數(shù)學(xué)教案：線性回歸方程第二課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時導(dǎo)入新課在上一節(jié)課中問題1：將汽油以均勻的速度注入桶里，注入的時間t與注入的油量y如下表：從表里數(shù)據(jù)得出油量y與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2x(x≥0）。并且在直角坐標(biāo)系里很容易作出它們的圖象,我們知道各點(diǎn)在同一條直線上.再看下面的問題（即上一節(jié)課的練習(xí)2）:某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：請大家動手作出熱茶銷售量與氣溫的坐標(biāo)圖，說說它的特點(diǎn)，能得到什么規(guī)律？分析：該圖中所有點(diǎn)不像第一個問題中函數(shù)關(guān)系的圖象對應(yīng)的點(diǎn)在同一條直線上，但是分布也是很有規(guī)律,它們散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此，可以得到規(guī)律是隨著氣溫的增加，熱茶賣出的杯數(shù)在減少。但究竟以什么樣的方式在減少呢？這就是今天要繼續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容—-線性回歸方程。推進(jìn)新課新知探究以橫坐標(biāo)x表示氣溫，縱坐標(biāo)y表示熱茶銷量，建立平面直角坐標(biāo)系，將表中數(shù)據(jù)構(gòu)成的6個數(shù)對所表示的點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出，得到上圖，今后我們稱這樣的圖為散點(diǎn)圖。1.散點(diǎn)圖（scatterplot)：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖.散點(diǎn)圖形象地反映了各對數(shù)據(jù)的密切程度.粗略地看，散點(diǎn)分布具有一定的規(guī)律.在本圖中這些點(diǎn)散布的位置也是值得注意的，它們散布在從左上角到右下角的區(qū)域，對于這種相關(guān)關(guān)系，我們稱它為負(fù)相關(guān)。如果點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域.對于這種相關(guān)關(guān)系，我們稱它為正相關(guān)。請學(xué)生舉例:兩個變量之間是正相關(guān)的關(guān)系.例如：某小賣部賣的冷飲銷售量與氣溫之間的關(guān)系.再看上節(jié)課的練習(xí)1.在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：如果作出散點(diǎn)圖如右圖,它是散布在從左下角到右上角的區(qū)域,也是正相關(guān)的關(guān)系?；氐浇鉄岵桎N售量與氣溫之間的關(guān)系的散點(diǎn)圖來，從圖中可以得到規(guī)律是隨著氣溫的增加，熱飲的銷售量在減少,究竟以什么樣的方式減少呢？分析：分布情況是在從左上角到右下角的區(qū)域的某條直線附近擺動。能畫出這條直線嗎？請大家一起想一想,該怎么辦，才能作出這條直線呢?請大家設(shè)計方案，可以互相討論。方案1：采用測量的方法：先畫一條直線，測量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動直線，達(dá)到一個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到回歸方程。分析:這個想法很好,但是操作起來有一定難度，因?yàn)槲覀儺嫹蠗l件的直線不能直接畫出.還有什么新的辦法能解決這個問題?方案2：在圖中選取兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個數(shù)基本相同.分析:畫直線時使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個數(shù)基本相同的直線能畫無數(shù)多條，這樣符合條件的直線就不唯一了，再仔細(xì)考慮一下，我們究竟應(yīng)當(dāng)怎樣作出.方案3:在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn),確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距，將這兩個平均數(shù)作為回歸直線方程的斜率和截距.分析：如果有6個散點(diǎn),按照方案3的辦法，將要作15條直線，這樣計算15條直線的斜率和截距分別求出的計算量是一個很大的工程，由此可見,該方案不具有可行性,那么怎樣才能作出“從整體上看各點(diǎn)與此直線距離最小”的直線呢？用方程=bx+a的直線擬合散點(diǎn)圖中的點(diǎn)，應(yīng)使得該直線與散點(diǎn)圖中的點(diǎn)最接近，那么，怎樣衡量=bx+a與圖中的點(diǎn)最接近程度呢？我們將表中給出的自變量x的六個值代入直線方程，得到相應(yīng)的六個的值:26b+a，18b+a，13b+a,10b+a,4b+a，—b+a.這六個數(shù)值與表中相應(yīng)的六個的實(shí)際值應(yīng)該越接近越好。所以，我們用類似于估計總體平均數(shù)時的思想,考慮離差平方和Q（a,b）=(26b+a—20)2+（18b+a-24)2+（13b+a—34）2+(10b+a—38)2+(4b+a—50）2+（—b+a—64)2=1286b2+6a2+140ab-3280b—460a+10172。Q(a,b）是直線=bx+a與各個散點(diǎn)在垂直方向（縱軸方向）上的距離的平方和，可以用來衡量直線=bx+a與圖中6個點(diǎn)的接近程度，所以，設(shè)法取a，b的值，使Q(a,b)達(dá)到最小值.先把a(bǔ)看作是常數(shù)，那么Q是關(guān)于b的二次函數(shù)。用配方法可得，當(dāng)b=—時，Q取得最小值.同理，把b看作是常數(shù)，那么Q是關(guān)于a的二次函數(shù).用配方法可得,當(dāng)a=—時,Q取得最小值.因此,當(dāng)b=—,a=-時，Q取得最小值，由此解得b≈-1。6477,a≈57.5568。所以所求的直線方程為=-1。6477x+57。5568。像這樣能用直線方程=bx+a近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系。人們經(jīng)過長期的實(shí)踐與研究,已經(jīng)得出了從數(shù)量關(guān)系的角度來計算回歸直線方程的斜率與截距的一般公式為：，從而得到回歸直線方程為=bx+a。下面我們一起來探究一下這個公式。設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù):（x1，y1）,（x2，y2),…,（xn,yn)，設(shè)所求的回歸直線方程為=bx+a,其中a，b是待定的系數(shù)，當(dāng)變量x取x1，x2，…，xn時，可以得到=bxi+a(i=1，2，…,n).它與實(shí)際收集到的yi之間的偏差是yi—=yi—(bxi+a）（i=1，2,3,4,…,n).這樣用這n個偏差的和來刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的.但是，由于yi-=yi—(bxi+a）（i=1，2，3，4，…，n）的值可正可負(fù)，可以相互抵消，而且若取其絕對值,考慮用=｜yi-Yi｜來代替,但是，由于它含有絕對值運(yùn)算不太方便,因此我們可以模仿方差的計算方法取其偏差的平方最小值.表示n個點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度。即Q=(y1-bx1-a）2+（y2—bx2—a）2+…+（yn-bxn-a）2來刻畫n個點(diǎn)與回歸直線在整體上的偏差。這樣，問題,就歸結(jié)為:當(dāng)a，b取什么值時,Q的取值最小,即總體偏差最?。可鲜鍪阶诱归_后，是一個關(guān)于a、b的二次三項(xiàng)式,應(yīng)用配方法,可求出使Q為最小值時的a、b的值.即Q=na2+=1xi2b2+=1yi2-2=1bxiyi+2=1abxi-2=1ayi。(*)上述式子展開后，是一個關(guān)于a、b的二次三項(xiàng)式，我們可以把（*)式看成以a為變量的二次三項(xiàng)式，應(yīng)用配方法可得，當(dāng)(1)時,Q取得最大值；因?yàn)?1）式中還含有變量a，我們無法求出b的數(shù)值，那么我們?nèi)绾吻蟪鲂甭蔮與截距a的一般公式為：從而得到回歸直線方程為=bx+a呢？我們還可以把(*)式看成以b為變量的二次三項(xiàng)式，應(yīng)用配方法可得，當(dāng)a=（2）時，Q取得最大值。觀察(1）、（2）兩個式子,因?yàn)?1)、（2）兩個式子中都是含有a、b的二元一次方程,我們可以由（1)(2)解得：從而得到相應(yīng)的直線叫做回歸直線=bx+a,對兩個變量所進(jìn)行的上述統(tǒng)計分析叫做回歸分析。這種求出斜率b與截距a的方法叫做最小平方法(methodofleastsquare）（又稱最小二乘法）。說明：一元線性回歸分析也是研究兩個變量的線性相關(guān)性，但比相關(guān)分析的應(yīng)用更為廣泛，它不僅可以說明兩個變量是否一起變化，還可以計算出預(yù)測方程以預(yù)計這兩個變量是如何一起變化的。預(yù)測方程的形式為：=bx+a，通常叫作回歸方程.y叫做因變量，x叫做自變量，其中a是常數(shù)項(xiàng),b叫一元回歸系數(shù)。1.對回歸直線方程只要求會運(yùn)用它進(jìn)行具體計算a、b，求出回歸直線方程即可.不要求掌握回歸直線方程的推導(dǎo)過程。2。求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到,只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。因此，對一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析時，應(yīng)先看其散點(diǎn)圖是否成線性。3。求回歸直線方程，關(guān)鍵在于正確地求出系數(shù)a、b,由于求a、b的計算量較大，計算時仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行，避免因計算產(chǎn)生失誤。4.回歸直線方程在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用回歸直線方程可以把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題，把“無序”變?yōu)椤坝行?，并對情況進(jìn)行估測、補(bǔ)充.因此,學(xué)過回歸直線方程以后，應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用回歸直線方程解決相關(guān)實(shí)際問題的意識.應(yīng)用示例例1在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體脂肪含量和年齡之間有怎樣的關(guān)系？分析:上節(jié)課已給出此問題,并作了回答但沒有說明理由，這次補(bǔ)充完整。解：觀察表中的數(shù)據(jù)，大體上來看，隨著年齡的增加，人體中脂肪的百分比也在增加。為了確定這一關(guān)系的細(xì)節(jié),我們需要進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。我們假設(shè)人的年齡影響體內(nèi)脂肪含量，于是,按照習(xí)慣，以x軸表示年齡，以y軸表示脂肪含量，得到相應(yīng)的散點(diǎn)圖.從散點(diǎn)圖我們可以看出,年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高，圖中點(diǎn)的趨勢表明兩個變量之間確實(shí)存在一定的關(guān)系，這個圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出的結(jié)論。經(jīng)計算可得到回歸直線的回歸方程為=0.577x-0。448。點(diǎn)評：使前后產(chǎn)生較強(qiáng)的聯(lián)系性，使學(xué)生意識到學(xué)數(shù)學(xué)等于師生在共同編導(dǎo)連續(xù)劇,每節(jié)課都應(yīng)參與，不然會掉隊(duì).例2下表為某地近幾年機(jī)動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料，請判斷機(jī)動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,如果具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程;如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，請說明理由。分析:一般地，用回歸直線進(jìn)行擬合的一般步驟為：(1）作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近；(2）如果散點(diǎn)在一條直線附近，用公式求出a,b。解:在直角坐標(biāo)系中作出所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,并寫出線性回歸方程。從散點(diǎn)圖我們可以直觀判斷散點(diǎn)在某條直線附近，這說明兩個變量是相關(guān)關(guān)系。計算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和為:=95+110+112+120+129+135+150+180=1031，=6。2+7。5+7.7+8。5+8。7+9.8+10。2+13=71.6，2=137835，xiyi=9611。7，代入公式（＊）計算得b≈0。0774,a=—1.0241，所以,所求的線性回歸方程為=0。774x—1.0241.點(diǎn)評：要知道：在并不具有相關(guān)關(guān)系的情況下，對應(yīng)的線性回歸方程雖然也可以求出,但它并無實(shí)際意義,同時也要注意，在散點(diǎn)圖中顯示線性相關(guān)的一組數(shù)據(jù)不一定具有相關(guān)關(guān)系。這部分內(nèi)容會在選修1—2中再次有所體現(xiàn).例3一般地，（x，y）的n組觀察數(shù)據(jù)：若它的回歸直線方程為=a+bx，則直線=a+bx恒過的定點(diǎn)是什么?分析：如果沒有前面的推導(dǎo)背景，此題有點(diǎn)困難,但由于黑板上的板書還在,所以有學(xué)生能發(fā)現(xiàn)結(jié)論.解:由線性回歸方程的推導(dǎo)，可知方程的系數(shù)a，b滿足條件:，a=—b.由此不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)(x，y）的坐標(biāo)滿足直線=a+bx的方程。所以,由點(diǎn)與直線的位置關(guān)系可得點(diǎn)（,）在直線=a+bx上，即直線=a+bx恒過點(diǎn)(，）。這里=，=.點(diǎn)評:剛推導(dǎo)過線性回歸方程，所以此題比較適合趁熱打鐵，可提前做例1；此結(jié)論在以后的解題中經(jīng)常出現(xiàn)，因此可以讓學(xué)生記憶。例4工人工資（元)以勞動生產(chǎn)率（千元）變化的回歸方程=50+80x，下列判斷正確的是()A。勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為130元B.勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資大約提高80元C.勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資提高大約130元D.當(dāng)月工資250元時，勞動生產(chǎn)率為2000元分析：滿足回歸方程是指:工人工資（元）以勞動生產(chǎn)率（千元）之間具有相關(guān)關(guān)系，但不是確定的函數(shù)關(guān)系,所以選項(xiàng)A用的肯定語氣是錯的，其他的選項(xiàng)通過函數(shù)關(guān)系式的代入發(fā)現(xiàn),只有選項(xiàng)B是正確的。答案：B點(diǎn)評:體會回歸方程的應(yīng)用.知能訓(xùn)練1.線性回歸方程=kx+a所表示的直線使得(）A。散點(diǎn)圖中的點(diǎn)到直線的距離之和最小B。散點(diǎn)圖中的點(diǎn)到直線的距離的平方和最小C。散點(diǎn)圖中的點(diǎn)與直線相同橫坐標(biāo)處對應(yīng)的縱坐標(biāo)的距離之和最小D。散點(diǎn)圖中的點(diǎn)與直線相同橫坐標(biāo)處對應(yīng)的縱坐標(biāo)的距離的平方和最小2。如果有一組成對數(shù)據(jù),求出回歸直線的方程是y=2.0x+10，那么（）A.這條回歸直線總是有意義的B。這條回歸直線總是可以用來預(yù)測y值C。在散點(diǎn)圖中的點(diǎn)都在這條直線附近時，這條回歸直線才有意義D.x=10時，y的預(yù)測值為20,說明在x=10時，y的值一定等于20解答：1。D2。C課堂小結(jié)（讓學(xué)生進(jìn)行小結(jié)，談?wù)勼w會,幫助他們回顧反思、歸納概括.）1.變量間相關(guān)關(guān)系的散點(diǎn)圖以及正相關(guān)和負(fù)相關(guān);2。如何利用“最小二乘法”思想求直線的回歸方程；3.學(xué)會用回歸思想考察現(xiàn)實(shí)生活中變量之間的相關(guān)關(guān)系。作業(yè)課本習(xí)題2。41、2、3.設(shè)計感想通過對氣溫和熱飲銷量的關(guān)系散點(diǎn)圖的分析,引入描述兩個變量之間關(guān)系的線性回歸方程（模型），使學(xué)生通過探索用多種方法確定線性回歸直線，學(xué)會類比尋求新的突破方法，體會最小二乘法的思想，掌握計算回歸方程的斜率與截距的方法,求出回歸直線方程.通過典型的求解，強(qiáng)化回歸思想的建立，理解回歸直線與觀測數(shù)據(jù)的關(guān)系.通過引導(dǎo)學(xué)生感受生活中實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，學(xué)會類比尋求新的突