2.1 有理數(shù)與數(shù)軸-2024-2025學年七年級數(shù)學上冊《知識解讀題型專練》（北師大版2024新教材）

第第頁2.1有理數(shù)與數(shù)軸

【考點1正數(shù)與負數(shù)】【考點2相反意義的量表示】【考點3相反意義的應用】【考點4有理數(shù)的概念辨析】【考點5有理數(shù)的分類】

【考點6數(shù)軸的畫法及應用】【考點7用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)】【考點8利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】【考點9數(shù)軸上兩點之間的距離】【考點10數(shù)軸上的動點問題】

知識點1：正數(shù)和負數(shù)（1）概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“—”的數(shù)叫做負數(shù)。注：0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。（不是帶“—”號的數(shù)都是負數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù)。）（2）意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量?！究键c1正數(shù)與負數(shù)】【典例1】下列各數(shù)中：5，?5A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了對正數(shù)和負數(shù)定義的理解，難度不大，注意0既不是正數(shù)也不是負數(shù)．根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的定義判斷即可，注意：0既不是負數(shù)也不是正數(shù)．【詳解】解：5>0，是正數(shù)；?5?3<0，是負數(shù)；0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)；?25.8<0，是負數(shù)；+2>0，是正數(shù)；∴負數(shù)有?57，?3，?25.8，共故選：C．【變式1-1】已知實數(shù)a，則下列各式中一定大于0的是（

）A．a(chǎn)+3 B．10a C．?a D．a(chǎn)【答案】D【分析】本題主要考查數(shù)的大小，對于選項A，B，C可以舉反倒，由于a2≥0可得【詳解】解：A．∵當a=?3時，a+3=0，∴不正確；B．∵當a=0時，10a=0，∴不正確；C．∵當a≥0時，?a≤0，∴不正確；D．∵a2≥0，∴故選：D．【變式1-2】在?3.5，+9，0，?34，526A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了正負數(shù)的概念，正確熟練掌握基本知識是解決本題的關鍵．根據(jù)正負數(shù)的定義即可對本題作出判斷．【詳解】解：在“?3.5，+9，0，?34，526”中，正數(shù)有+9∴有2個，故選：B．【變式1-3】下列各數(shù)是正數(shù)的是（

）A．17 B．0 C．?1 D．【答案】A【分析】本題考查正數(shù)和負數(shù)的定義．解題的關鍵是掌握：正數(shù)就是大于0的數(shù)，正數(shù)前面可以加上“+”來表示，也可以省略“+”；負數(shù)就是小于0的數(shù)，任何正數(shù)前面加上“?”是負數(shù)；0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，0是正負數(shù)的分界點．據(jù)此解答即可．【詳解】解：A．17B．0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，故此選項不符合題意；C．?1是負數(shù)，故此選項不符合題意；D．?0.3是負數(shù)，故此選項不符合題意．故選：A．【考點2相反意義的量表示】【典例2】負數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學著作《九章算術》中，如果小明向西行走30米記作“?30米”，那么“小明向東行走25米”應記作為（

）A．?25米 B．+25米 C．?30米 D．+30米【答案】B【分析】本題考查了正負數(shù)的意義，根據(jù)向西行走30米記作“?30米”，則向東行走25米”應記作為+25米，據(jù)此即可作答．【詳解】解：∵小明向西行走30米記作“?30米”∴“小明向東行走25米”應記作為+25米，故選：B【變式2-1】如果把收入2024元記作+2024，那么支出2024元記作（

A．2024 B．12024 C．2024 D．【答案】D【分析】本題考查正數(shù)和負數(shù)，理解具有相反意義的量是解題的關鍵．正數(shù)和負數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可求得答案．【詳解】解：收入2024元記作+2024，那么支出2024元記作?2024，故選：D【變式2-2】《九章算術》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)和負數(shù)．若電梯上行5層樓記為+5，則電梯下行3層樓應記為（）A．?2 B．+2 C．+3 D．?3【答案】D【分析】本題主要考查了正數(shù)和負數(shù)，理解相反意義的量是解題的關鍵．根據(jù)正數(shù)和負數(shù)是一組具有相反意義的量，即可得到答案．【詳解】解：由題意得，電梯下行3層樓應記為?3，故選D．【變式2-3】初中一年級女生仰臥起坐滿分標準為50個，個數(shù)為54個記為+4個，則個數(shù)為46個應記為（

）A．?8個 B．?4個 C．4個 D．+46【答案】B【分析】本題考查了正負數(shù)的意義，理解題意是解題關鍵．根據(jù)正負數(shù)的意義即可得．【詳解】解：初中一年級女生仰臥起坐滿分標準為50個，則個數(shù)為46個應記為?4個，故選：B．【考點3相反意義的應用】【典例3】小蟲從某地點0出發(fā)在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負，爬行的路程依次為（單位：厘米）+5,?3,+10,?8,?6,?9,+12,?10，問：(1)小蟲是否回到原點0？(2)爬行過程中，如果每爬行1厘米獎勵5粒芝麻，則小蟲可得到多少粒芝麻？【答案】(1)小蟲沒有回到原點(2)小蟲可得到315粒芝麻【分析】本題考查了正負數(shù)的應用：（1）利用有理數(shù)的加法，即可求解；（2）利用加法先求出總距離，再乘以每爬行1厘米獎勵5粒芝麻即可求解；熟練掌握正負數(shù)的意義是解題的關鍵．【詳解】（1）解：+5+=27?36=?9，答：小蟲沒有回到原點．（2）+5=5+3+10+8+6+9+12+10=63，63×5=315（粒），答：小蟲可得到315粒芝麻．【變式3-1】某中學開展“閱讀之星，書香班級”活動，七（1）班上周星期一至星期五的借書記錄如下表，超過30冊的部分記為正，少于30冊的部分記為負．星期一星期二星期三星期四星期五+3?2+5+4?7問：上周星期一至星期五該班一共借書多少冊？【答案】上周星期一至星期五該班一共借書153冊；【分析】本題考查正負數(shù)意義的應用，用30乘以天數(shù)加上各天的正負數(shù)即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，30×5+3+(?2)+5+4+(?7)答：上周星期一至星期五該班一共借書153冊．【變式3-2】某食品廠從生產(chǎn)的袋裝面粉中抽出樣品20袋，檢測每袋的質(zhì)量是否符合標準，超過或不足的部分分別用正、負數(shù)來表示，記錄如表：與標準質(zhì)量的差值（單位：g）?5?20136袋數(shù)143453(1)這批樣品的平均質(zhì)量比標準質(zhì)量重還是輕？重或輕多少克？(2)若標準質(zhì)量為每袋200g，則這批樣品的總質(zhì)量是多少？若該廠袋裝面粉的合格標準200±3g【答案】(1)這批樣品的平均質(zhì)量比標準質(zhì)量重，重1.2克(2)這批樣品的總質(zhì)量是4024克，這批樣品的合格率是80%【分析】本題主要考查正負數(shù)及有理數(shù)加法在實際生活中的應用，解答本題的關鍵是明確正數(shù)和負數(shù)在題目中的實際意義，熟練掌握運算法則．（1）根據(jù)樣本的平均質(zhì)量減去標準的質(zhì)量，可得答案；（2）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；找到所給數(shù)值中，絕對值小于或等于3的食品的袋數(shù)占總袋數(shù)的多少即可．【詳解】（1）解：?5×1+?224÷20=1.2(克)．答:這批樣品的平均質(zhì)量比標準質(zhì)量重，重1.2克．（2）由題意，得：200×20+24=4024(克)．由題意可知，與標準質(zhì)量相差±3g的有4+3+4+5=16袋，所以16÷20×100答:這批樣品的總質(zhì)量是4024克，這批樣品的合格率是80%．【變式3-3】出租車司機小張某天在季華路（近似的看成一條直線）上行駛，如果規(guī)定向東為“正”，向西為“負”，他這天上午的行程可以表示為：+5，?3，+3，?1，+2，?2，+4，?5，+6，?8（單位：千米）(1)小張將最后一名乘客送達目的地后需要返回出發(fā)地換班，請問小張該如何行駛才能回到出發(fā)地？(2)若汽車耗油量為0.6升/千米，發(fā)車前油箱有32.2升汽油，若小張將最后一名乘客送達目的地，再返回出發(fā)地，問小張今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出發(fā)地？若不用加油，請說明理由．【答案】(1)小張向西行駛1千米才能回到出發(fā)地(2)小張今天上午不需要加油，理由見解析【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，正數(shù)和負數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的加法是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)題意，將小張所有行程按照向東為“正”，向西為“負”，依次相加，得到結(jié)果，判斷小張最后地點距離出發(fā)地的距離，以此分析小張該如何行駛才能回到出發(fā)地．（2）根據(jù)題意，計算出小張將最后一名乘客送達目的地，再返回出發(fā)地一共行駛的距離，然后計算行駛了這些距離耗的油量，最終得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，+5?3+3?1+2?2+4?5+6?8=1（千米），∴小張將最后一名乘客送達的目的距離出發(fā)地正東方向1千米，故小張向西行駛1千米才能回到出發(fā)地．答：小張向西行駛1千米才能回到出發(fā)地．（2）不用加油，理由如下：小張將最后一名乘客送達目的地一共行駛了：5+3+3+1+2+2+4+5+6+8=39（千米），再返回出發(fā)地一共行駛了：39+1=40（千米），∴汽車耗油：40×0.6=24<32.2．答：小張今天上午不需要加油．

知識點2：有理數(shù)（1）概念整數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)，負整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)。（2）分類：兩種⑴按正、負性質(zhì)分類：⑵按整數(shù)、分數(shù)分類：正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)有理數(shù)正分數(shù)整數(shù)0零有理數(shù)負整數(shù)負有理數(shù)負整數(shù)分數(shù)正分數(shù)負分數(shù)負分數(shù)【考點4有理數(shù)的概念辨析】【典例4】下列各數(shù)：?1，3.1010010001……，4.11213415，0，227，3.14，其中有理數(shù)有（

A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的定義，有理數(shù)可分為整數(shù)和分數(shù)，整數(shù)分正整數(shù)，零和負整數(shù)；分數(shù)分正分數(shù)和負分數(shù)．據(jù)此解答即可．【詳解】解：?1，4.11213415，0，2273.1010010001……是無限不循環(huán)小數(shù)，不是有理數(shù)．故選B．【變式4-1】下列說法正確的是（

）A．正整數(shù)、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) B．正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)C．一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù) D．0不是有理數(shù)【答案】C【分析】本題主要考查的是有理數(shù)的概念和分類，依據(jù)有理數(shù)的概念和分類進行求解即可，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】A、正整數(shù)、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)和0統(tǒng)稱為有理數(shù)，故本選項錯誤，不符合題意；B、正整數(shù)和負整數(shù)和0統(tǒng)稱為整數(shù)，故本選項錯誤，不符合題意；C、一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)，故本選項正確，符合題意；D、0是有理數(shù)，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C．【變式4-2】在?1.732，2，π，3.1?4?，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題主要考查有理數(shù)，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，由此即可判斷選項．也要注意理解無理數(shù)的概念，其中初中范圍內(nèi)學習的無理數(shù)有：π，2π等；開不盡方的數(shù)；以及像0.101001000100001…等有這樣規(guī)律的數(shù)．【詳解】解：在?1.732，2，π，3.1?4?，這些數(shù)中，有理數(shù)有?1.732，3.1?4?，故選：B．【變式4-3】下列關于有理數(shù)的說法正確的是（）A．有理數(shù)可分為正有理數(shù)和負有理數(shù)兩大類B．正整數(shù)集合與負整數(shù)集合合在一起構(gòu)成整數(shù)集合C．0既不屬于整數(shù)也不屬于分數(shù)D．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)【答案】D【分析】本題考查有理數(shù)的分類及定義，根據(jù)有理數(shù)的分類及定義逐項判斷即可．【詳解】解：A、有理數(shù)可分為正有理數(shù)，0和負有理數(shù)，故本選項錯誤，不符合題意；B、正整數(shù)集合，0與負整數(shù)集合合在一起構(gòu)成整數(shù)集合，故本選項錯誤，不符合題意；C、0是整數(shù)，但不是分數(shù)，故本選項錯誤，不符合題意；D、整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，正確，符合題意；故選：D．【考點5有理數(shù)的分類】

【典例5】把下列各數(shù)填在相應的大括號里：?1，?78，0，+3.6，?17%，3.142，911，?0.088，整數(shù)集合：{

…}正分數(shù)集合：{

…}負分數(shù)集合：{

…}【答案】?1，0，2008，?506；+3.6，3.142，911；?78，?17【分析】本題考查了有理數(shù)的概念及分類，根據(jù)定義直接求解即可，解題的關鍵是熟悉整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)的定義，熟練掌握此題的特點并能熟練運用．【詳解】整數(shù)集合：{?1，0，2008，?506，…}；正分數(shù)集合：{+3.6，3.142，911負分數(shù)集合：{?78，?17%故答案為：?1，0，2008，?506；+3.6，3.142，911；?78，?17【變式5-1】把下列各數(shù)分別填入相應的集合里．?4，?43，0，227，?3.14，2006，(1)負數(shù)集合：｛

…｝；(2)分數(shù)集合：｛

…｝；(3)整數(shù)巢合：｛

…｝．【答案】(1)?4，?3.14，?(2)?43，227，(3)?4，0，2006，?【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類方式是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)負數(shù)包括負整數(shù)和負分數(shù)解答即可；（2）根據(jù)分數(shù)包括正分數(shù)和負分數(shù)解答即可；（3）根據(jù)整數(shù)包括正整數(shù)，零和負整數(shù)解答即可．【詳解】（1）負數(shù)集合：｛?4，?3.14，?+5故答案為：?4，?3.14，?+5（2）分數(shù)集合：｛?43=43，22故答案為：?43，227，?3.14（3）整數(shù)集合：｛?4，0，2006，?+5故答案為：?4，0，2006，?+5【變式5-2】判斷下列各數(shù)，并把它們填寫在相應的數(shù)集中．?10，?6.5，212，0，6.5，?12，6，?6.2%，(1)整數(shù)集合：｛

…｝(2)分數(shù)集合：｛

…｝(3)非負數(shù)集合：｛

…｝(4)非正數(shù)集合：｛

…｝(5)正有理數(shù)集：｛

…｝【答案】(1)?10，0，6，(2)?6.5，212，6.5，?12，?6.2(3)212，0，6.5，6，0.6?(4)?10，?6.5，0，?12(5)212，6.5，6，0.【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，解題時注意：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；整數(shù)包括正整數(shù)、0、負整數(shù)；分數(shù)包括正分數(shù)、負分數(shù)．根據(jù)整數(shù)、分數(shù)、非負數(shù)、正有理數(shù)以及負數(shù)的定義進行判斷即可．【詳解】（1）解：整數(shù)集合：｛?10，0，6，…｝故答案為：?10，0，6；（2）解：分數(shù)集合：｛?6.5，212，6.5，?12，?6.2%故答案為：?6.5，212，6.5，?12，?6.2%（3）解：非負數(shù)集合：｛212，0，6.5，6，0.6?，故答案為：212，0，6.5，6，0.6?，（4）解：非正數(shù)集合：｛?10，?6.5，0，?12，故答案為：?10，?6.5，0，?12，（5）解：正有理數(shù)集：｛212，6.5，6，0.6故答案為：212，6.5，6，0.6【變式5-3】把下列各數(shù)填在相應的集合內(nèi)：?43，8，0.3，0，?2028，12%，?2負數(shù)集合{

……}；正分數(shù)集合{

……}；非負數(shù)集合{

……}；有理數(shù)集合{

……}．【答案】見解析【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，據(jù)此填寫即可，特別要注意帶“非”字的分類，非負數(shù)：正數(shù)和0；非正數(shù)：負數(shù)和0；非負整數(shù)：正整數(shù)和0（自然數(shù)）；非正整數(shù)：負整數(shù)和0．【詳解】解：負數(shù)集合{?43，?2028，正分數(shù)集合{0.3，12%非負數(shù)集合{8，0.3，0，12%，π有理數(shù)集合{?43，8，0.3，0，?2028，12%

知識點3：數(shù)軸（1）概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。三要素：原點、正方向、單位長度（2）對應關系：數(shù)軸上的點和有理數(shù)是一一對應的。比較大小：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（3）應用求兩點之間的距離：兩點在原點的同側(cè)作減法，在原點的兩側(cè)作加法。（注意不帶“+”“—”號）【考點6數(shù)軸的畫法及應用】【典例6】如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是?3，點B表示的數(shù)是4．(1)在數(shù)軸上標出原點O．(2)在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并按從小到大的順序用“<”連接起來．2.5，?4，?1.5，?【答案】(1)見解析(2)見解析，?4<?【分析】本題主要考查在數(shù)軸上表示有理數(shù)以及有理數(shù)的大小比較：（1）根據(jù)點A表示的數(shù)是?3，點B表示的數(shù)是4找出原點即可；（2）把各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，從左到右用“＜”連接起來即可．【詳解】（1）解：原點O如圖，（2）解：?1.5=1.5，各點在數(shù)軸上表示為：故?4<?+【變式6-1】下列數(shù)軸正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的是數(shù)軸．根據(jù)數(shù)軸定義：規(guī)定了正方向、原點、單位長度的直線叫做數(shù)軸，我們一般規(guī)定，數(shù)軸向右為正方向，單位長度必須一致，依據(jù)以上標準判斷即可．【詳解】解：A、不正確，錯誤原因：數(shù)軸單位長度不一致；B、正確；C、不正確，錯誤原因：缺少正方向；D、不正確，錯誤原因：缺少了原點．故選：B．【變式6-2】(1)如圖，寫出數(shù)軸上點A，B，C，D表示的數(shù)；

(2)請你自己畫出數(shù)軸并表示下列有理數(shù)：?32，【答案】(1)A，B，C，D表示的數(shù)分別是：?3，?1.5，0，2；(2)見解析．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸可以直接寫出點A，B，C、D表示的數(shù)；（2）畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上描出題目中兩個數(shù)在數(shù)軸上對應的點；此題主要考查了數(shù)軸，點在數(shù)軸上位置確定，解題的關鍵是熟練掌握畫數(shù)軸以及在數(shù)軸上表示數(shù)，用數(shù)軸表示數(shù)時要注意畫數(shù)軸有三個基本要素：原點、正方向、單位長度．【詳解】（1）由數(shù)軸可得，點A，B，C，D表示的數(shù)分別是：?3，?1.5，0，2；（2）先畫出數(shù)軸，表示如下圖所示：

【考點7用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)】【典例7】小明寫作業(yè)時不慎將墨水滴在數(shù)軸上，根據(jù)圖中的數(shù)值，判定墨跡蓋住部分的整數(shù)共有（

）個．A．6個 B．7個 C．8個 D．9個【答案】B【分析】本題考查的是數(shù)軸，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關鍵．根據(jù)數(shù)軸的單位長度，即可判斷墨跡蓋住部分的整數(shù)．【詳解】解：由圖可知，左邊蓋住的整數(shù)數(shù)值是?1，右邊蓋住的整數(shù)數(shù)值是2，3；墨跡蓋住部分的整數(shù)共有5+2=7個．故選：B．【變式7-1】如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)可能是（

）A．1.5 B．?3 C．?2.4 D．2.4【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸和有理數(shù)的大小比較，能根據(jù)數(shù)軸得出A點表示的數(shù)在?3和?2之間是解此題的關鍵．據(jù)此解答即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：A點表示的數(shù)在?3和?2之間，∴A點的表示的數(shù)可能為?2.4，故選：C【變式7-2】如圖，數(shù)軸上被墨水遮蓋的數(shù)可能是（

）

A．?3.3 B．?4.4 C．1.1 D．【答案】D【分析】本題考查數(shù)軸表示數(shù)的意義和方法，確定被墨跡所蓋的數(shù)的取值范圍是正確解答的前提．【詳解】解：由數(shù)軸上墨跡的位置可知，該數(shù)大于?3，且小于?1，因此備選項中，只有選項D符合題意，故選：D．【變式7-3】如圖，數(shù)軸上表示數(shù)?1.5的點所在的線段是（

）A．AB B．BO C．OC D．CD【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸上點的位置，結(jié)合?2<?1.5<?1即可得到答案．【詳解】解：由數(shù)軸可知，數(shù)軸上表示數(shù)?1.5的點所在的線段是AB，故選：A．【考點8利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】【典例8】a,b是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示．下列各式正確的是（

）A．?b<?a<a<bB．?a<?b<a<bC．b<?a<a<?b D．b<?b<?a<a【答案】C【分析】本題考查數(shù)軸，有理數(shù)大小的比較．根據(jù)a，b在數(shù)軸上的點的位置確定?a，?b的正負及絕對值，即可解答．【詳解】由數(shù)軸可得，b<?1<0<a<1，b>∴?b>a，?a>b，∴b<?a<a<?b．故選：C【變式8-1】有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)>?3 B．b>3 C．a(chǎn)>b D．?a>b【答案】D【分析】本題考查了根據(jù)數(shù)軸比較大小，根據(jù)用數(shù)軸上的點表示的數(shù)，左邊<右邊，即可解答．【詳解】解：由圖可知，a<?3<b<3，故A、B、C不正確，不符合題意；∵a<?3<b<3，∴?a>3>b，故D正確，符合題意；故選：D．【變式8-2】若數(shù)a,b在數(shù)軸上表示的點的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)+b>0 B．?b+a<0 C．?a>b D．a(chǎn)?b>0【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的加法、減法、乘法法則的應用，主要考查學生對法則的理解能力，難度不是很大．根據(jù)數(shù)軸得出b＜【詳解】解：從數(shù)軸可知：b＜A、a+b＜B、?b+a>0，故原式不正確；C、?a>b，故原式正確；D、a?b<0，故原式不正確；故選：C．【變式8-3】若實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，在下列結(jié)論中，正確的是（

）A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)+1<b+1 C．a(chǎn)2【答案】B【分析】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，以及數(shù)軸的特征：一般來說，當數(shù)軸正方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．根據(jù)圖示，可得?2<a<?1，0<b<1，據(jù)此逐項判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圖示，可得?2<a<?1，0<b<1，∵?2<a<?1，0<b<1，∴1<|a|<2，0<|b|<1，∴|a|>|b|，∴選項A不符合題意；∵?2<a<?1，0<b<1，∴a<b，∴a+1<b+1，∴選項B符合題意；∵?2<a<?1，0<b<1，∴1<a2<4∴a∴選項C不符合題意；∵0<b<1，∴?1<?b<0，∵?2<a<?1，∴a<?b，∴選項D不符合題意．故選：B．【考點9數(shù)軸上兩點之間的距離】【典例9】如果在數(shù)軸上A點表示?3，那么在數(shù)軸上與點A距離2個長度單位的點所表示的數(shù)是（）A．?1 B．?1和?5 C．+1或?5 D．?5【答案】B【分析】本題綜合考查了數(shù)軸上兩點之間的路線，用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點．在數(shù)軸上表示出A點，找到與點A距離2個長度單位的點所表示的數(shù)即可．此類題注意兩種情況：要求的點可以在已知點?3的左側(cè)或右側(cè)．【詳解】如圖所示，∴在數(shù)軸上與點A距離2個長度單位的點所表示的數(shù)是?1和?5．故選B．【變式9-1】點A為數(shù)軸上一點，距離原點4個單位長度，一只螞蟻從A點出發(fā)，向右爬了2個單位長度到達B點，則點B表示的數(shù)是（）A．?2 B．6 C．?2或6 D．?6或2【答案】C【分析】本題考查數(shù)軸上兩點之間的距離，以及用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，由“點A為數(shù)軸上一點，距離原點4個單位長度”得到點A表示的數(shù)（注意考慮在原點左側(cè)或右側(cè)兩種情況），再根據(jù)向右爬了2個單位長度到達B點，得到點B表示的數(shù)，即可解題．【詳解】解：因為點A為數(shù)軸上一點，距離原點4個單位長度，所以點A表示的數(shù)是4或?4，又因為螞蟻從A點出發(fā)，向右爬了2個單位長度到達B點，所以點B表示的數(shù)是：4+2=6或?4+2=?2．故選：C．【變式9-2】如圖，在數(shù)軸上點A在原點右側(cè)，距離原點5個單位長度，表示的數(shù)是5，點B距離點A是6個單位長度，則點B表示的數(shù)是（

）

A．6 B．6或?6 C．11或?6 D．11或?1【答案】D【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，根據(jù)題意可列的式子，進而求解，求解數(shù)軸上兩點之間的距離是解題的關鍵．【詳解】解：∵點B距離點A是6個單位長度，則5+6=11，或5?6=?1，∴點B表示的數(shù)是11或?1，故選：D．【變式9-3】在數(shù)軸上，點M，N分別表示數(shù)m，1．若MN=4，則點M表示的數(shù)是（

）A．5 B．?3或5 C．4 D．?3【答案】B【分析】題考查數(shù)軸上兩點間的距離表示方法，根據(jù)題意得到|m?1|=4是解題的關鍵．【詳解】解：∵點M，N分別表示數(shù)m，1．若MN=4，∴|m?1|=4，解得m=5或m=?3，故選B．【考點10數(shù)軸上的動點問題】【典例10】如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動4cm到達A點，再向右移動5cm到達B點，然后再向右移動3cm到達C(1)請你在數(shù)軸上標出A、B、C三點的位置，并填空：A表示的數(shù)為_______，B表示的數(shù)為_______，C表示的數(shù)為______．(2)把點A到點C的距離記為AC，則AB=_____cm，AC=______cm；(3)若點A從（1）中的位置沿數(shù)軸以每秒1cm勻速向右運動，經(jīng)過多少秒使AC=3cm【答案】(1)?4(2)5，8(3)5或11【分析】本題考查數(shù)軸上點的表示，數(shù)軸上兩點間距離，數(shù)軸上動點問題．（1）根據(jù)題意利用觀察即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意利用兩點間距離即可得到；（3）分情況討論當點A在點C的左側(cè)時和當點A在點C的右側(cè)時，分別列式即可得到本題答案．【詳解】（1）解：由題意得：A點對應的數(shù)為?4，B點對應的數(shù)為1，點C對應的數(shù)為4，點A，B，C在數(shù)軸上表示如圖：A表示的數(shù)為?4，B表示的數(shù)為1，C表示的數(shù)為4，故答案為：?4，（2）解：∵A點對應的數(shù)為?4，B點對應的數(shù)為1，點C對應的數(shù)為4，∴AB=1?(?4)=5cm，AC=4?(?4)=8故答案為：5，8；（3）解∶①當點A在點C的左側(cè)時，設經(jīng)過x秒后點A到點C的距離為3cm，由題意得：8?x=3，解得：x=5；②當點A在點C的右側(cè)時，設經(jīng)過x秒后點A到點C的距離為3cm，由題意得：x?8=3，解得：x=11，綜上，經(jīng)過5或11秒后點A到點C的距離為3cm．【變式10-1】如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是8，若動點P從原點O出發(fā)，以2個單位/秒的速度向左運動，同時另一動點Q從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，到達原點后立即以原來的速度返回，向右運動，設運動的時間為t（秒）．

(1)當t=0.5時，求點Q表示的數(shù)；(2)當t=2.5時，求點Q表示的數(shù)；(3)當點Q到原點O的距離為4時，求點P表示的數(shù)．【答案】(1)6(2)2(3)?2或?6【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間距離的表示方法是解題的關鍵．（1）計算出點Q運動的路程，即可解答；（2）計算出點Q的運動路程，即可解答；（3）分兩種情況，點Q在還沒達到原點，點Q到原點O的距離為4；到達原點后距離原點后，點Q到原點O的距離為4，計算時間，即可得到點P運動的路程，即可解答?！驹斀狻浚?）解：當t=0.5時，點Q表示的數(shù)為8?4×0.5=6；（2）解：當t=2.5時，點Q運動的路程為4×2.5=10>8，點Q表示的數(shù)為0+10?8=2（3）解：①點Q還沒達到原點時，點Q運動的路程為8?4=4，∴t=4∴點P表示的數(shù)為0?2×1=?2；①點Q達到原點時，點Q運動的路程為8+4=12，∴t=12∴點P表示的數(shù)為0?2×3=?6，故點P表示的數(shù)為?2或?6．【變式10-2】如圖A在數(shù)軸上所對應的數(shù)為?2．(1)點B在點A右邊距A點6個單位長度，求點B所對應的數(shù)；(2)在（1）的條件下，點A以每秒1個單位長度沿數(shù)軸向左運動，點B以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向右運動，當點A運動到?4所在的點處時，求A，B兩點間距離．【答案】(1)點B所對應的數(shù)是4；(2)A，B兩點間距離是12；【分析】（1）本題考查數(shù)軸上兩點間的距離，根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離等于兩數(shù)之差的絕對值；（2）本題考查數(shù)軸上動點及兩點間距離，根據(jù)動點表示出數(shù)字，結(jié)合距離公式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：∵A在數(shù)軸上所對應的數(shù)為?2，點B在點A右邊距A點6個單位長度，∴點B所對應的數(shù)為：?2+6=4，∴點B所對應的數(shù)是4；（2）解：∵點A以每秒1個單位長度沿數(shù)軸向左運動，點A運動到?4，∴t=?2?(?4)∵點B以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向右運動，∴點B運動到：4+2×2=8，∴A，B兩點間距離為：8?(?4)=12．【變式10-3】已知數(shù)軸上有三個點A，B，C，點A表示的數(shù)是8，點B到點A的距離為12，點C到A點的距離為7．(1)點B表示的數(shù)為；(2)點C表示的數(shù)為；(3)若點A在點B右側(cè)，動點R從點B以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，動點P從點C以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點P，R同時出發(fā)，點R運動多少秒時追上點P？【答案】(1)20或?4(2)1或15(3)5秒或19秒【分析】（1）分點B在點A的左邊和右邊兩種情況求解即可；（2）分點C在點A的左邊和右邊兩種情況求解即可；（3）分點C表示1和15兩種情況，然后分別求出路程差，再根據(jù)路程差列方程求解即可．【詳解】（1）解：當點B在點A的左邊，點B表示的數(shù)為8?12=?4；當點B在點A的右邊，點B表示的數(shù)為8+12=20；綜上，點B表示的數(shù)為20或?4．故答案為：20或?4．（2）解：當點C在點A的左邊，點C表示的數(shù)為8?7=1；當點C在點A的右邊，點C表示的數(shù)為8+7=15；綜上，點C表示的數(shù)為1或15．故答案為：1或15．（3）解：設點R運動a秒時追上點P，當C表示1時，則BC的距離為1??4=5，則有2a?a=5，解得：當C表示15時，則BC的距離為15??4=19，則有2a?a=19綜上，點R運動多少秒時追上點P所需時間為5秒或19秒．答：點R運動5秒或19秒時追上點P．【點睛】本題主要考查了在數(shù)軸上表示數(shù)、數(shù)軸上的動點問題等知識點，掌握分類討論思想是解答本題的關鍵．一、單選題1．在?2，0，12A．?2 B．0 C．12 【答案】A【分析】本題考查正數(shù)和負數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關鍵．根據(jù)負數(shù)的定義即可求得答案．【詳解】解：?2是負數(shù)；12故選：A2．熱氣球上升5米記為+5，則下降3米應該記為（

）A．3 B．2 C．?2 D．?3【答案】D【分析】本題考查了正負數(shù)的意義，熟知正負數(shù)代表相反意義的量是解本題的關鍵．根據(jù)正負數(shù)代表相反意義的量可知：熱氣球向上記為正，則向下記為負即可．【詳解】解：熱氣球上升5米記為+5，那么下降3米應該記為?3．故選：D．3．我國三國時期的學者劉徽在建立負數(shù)的概念上有重大貢獻．劉徽首先給出了正負數(shù)的定義，“今兩算得失相反，要令正負以名之”．例，如果把收入10元記作+10元，那么支出15元應記作（

）A．?15元 B．0元 C．±15元 D．15元【答案】A【分析】本題考查了正負數(shù)的意義，根據(jù)把收入10元記作+10元，即可得出支出15元應記作?15元，即可作答．【詳解】解：∵收入10元記作+10元，∴支出15元應記作?15元，故選：A．4．將?1在數(shù)軸上對應的點向右平移2個單位，則此時該點對應的數(shù)是（

）A．?1 B．1 C．?3 D．3【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，正確理解有理數(shù)所表示的點左右移動后得到的點所表示的數(shù)是解題的關鍵．將?1在數(shù)軸上對應的點向右平移2個單位，在數(shù)軸上找到這個點，即得這個點所表示的數(shù)．【詳解】根據(jù)題意：數(shù)軸上?1所對應的點向右平移2個單位，則此時該點對應的數(shù)是1．故選B．5．有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，把a，?a，b按照從小到大的順序排列，正確的是（

）A．a(chǎn)<?a<b B．?a<b<a C．?a<a<b D．b<?a<a【答案】A【分析】本題考查了數(shù)軸與有理數(shù)大小的比較，正確理解數(shù)軸與有理數(shù)大小的比較的方法是解題的關鍵．在數(shù)軸上標出有理數(shù)a的相反數(shù)?a所表示的點，再根據(jù)“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，即可判斷答案．【詳解】在數(shù)軸上標出有理數(shù)a的相反數(shù)?a所表示的點，則a，?a，b按照從小到大的順序排列為a<?a<b．故選：A．6．數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點右側(cè)，與原點相距2024個單位長度，則數(shù)a為（

）A．2024 B．?2024 C．±2024 D．不確定【答案】A【分析】本題主要考查了數(shù)軸上點表示有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上點的特征是解題的關鍵．根據(jù)數(shù)軸上的點的特征是解題的關鍵．【詳解】解：∵數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點右側(cè)，與原點相距2024個單位長度，∴點a點表示的數(shù)是2024．故選：A．二、填空題7．一只電子螞蟻沿數(shù)軸從點A向右爬行2個單位長度到達點B，若點B表示的數(shù)為?4，則點A表示的數(shù)為．【答案】?6【分析】本題考查的是數(shù)軸，正確判斷出點A和點B在原點的左側(cè)是解題的關鍵．由題意可知，一只電子螞蟻沿數(shù)軸從點A向右爬行2個單位長度到達點B，點B表示的數(shù)為?4，可以判斷點A在原點的左側(cè)，且點A與點B的距離是2個單位長度，即可以求出點A表示的數(shù)．【詳解】解：∵一只電子螞蟻沿數(shù)軸從點A向右爬行2個單位長度到達點B，點B表示的數(shù)為?4，∴可以判斷點A在原點的左側(cè)，且點A與點B的距離是2個單位長度，∴點A表示的數(shù)為：?4?2=?6，故答案為：?68．某蓄水池的標準水位記為0m，若+0.08m表示水面高于標準水位0.08m，則水面低于標準水位1.2【答案】?1.2【分析】此題主要考查了正負數(shù)的意義，首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義；再根據(jù)題意作答．【詳解】解：若+0.08m表示水面高于標準水位0.08m，則水面低于標準水位1.2m故答案為：?1.2．9．小明和小佳是同班同學．放學后，兩人同時從學校大門處向相反方向回家，小明向北走了800m記作“+800m”，小佳走的路程記作“?600m”．這時兩人相距【答案】1400【分析】本題考查了加法計算的應用．根據(jù)題意，因為他們行駛的方向相反，所以把兩人各自行駛的路程相加即是兩人相距的距離．【詳解】解：800+600=1400（m）答：這時兩人相距1400m．故答案為：1400．10．包裝袋上的凈重（150±5克）的意思是實際質(zhì)量的范圍是．【答案】145克～155克【分析】此題主要考查了負數(shù)的意義的應用，要熟練掌握．首先用標準質(zhì)量500加上5克，求出實際每袋最多不多于多少克；然后用這標準質(zhì)量500減去5克，求出實際每袋最少不少于多少克即可．【詳解】解：實際每袋最多不多于：150+5=155（克）；最少不少于：150?5=145（克），范圍為：145克～155克；故答案為：145克～155克．三、解答題11．把下列各數(shù)填入相應的集合內(nèi)．?10，8，?712，334，?10%，3101，2，0，3.14，?67，3正數(shù)集合{…}；負數(shù)集合{…}；整數(shù)集合{…}；分數(shù)集合{…}．【答案】見解析【分析】本題考查了有理數(shù)的分類：有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)；有理數(shù)分為正有理數(shù)、0、負有理數(shù)；整數(shù)分為正整數(shù)、0、負整數(shù)．根據(jù)有理數(shù)的分類在所給的數(shù)中分別找出正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)、分數(shù)．【詳解】正數(shù)集合{8，334，3101，2，3.14，37，負數(shù)集合{?10，?712，?10%，?67整數(shù)集合{?10，8，2，0，?67，?1…}；分數(shù)集合{?712，334，?10%，3101，12．畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“<”連接：+5，?3.5，12，?112，4【答案】見解析，?3.5<?1【分析】本題主要考查有理數(shù)與數(shù)軸的關系，理解并掌握數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應的關系是解題的關鍵．畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上標出表示各數(shù)的點，然后根據(jù)右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大進行比較．【詳解】解：如圖所示：因為在數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)，所以?3.5<?1113．六一到了，嘉嘉和同學要表演節(jié)目．嘉嘉騎車到同學家拿東西，再到學校，她從自己家出發(fā)，向東騎了2km到達淇淇家，繼續(xù)向東騎了1.5km到達小敏家，然后又向西騎了4.5km到達學校．演出結(jié)束后又向東騎回到自己家．(1)以嘉嘉家為原點，向東為正方向，用1個單位長度表示1km，在圖中的數(shù)軸上，分別用點A表示出淇淇家，用點B表示出小敏家，用點C表示出學校的位置；(2)求淇淇家與學校之間的距離；(3)如果嘉嘉騎車的速度是300m/min【答案】(1)畫圖見解析(2)3km(3)30min【分析】本題考查了正負數(shù)的應用以及在數(shù)軸上表示有理數(shù)，兩點間