數(shù)學(xué)教案：平均數(shù)及其估計(jì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3總體特征數(shù)的估計(jì)2.3。1平均數(shù)及其估計(jì)整體設(shè)計(jì)教材分析教科書(shū)中著重介紹了利用頻率分布直方圖估計(jì)總體眾數(shù),總體中位數(shù)和總體平均數(shù),為我們提供了估計(jì)總體分布數(shù)字特征的新思路.在教學(xué)過(guò)程中,結(jié)合實(shí)際問(wèn)題要著重分析引導(dǎo)學(xué)生注意對(duì)樣本平均數(shù)概念的理解.與眾數(shù)和中位數(shù)相比，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)的更多信息。如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值.在實(shí)際應(yīng)用中如果同時(shí)知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息。三維目標(biāo)1。通過(guò)具體事例體會(huì)平均數(shù)的意義,掌握平均數(shù)等數(shù)據(jù)代表的概念，能根據(jù)所給信息求出相應(yīng)的數(shù)據(jù)代表.2。能用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù),并結(jié)合實(shí)際,對(duì)問(wèn)題作出合理判斷,制定解決問(wèn)題的有效方法。3.通過(guò)觀察事例和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,讓學(xué)生感知樣本的特征數(shù)據(jù)，引出概念，并在這一基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)客觀世界，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系,感受數(shù)學(xué)的整體性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。4.通過(guò)對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)的搜集、整理、分析、判斷，培養(yǎng)學(xué)生“實(shí)事求是”的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)。5初步體會(huì)、領(lǐng)悟“用數(shù)據(jù)說(shuō)話"的統(tǒng)計(jì)思想方法。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1。對(duì)樣本平均數(shù)的意義的理解，及如何用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算其平均值.2。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題在樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)據(jù)特征并作出合理解釋，估計(jì)總體的基本數(shù)字特征.教學(xué)難點(diǎn)：體會(huì)樣本數(shù)字特征的隨機(jī)性.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)思路一：(實(shí)例導(dǎo)入)某校高一（1)班同學(xué)在老師的布置下,用單擺進(jìn)行測(cè)試，以檢查重力加速度.全班同學(xué)兩人一組,在相同條件下進(jìn)行測(cè)試，得到下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（單位：m/s2）：?jiǎn)栴}：怎樣利用這些數(shù)據(jù)對(duì)重力加速度進(jìn)行估計(jì)？設(shè)計(jì)思路二：（情境導(dǎo)入）根據(jù)課本第2.2節(jié)開(kāi)頭的數(shù)據(jù)，還可以求出北京地區(qū)近年來(lái)7月25日至8月10日的日最高氣溫的樣本平均值為34。02，我們可將其作為北京地區(qū)近年來(lái)7月25日至8月10日的日最高氣溫平均值的估計(jì)。推進(jìn)新課新知探究我們常用算術(shù)平均數(shù)〔其中ai(i=1,2,…，n)為n個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)〕作為重力加速度的“最理想"的近似值，它的依據(jù)是什么呢？處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則是使這個(gè)近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的離差最小.設(shè)這個(gè)近似值為x，那么它與n個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)ai（i=1，2，…，n)的離差分別為x－a1，x－a2,x－a3，…，x－an.由于上述離差有正有負(fù)，故不宜直接相加.可以考慮離差的平方和，即（x-a1）2+（x-a2)2+…+(x-an）2。因?yàn)?x－a1）2+(x－a2）2+…+（x－an)2=nx2－2(a1+a2+…+an)x+a12+a22+…+an2,所以當(dāng)x=時(shí)，離差的平方和最小,故可用作為表示這個(gè)物理量的理想近似值。若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2，…,xn，則稱=（i=1，2，…,n)為這組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)（average）或均值(mean）.當(dāng)所給數(shù)據(jù)中沒(méi)有重復(fù)數(shù)據(jù)時(shí)，我們一般用此公式來(lái)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。這里=（x1+x2+…+xn）。平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，我們常用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的水平。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的重復(fù)數(shù)據(jù)過(guò)多時(shí),若用上面過(guò)程求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，其過(guò)程就會(huì)顯得比較復(fù)雜和冗長(zhǎng)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,我們引入下面這種計(jì)算平均數(shù)的方法：一般地,若取值為x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2,…,pn,則其平均數(shù)為x1p1+x2p2+…＋xnpn.這一公式實(shí)質(zhì)上就是公式的一個(gè)變形,它主要用于含有重復(fù)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)組求平均數(shù).應(yīng)用示例例1如果a,b,c,d的平均值為10，則數(shù)據(jù)2a+1,2b+1，2c+1，2d+1的平均值為_(kāi)_______________.分析:根據(jù)平均數(shù)的定義可求得.解:因?yàn)?，所以a+b+c+d=40,又×40+1=21。答案：21點(diǎn)評(píng)：由此可推得平均數(shù)的一些性質(zhì):數(shù)據(jù)x1,x2，…,xn的平均數(shù)為。（1)數(shù)據(jù)x1－a，x2－a，…，xn－a的平均數(shù)為－a。（2）數(shù)據(jù)kx1,kx2，…，kxn的平均數(shù)為k.（3）數(shù)據(jù)kx1+b，kx2+b，…，kxn+b的平均數(shù)為k+b。例2某校高一年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班級(jí)（均為50人）的語(yǔ)文測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢偡郑?50分),試確定這次考試中,哪個(gè)班的語(yǔ)文成績(jī)更好一些.甲班分析：我們可用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)衡量這組數(shù)據(jù)的集中水平，因此，分別求出甲、乙兩個(gè)班的平均分即可.解：用計(jì)算器分別求出甲班的平均分為101。1,乙班的平均分為105。4，故這次考試乙班成績(jī)要好于甲班。點(diǎn)評(píng):此例是應(yīng)用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的第一個(gè)實(shí)例（前面的內(nèi)容沒(méi)有充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在統(tǒng)計(jì)分析中的作用)，要讓學(xué)生充分感受這一點(diǎn).例3下面是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間抽樣頻率分布表(單位:h）,試估計(jì)該學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間。分析：要確定這100名學(xué)生的平均睡眠時(shí)間，就必須計(jì)算其總睡眠時(shí)間，由于每組中的個(gè)體睡眠時(shí)間只是一個(gè)范圍，可以用各組區(qū)間的組中值近似地表示。解法一：總睡眠時(shí)間約為6.25×5+6。75×17+7.25×33+7。75×37+8。25×6+8.75×2=739（h），故平均睡眠時(shí)間約為7。39h.解法二：求組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和6。25×0。05+6。75×0。17+7.25×0.33+7.75×0。37+8。25×0.06+8.75×0。02=7.39（h)。答：估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間約為7.39h.點(diǎn)評(píng):通過(guò)此例介紹“組中值"的概念,使學(xué)生掌握在連續(xù)型分布問(wèn)題中，用樣本估計(jì)總體的方法.教學(xué)時(shí)要由頻率分布直方圖作密度曲線的方法,啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用“組中值”對(duì)某區(qū)間段進(jìn)行估計(jì)的思路。同時(shí),還應(yīng)讓學(xué)生了解,“組中值”只是一種近似估計(jì)。此例作為連續(xù)型分布的平均水平的估計(jì)的實(shí)例，實(shí)際上是對(duì)用“積分”研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的思想方法的滲透，教師對(duì)此應(yīng)有認(rèn)識(shí)。例4某單位年收入（單位:元）在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之間的職工所占的比分別為10％，15％，20％，25％，15％，10％和5%，試估計(jì)該單位職工的平均年收入.分析:上述百分比就是各組的頻率。解:估計(jì)該單位職工的平均年收入為12500×10％+17500×15%+22500×20％+27500×25％+32500×15％+37500×10%+45000×5%=26125（元).答：估計(jì)該單位人均年收入約為26125元.點(diǎn)評(píng):充分體會(huì)利用第二個(gè)求平均數(shù)公式的簡(jiǎn)便之處.例5個(gè)體戶李某經(jīng)營(yíng)一家快餐店,下面是快餐店所有工作人員8月份的工資表:(1）計(jì)算所有人員8月份的平均工資；（2）計(jì)算出的平均工資能否反映打工人員這個(gè)月收入的一般水平？為什么？(3）去掉李某的工資后，在計(jì)算平均工資時(shí)，這能代表打工人員當(dāng)月的收入水平嗎？（4）根據(jù)以上計(jì)算，以統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)，你對(duì)（3）的結(jié)果有什么看法?分析：此題與生活關(guān)系比較密切，所以由學(xué)生自主討論。解:（1）平均工資=464.3(元）；（2）計(jì)算出的平均工資不能反映打工人員這個(gè)月收入的一般水平，可以看出，打工人員的工資都低于該平均工資，因?yàn)檫@7個(gè)值中有一個(gè)異常值（李某的工資特別高)，所以他的工資對(duì)總的平均工資的影響較大，同時(shí)他也不是打工人員。（3）去掉李某的平均工資(450+350+400+320+320+410）=375(元)。該平均工資能代表一般打工人員當(dāng)月的收入水平.（4）從本題的計(jì)算可見(jiàn)，個(gè)別特殊值對(duì)平均數(shù)有很大的影響，因此在選擇樣本時(shí)，樣本中盡量不用特殊數(shù)據(jù)。點(diǎn)評(píng)：由本例可知選擇樣本要注意一般性。知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)解答：1。留給學(xué)生去探究.2。估計(jì)這批燈泡的平均使用壽命為：500×1％+600×4%+700×8％+800×15％+900×20％+1000×24%+1100×18%+1200×7％+1300×2％+1400×1%=947（h）.3。（102+105+…+98+97）=108.25。4.（1）2(2）2(3）2課堂小結(jié)1。能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（平均數(shù))，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；2.平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊"的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平；3。形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)。作業(yè)課本習(xí)題2.31、2、4、6。設(shè)計(jì)感想此概念學(xué)生比較熟悉,所以需教師點(diǎn)撥之處不多，只要在“處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則是使這個(gè)近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的離差最小.設(shè)這個(gè)