． B． C． D．【解析】由題意，取，則，即①，所以②，聯(lián)立①②得，，所以，所以函數(shù)的周期為，由，所以.選C六．奇偶性與周期性綜合已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)，時(shí)，，則（）.A．﹣2 B．2 C． D．【解析】依題意，函數(shù)的周期為3，故，又，選A．

定義在上的奇函數(shù)滿足，若，，則（）A． B．0 C．1 D．2【解析】由已知為奇函數(shù)，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，，，所以，，，.所以，又，所以.選C

已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于x的不等式在上有且只有300個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由題知偶函數(shù)滿足，所以，所以函數(shù)的周期為，且關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，也是最大值，且，，，，，所以，由于上含有個(gè)周期，且在每個(gè)周期內(nèi)都是軸對(duì)稱圖形，所以不等式在上有且只有300個(gè)整數(shù)解，等價(jià)于不等式在上有且只有3個(gè)整數(shù)解，所以只需在上有且只有3個(gè)整數(shù)解即可，易知這三個(gè)整數(shù)解分別為,,，有，選D.

七．函數(shù)圖象與零點(diǎn)已知函數(shù)的圖象與的圖象在有個(gè)交點(diǎn)，分別記作則（）A．B．C．D．【解析】，由是奇函數(shù)，可得圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的圖象與的圖象在有個(gè)交點(diǎn)，其中個(gè)為，其余對(duì)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，所以，選C函數(shù)滿足，，且與的圖像交點(diǎn)為，，…，，則的值為()A．20 B．24 C．36 D．40【解析】由于滿足，當(dāng)時(shí)，，所以關(guān)于中心對(duì)稱.由于，所以關(guān)于中心對(duì)稱.故和都關(guān)于中心對(duì)稱.所以與的圖像交點(diǎn)，，…，，兩兩關(guān)于對(duì)稱.所以，選D八．函數(shù)的對(duì)稱性對(duì)于函數(shù)，有下列結(jié)論：①在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④【解析】由得，令得當(dāng)時(shí)，，原函數(shù)為增，當(dāng)時(shí)，，原函數(shù)為減，故②正確因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故③正確，選C函數(shù)在的圖象大致為（）A． B．C． D．【解析】由已知，則函數(shù)在上是奇函數(shù)，故排除B；又，故排除CD選A.設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】作出的圖象如下圖：當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的圖象可知或，解得：，選C已知函數(shù)，則y＝f（x）的圖象大致為（）A． B．C． D．【解析】令，則，再取，則，顯然，故排除選項(xiàng)B、C再取時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，故排除D選A函數(shù)的圖象大致為A． B．C． D．【解析】函數(shù)y=|x|sin2x在[﹣π，π]是奇函數(shù)，故排除B，x＞0時(shí)，y=xsin2x，x∈（0，）時(shí)，y＞0，x∈（，π）時(shí)，y＜0，結(jié)合對(duì)稱性，故選C．九．函數(shù)性質(zhì)綜合已知函數(shù)f(x)=asinx-bcosy=f(πA．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱B．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)C．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(3π2，【解析】由題意得y=f(x)周期為2π,對(duì)稱軸為x=π對(duì)稱中心為(-π4+kπ,0)(k∈Z);則y=f(對(duì)稱軸為π4-x=π因此x=0為y=f(π4-x)其一個(gè)對(duì)稱中心為(選B.

，分別是定義上偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為【解析】已知，①且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則，得：，②①+②得：，由于關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，由于有唯一零點(diǎn)，則必有，，即：，解得：或已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為【解析】由題意構(gòu)造函數(shù)，則，定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足在上恒成立，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；又為偶函數(shù)，則函數(shù)，即關(guān)于對(duì)稱，，則，由于不等式的解集等價(jià)于的解集，根據(jù)函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則

十．函數(shù)性質(zhì)與參數(shù)范圍設(shè)函數(shù),若且,則的取值范圍為A． B． C． D．【解析】設(shè)這個(gè)函數(shù)在的圖象與軸的交點(diǎn)分別為，那么有最大值在時(shí)取得，解方程，解得或（舍去），因?yàn)?，且，此時(shí)，那么有，即，即，設(shè)，所以，設(shè)，則，且，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)最小值為