新高考數(shù)學(xué)解答題預(yù)測(cè)秒殺：第13講 解析幾何中的定點(diǎn)定值最值問(wèn)題（學(xué)生版+解析版）

第13講解析幾何中的定點(diǎn)定值最值問(wèn)題

高考預(yù)測(cè)一：最值問(wèn)題

方法總結(jié)：圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用己知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

類(lèi)型一：弦長(zhǎng)或面積問(wèn)題

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)”2,6),8(4,0),C是線段的中點(diǎn)，尸是平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)

足=2|用，記點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)8的直線/與曲線E交于M,N兩點(diǎn)，若△OBM的面積是△OBN的面積的3倍，求直線/的方程.

2.如圖所示，已知拋物線C：V=2x,過(guò)點(diǎn)P(0,l)的直線/交C于不同的4,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在P,B之

間)，記點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)分別為以，丫2,過(guò)A作x軸的垂線交直線OB于點(diǎn)。(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(2)求△OAO的面積的最大值.

22

3.已知橢圓C:「+馬=1過(guò)A(-3,0),3(0,-1)兩點(diǎn).設(shè)M為第一象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線與

a"b

y軸交于點(diǎn)尸，直線MB與X軸交于點(diǎn)。.

(1)求橢圓C的方程及離心率；

(2)設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為A,求證：三角形ABQ的面積等于三角形APQ的面積：

(3)指出三角形"PQ的面積是否存在最大值和最小值，若存在，寫(xiě)出最大值，最小值(只需寫(xiě)出結(jié)論).

【答案】(1)2-+丁=1,e=之&；

93

(2)證明見(jiàn)解析；

(3)存在最大值，且最大值為

2

4.己知點(diǎn)M是橢圓C，+/l(a>b>0)上一點(diǎn)，"，鳥(niǎo)分別為橢圓C的上、下焦點(diǎn)，但周=4,當(dāng)

ZF,MF2=90°,△耳加工的面積為5.

(I)求橢圓C的方程：

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)后的直線/和橢圓C交于兩點(diǎn)A,B,是否存在直線/,使得AOAF?與△084(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的

面積比值為5：7.若存在，求出直線/的方程：若不存在，說(shuō)明理由.

5.如圖所示，已知橢圓C:《+《=l與直線/：；+5=1.點(diǎn)P在直線/上，由點(diǎn)P引橢圓C的兩條切線

6363

PA,PB,A、8為切點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若點(diǎn)尸為直線/與y軸的交點(diǎn)，求△PA8的面積s；

(2)若0DJ_A8,。為垂足，求證：存在定點(diǎn)。，使得為定值.

6.己知橢圓E:7V=1(〃>人>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,巴，短軸的下端點(diǎn)4的坐標(biāo)為且

|A制+|你|=4.

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)2,C是橢圓E上異于A的兩點(diǎn)，且直線3c與坐標(biāo)軸不垂直，|A8|=|AC|,BC的中點(diǎn)為G,求四

邊形A^G鳥(niǎo)的面積.

7.已知在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)尸到耳(-1,0)、&(1,0)兩點(diǎn)的距離之和等于2石.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

⑵若與圓0：/+/=1相切的直線小丫=丘+膽與曲線C相交M、N兩點(diǎn)，直線4與直線4平行，且與曲

線E相切于點(diǎn)A(。、A位于直線4的兩側(cè))，記△40N、△。陰V的面積分別為5、S2,求寸的取值范

*

圍.

22J2

8.己知橢圓c：=+二=1(。>。>0)的左、右焦點(diǎn)分別為6、橢圓c過(guò)點(diǎn)P1,一，直線交y軸

?b-V2)

(1)求橢圓C的方程；

(2汝n圖，菱形43c。內(nèi)接于橢圓C,菱形中心在坐標(biāo)原點(diǎn).

①求+|。例2的值;

②求菱形A8CD面積的最小值.

9.已知橢圓E：=1(〃>%>0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為C,過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線交E于A,B兩

點(diǎn)(點(diǎn)4在第一象限)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形A8OC是面積為6的平行四邊形.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P(-3,0),過(guò)點(diǎn)P的直線/交橢圓于點(diǎn)M,N,交y軸的正半軸于點(diǎn)7,點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn),

\pQ\.\p\=—27,求直線/的斜率左.

T4

10.已知圓E：(x+2)?+y2=24,動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)F(2,0)且與圓E相切，記動(dòng)圓圓心N的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、且滿(mǎn)足為圓的圓心)，求直線〃?

(2)F(、2,0/)mCMN,tanCNr-fM>jfENj—>>=r上￡_(EE

3EM-EN

的方程.

11.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐

富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如下圖1)

步驟1：設(shè)圓心是E,在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為長(zhǎng)

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過(guò)點(diǎn)尸；

步驟3：把紙片展開(kāi)，并留下一道折痕；

步驟4：不停重復(fù)步驟2和3,就能得到越來(lái)越多的折痕(如圖2).

已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為4的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)尸到圓心E的距離為2,按上

述方法折紙.

(1)以點(diǎn)F,E所在的直線為x軸，線段EF的中垂線為y軸，建立坐標(biāo)系，求折痕所圍成的橢圓C(即圖1

中仞點(diǎn)的軌跡)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)如圖3,若直線m：y=-《x+s(s>0)與橢圓C相切于點(diǎn)P,斜率為!的直線〃與橢圓C分別交于點(diǎn)

A,B(異于點(diǎn)P),與直線m交于點(diǎn)Q.證明：|AQ|,|P。，忸。成等比數(shù)列.

類(lèi)型二：涉及坐標(biāo)、向量數(shù)量積等問(wèn)題

12.已知R/AABC中，A(-l,0),8(1,0),ZC4B=90°,AC=與,曲線E過(guò)C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在E上運(yùn)動(dòng),

且保持|叫+|「目的值不變.

(1)求曲線E的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線/與曲線E交于M,N兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得兩.的的值為定值？

若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.己知圓0:/+產(chǎn)=4,點(diǎn)M與AT的坐標(biāo)分別為(1,0)與(-1,0),以MN為直徑的圓內(nèi)切于圓O,記點(diǎn)

N的軌跡為曲線C.

⑴證明|MW|+|NM［為定值，并求C的方程；

(2)若直線/交曲線C于A,8兩點(diǎn)，交圓。于P,。兩點(diǎn)，且。求IPQI.

22

14.已知橢圓C:5+方=1(“>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為月、鳥(niǎo)，點(diǎn)網(wǎng)2,碼在橢圓C上，且滿(mǎn)足

(1)求橢圓6的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸2且斜率不為零的直線/交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A、B,則在X軸上是否存在定

點(diǎn)M,使得MO平分NAA4B?若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A45C的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為W-2,0),C(2,0),直線A8,AC的斜率乘積

(1)求頂點(diǎn)A的軌跡「的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸(1,0)的直線與曲線「交于點(diǎn)M,N,直線8M,CN相交于點(diǎn)Q,求證：而.而為定值.

高考預(yù)測(cè)二：定值問(wèn)題

方法總結(jié)：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

22

16.設(shè)橢圓田￡+今=1(〃>6>0),橢圓的右焦點(diǎn)恰好是拋物線y2=46x的焦點(diǎn).橢圓的離心率為

73

V

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)定點(diǎn)N(-1,0)的直線與橢圓E交于C,。兩點(diǎn)(與點(diǎn)A,B

不重合)，證明：直線AC,8。的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.

17.拋物線C：V=2px的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/，?是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)廠的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，直

線AP、BP分別交準(zhǔn)線/于當(dāng)AB〃/,點(diǎn)P恰好與原點(diǎn)。重合時(shí)，AMN尸的面積為4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)記S/MN=%SJAB=S2，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,若S「|P"|=。$2,求)的最小值.

18.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓C:「+g=l(a>6>())的左、右焦點(diǎn)分別為用，尸是C短

軸的一個(gè)端點(diǎn)，且g為等腰直角三角形，忸閶=2.

(1)求橢圓6的方程；

(2)設(shè)過(guò)心的直線與C交于A,B兩點(diǎn),M是線段A8的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)人(不乂)(占卜尸0)的直線/的方程為

x/+2yy=2,直線/與QM交于點(diǎn)N,求證：44居N為定值.

19.己知橢圓C：W+馬=1(a>。>0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為〃，直線的斜率為正，且原點(diǎn)到直

ab2

線尸M的距離為遠(yuǎn).

3

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l-y=kx+m^k<0,〃?>0)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且與圓f+y?=1相切.試探究4

A3尸的周長(zhǎng)是否為定值，若是，求出定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

/X(lbXTT

20.已知A(—2a,0),B--a.O(?>0),點(diǎn)尸滿(mǎn)足3pA8=28PA3-AB，點(diǎn)P的軌跡為曲線

(1)求「的離心率；

(2)點(diǎn)K為x軸上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K作直線34，4交「于點(diǎn)C，。，/2交『于點(diǎn)區(qū)F,M,N分別

為CD,EF的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K作x軸的垂線交MN于點(diǎn)。，設(shè)CD,EF,OQ的斜率分別為占，%，勺，求

證：%(匕+自)為定值.

22

21.已知橢圓C:土+乙=1的右焦點(diǎn)為尸，左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)尸任作一條直線/,與C交于

43

異于A,B的M,N兩點(diǎn)、.

(1)設(shè)直線M4,MB的斜率分別為跖A,kMB,求證:儲(chǔ)小為定值;

(2)設(shè)直線NB的斜率為左地，是否存在正常數(shù)2,使得%?=2除8?若存在，求出4的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

高考預(yù)測(cè)三：定點(diǎn)問(wèn)題

方法總結(jié)：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：

(1)”特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程,

再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

(3)求證直線過(guò)定點(diǎn)(七,%),常利用直線的點(diǎn)斜式方程y—%=z(x-%)或截距式丫=履+6來(lái)證明.

22.已知橢圓C:5+￡=1S>"O)的離心率e=g,橢圓上的點(diǎn)與左、右頂點(diǎn)所構(gòu)成三角形面積的最大

值為2石.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)的直線4，4的斜率分別為小,勺，滿(mǎn)足占"=-2,4交C于點(diǎn)瓦F,1交C于點(diǎn)

G,H,線段E尸與GH的中點(diǎn)分別為判斷直線MN是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)求出該定點(diǎn)；若不過(guò)定

點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

23.已知橢圓C：!+g=l(a>6>0)過(guò)點(diǎn)(省,￡),且離心率為當(dāng).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸(0,1)的兩條直線分別和橢圓C交于不同兩點(diǎn)A,B(A,B異于點(diǎn)P且不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng))，直線

PA,陽(yáng)的斜率分別為％,k2,且尢/=1.試問(wèn)直線A3是否恒過(guò)一定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若

不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

221

24.己知橢圓C：r]+v方=1(°>6>0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,離心率為E為橢圓C上一點(diǎn)，

9

斯_Lx軸，且△￡?!尸的面積為了.

4

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/與橢圓C交于產(chǎn),。兩點(diǎn)，河為尸。的中點(diǎn)，作射線QM交橢圓C于點(diǎn)R,交直線/'：x+2y-4=0

于點(diǎn)N,且滿(mǎn)足|OM|?|ONHOR|2,證明：直線/過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

25.已知橢圓E：4+4=1(a>b>0),A、B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn).點(diǎn)M(4,0),。為坐標(biāo)原

a~b

點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于|0加|,離心率為手.

⑴求橢圓E的方程；

(2)過(guò)M作垂直于x軸的直線/,P為/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，叢與橢圓E交與點(diǎn)C,尸8與橢圓E交與點(diǎn)。.求

證：直線過(guò)定點(diǎn).

第13講解析幾何中的定點(diǎn)定值最值問(wèn)題

高考預(yù)測(cè)一：最值問(wèn)題

方法總結(jié)：圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍：

(4)利用己知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

類(lèi)型一：弦長(zhǎng)或面積問(wèn)題

1.在平面直角坐標(biāo)系X0X中，已知點(diǎn)A(2,6),8(4,0),C是線段的中點(diǎn)，P是平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)

足|PC]=2|陽(yáng)，記點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線E.

(1)求曲線后的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)8的直線/與曲線E交于M,N兩點(diǎn)，若的面積是△OBN的面積的3倍，求直線/的方程.

【答案】(D(x-5)2+(y+l)2=8；

(2)x+y-4=0.

【解析】

【分析】

(1)應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求曲線E的方程；

(2)當(dāng)直線/斜率為0時(shí)顯然不滿(mǎn)足題設(shè)，令直線/為*=。+4,聯(lián)立曲線E,應(yīng)用韋達(dá)定理求得

%+%、%以關(guān)于參數(shù)k的表示式，再由面積的數(shù)量關(guān)系可得加=-3%，即可得關(guān)于k的方程，求出A

即可得直線方程.

(1)

令尸(x,y),由題意知:C(l,3),又|pq=2|P5|,

所以(x——3)2=4[(X-4)2+/],整理得：(x-5)2+(y+l)2=8.

故曲線E的方程為(X-5)2+(>+1)2=8.

⑵

由（4-5）2+（0+1尸=2<8知：*4,0）在曲線E內(nèi)部,

要使△OBM的面積是△OBN的面枳的3倍，即I為1=31%I，

當(dāng)直線/斜率為。時(shí)，直線/為）=0,此時(shí)△OBM、△08N的面枳均為0,不滿(mǎn)足題設(shè);

令直線/為x="+4,代入曲線E中,整理得:（1+公）/+2（1-外〉-6=0,

所以丫"+%=：：1?，則％=-3%，

=

所以加+%=-2%=|1,十/K,2，得：TI"7iTKF-則加=1i"i-K2

又加6=一%粵=-13,整理得：(2+1尸=0,即％=-1，

(1+2)1+Z

所以直線/為％=-丁+4,即x+y-4=0.

2.如圖所示，已知拋物線C：V=2x,過(guò)點(diǎn)P（0,l）的直線/交C于不同的4,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在P,B之

間），記點(diǎn)A,8的縱坐標(biāo)分別為％,為，過(guò)4作x軸的垂線交直線08于點(diǎn)。（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（2）求△04。的面積的最大值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

~27

(2)—

64

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意設(shè)直線/的方程為、=丘+1（人工0）,進(jìn)而與拋物線聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可;

⑵結(jié)合⑴得”口2華。,2）,直線的尸丁2‘進(jìn)而得打卡2，故△瓶的面積

5=%2?-用=；（2#-對(duì)，y,￡（0,2）,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)〃x）=2x3-d,x?0,2）的最值即可得

答案.

⑴

證明：由題意，直線/的斜率顯然存在,

設(shè)直線/的方程為廣質(zhì)+1(b0),

y=kx+l

聯(lián)立方程組,可得b2-2y+2=0,

y2=2x

2

2所以小腎1

所以%。

△=4—8%>0

(2)

解：由(I)可得△=4一8々>0,解得％<?!?且人工0.

2

因?yàn)辄c(diǎn)A在尸，B之間，所以％=紀(jì)生包2

2k1+J1-2k

%2

所以ye(O,2),直線08：'=~^x=-X

%%

2

/2、2y,2

設(shè)點(diǎn)。3,為J,由點(diǎn)n在直線°8：y=—x上可得知=，

%y2

122

所以△OAO的面積S=4x斗x%-工.

22y2

因?yàn)镴=l-g，所以5=9得**y=用2%-用，

必y22<yj411

又yw(O,2),所以5=￥囚「第=；(2才_(tái)槨)，y,e(O,2).

令/(x)=2x3-x4,XG(0,2),貝ij/r(x)=6x2-4x3=2x2(3-2x),

所以f(x)在(o<|)上單調(diào)遞增，在悖2)上單調(diào)遞減，

所以〃同=2?|).(|)啜.

所以S而=13于27=27,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)3取最大值.

416642

27

即△04。的面積的最大值是.

764T

3.已知橢圓C:￡+《■=1過(guò)A(-3,0),8(0,7)兩點(diǎn).設(shè)“為第一象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線M4與

ab

y軸交于點(diǎn)P,直線MB與X軸交于點(diǎn)。.

(1)求橢圓C的方程及離心率；

(2)設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為A,求證：三角形A'BQ的面積等于三角形AP。的面積；

(3)指出三角形"PQ的面積是否存在最大值和最小值，若存在，寫(xiě)出最大值，最小值(只需寫(xiě)出結(jié)論).

【答案】⑴(+y2=l,e=—；

(2)證明見(jiàn)解析；

(3)存在最大值，且最大值為當(dāng)自二D.

2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)可得a=3,b=l,進(jìn)而求出c,即可得出結(jié)果;

(2)設(shè)點(diǎn)”(入。,%)(0<%<3,0<為<1),利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線例A、M8的方程，求出點(diǎn)P、。的坐標(biāo)，進(jìn)

而表示出凡小、S.KBQ,利用分析法證明S^APQ=S.A，"即可；

2

⑶由⑵可得工”/?2=5AAM^,一雙松。+S.”。］),進(jìn)而可得-(yj9-X0+x0)--,

令g(x)="^7+x(0<x<3)，利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)a即可得出結(jié)果.

(1)

由題意知，桶圓G5+耳=1過(guò)點(diǎn)4(一3,0),B(0,-l),

ab~

所以4=3,b=l,所以C=J7二^=2行，

所以橢圓C的方程為：(+>2=1,離心率為6=迪；

93

(2)

由題意知，4(3,0),設(shè)點(diǎn)加(%,%)(0</<3,0<%<1),得原》=鼻，&8=叢里,

所以直線M4的方程為：y=』、(x+3),直線MB的方程為：y=

x()+3%

所以P(0,且、)，。(上,0),所以|。尸|=居,1401=3+2,1401=3-'^,

故Lw=』AQM=；x(3+舌)x含，Sw=；|A'Q||OB|=；x(3-*),

乙乙為〒,人()TJ乙/J0~r1

3

要證Swp=SJ,BQ,只需證(3+2])X'°=3---,

%+1%+3%+1

只需證3yo(3%+x0+3)=(3%-%+3)(x0+3),

2

只需證9y(：=9—xQ,

Y2

又點(diǎn)M(%,九)在橢圓上，所以\-+為2=1,即9%2=9—與二

所以SHQ=A，BQ；

⑶

三角形MPQ的面積存在最大值.

由⑵知,S4APQ=S^A/Q，9%2=9-/2,得3%=j9-x02,

S.MPQ=S?MAL⑸%+)=s4MlM，-(S,吸+S,MQ])

=；1A%-(；IA0OB|+；IAQ[%)=3%-；(3-^j)(%+1)

，zz/X)十1

=；(3%+%)_^=；(\/9_/2+/)-3,

?----Jg—工2_y

令g(x)=j9-f+x(0〈xv3)，則g'(x)=-/，

\19-x

令g'(x)>0=0<x(半，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

令g’(x)<0n亭<x<3,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)m*=g(￥)=1+乎=30,

即當(dāng)飛=半時(shí)，又有最大值，且最大值為三與12,無(wú)最小值.

所以三角形MPQ的面積存在最大值，無(wú)最小值，且最大值為逆心.

2

2o

4.已知點(diǎn)M是橢圓C：,+a=1(。>6>0)上一點(diǎn)，"，用分別為橢圓C的上、下焦點(diǎn)，|耳閭=4,

當(dāng)N￡Mg=90。，△耳MF?的面積為5.

(1)求橢圓C的方程:

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)尸2的直線/和橢圓c交于兩點(diǎn)A，B,是否存在直線/,使得AOA馬與△0此（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的

面積比值為5：7.若存在，求出直線/的方程：若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）'+：=1

（2）存在，"土姮x-2

15

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)焦距可求出c,再根據(jù)/6a=90°以及△耳ME的面積可求出a,b,即得橢圓方程;

（2）設(shè)直線方程并和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)AO4鳥(niǎo)與△OB￡的面積比值為5：7,

得到相關(guān)等式否=-5馬，聯(lián)立根與系數(shù)的關(guān)系式化筒，即可得到結(jié)論.

（1）

由I耳段=4=2cnc=2,

由％咋=；|阿?%|=5=|%.明段=10.

NRMG=90。,故|岫『+|M歐=?

閭y=|岬|2+|岫|2+2慳周.周=36,

I.司=6=2ana=3,

b2=a2-c2=5,

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+三=1.

95

（2）

假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線/存在，

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，不合題意，

不妨設(shè)直線/：y=kx-2,A（X|,yJ,8（々,％），顯然%*2＜。，

y=kx-2

聯(lián)立，y2X2，得（5/r+9）f—20h—25=0,

---1---=1

95

20k

x+x

i25公+9⑴

所以

中2二3⑵

因?yàn)镾0Wi=l-c-|x2|,得*2=

即X]=—（3）,

7（）Zr

由（1）,（3）,得工2=〃2Q（4）,

Drv十V

將（1）（4）代入（3）得二=_!_=人士姮,

1515

所以直線/的方程為y=±*x-2,

故存在百線/，使得AOA6與△。明的面積比值為5：7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關(guān)系，涉及到橢圓中的三角形面積問(wèn)題，解答時(shí)一般思

路是要將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，再將該關(guān)系式代入到相關(guān)等式中化簡(jiǎn)，其中

計(jì)算量大,多是關(guān)于字母參數(shù)的運(yùn)算，要求計(jì)算準(zhǔn)確，需要細(xì)心和耐心.

22

5.如圖所示，已知橢圓C:工+匕=1與直線/：；+與=1.點(diǎn)P在直線/上，由點(diǎn)P引橢圓C的兩條切線

6363

PA>PB,A、B為切點(diǎn),。是坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若點(diǎn)尸為直線/與y軸的交點(diǎn)，求△PAB的面積s；

（2）若0DLA5,。為垂足，求證：存在定點(diǎn)Q,使得為定值.

【答案】⑴4；

（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

（1）可得點(diǎn)尸（0,3）,設(shè)切線方程為>=丘+3,將切線方程與橢圓方程聯(lián)立，由判別式為零可求得k的

值，可知P4_LPB,求出兩切點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出儼?|PB|,利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；

（2）設(shè)A（±，x）、35,必），可得出切線如、尸8的方程，設(shè)點(diǎn)尸（辦〃），求出直線A3的方程，可得出

直線A8過(guò)定點(diǎn)T,由，AB結(jié)合直角三角形的幾何性質(zhì)可得出結(jié)論.

（1）

解：由題意知P（0,3）,過(guò)點(diǎn)P與橢圓相切的直線斜率存在，設(shè)切線方程為了=履+3,

y=kx+3

聯(lián)立可得（2二+1卜2+12履+12=0,（*）

x2+2y2=6

由A=144/—48（2公+1）=48（/一1）=0,

可得左=±1,即切線方程為y=±x+3,所以，PA1PB,

將女=1代入方程（*）可得/+4犬+4=0,可得x=-2,此時(shí)y=l,

不妨設(shè)點(diǎn)A（—2,1）,同理可得點(diǎn)8（2,1）,歸川=|P耳=5+（1-3）2=2夜,

因此，S-||PA|-|PB|=4.

（2）

證明：先證明出橢圓<+<=1在其上一點(diǎn)M（%為）處的切線方程為華+岑=1,

6363

因?yàn)辄c(diǎn)%）在橢圓：+[=1上，則片+2尤=6,

聯(lián)立63,消去y可得區(qū)+2少_過(guò)+3=0,

上+匕=13633

,63

整理得爐-2%尤+無(wú)：=0,即（x-x（,）2=0,解得x=x。,

因此，橢圓<+<=1在其上一點(diǎn)例（%,%）處的切線方程為岑+第=1.

6363

設(shè)義西,）1）、8（"%）,則切線抬的方程為乎+繆=1,切線總的方程為笑+斗=1.

363o

松|孫

------1-----

設(shè)P（m,ri）,63

吟佻

.63

所以，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程血+2〃y-6=0,

所以，直線A8的方程為，我+24-6=0,

因?yàn)辄c(diǎn)尸(見(jiàn)〃)在直線:+]=1上，則加+2”=6,則2"=6-〃?’

所以，直線AB的方程可表示為mx+(6-/n)y-6=0,BPm(x-y)+6(y-l)=0,

[x-y=0|x=l,、

由*),_；=0,可得=故直線A8過(guò)定點(diǎn)

因?yàn)樗?，點(diǎn)Q在以O(shè)T為直徑的圓上，

當(dāng)點(diǎn)。為線段”的中點(diǎn)時(shí)，|。。|=；|07|=,，此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為

故存在點(diǎn)06，￡|,使得為定值日.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程,

再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

(3)求證直線過(guò)定點(diǎn)(％%),常利用直線的點(diǎn)斜式方程=或截距式卜=狂+后來(lái)證明.

6.已知橢圓E:J+g=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為與心，短軸的下端點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-1),且

囤|+|破1=4.

⑴求橢圓E的方程；

(2)設(shè)8,C是橢圓E上異于A的兩點(diǎn)，且直線8c與坐標(biāo)軸不垂直，|AB|=|AC|,8c的中點(diǎn)為G,求四

邊形A"GF?的面積.

2

【答案】(1)三+尸=1

4

⑵華

3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)橢圓的定義和點(diǎn)A在橢圓上建立方程，然后解出方程即可；

(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理表示出線段8C中點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用等腰三角形性質(zhì)建立方

程，最后表示出四邊形AKG鳥(niǎo)的面積即可

(1)

由橢圓E短軸的下端點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,T)

可得：b=l

由k制+|A用=4及橢圓的定義，可得：2a=4,即a=2

所以橢圓E的方程為：—+/=1

4-

⑵

由直線BC與坐標(biāo)軸不垂直，可設(shè)直線8c的方程為y=履+〃伏工0)

代入/+4y2=4并整理得：(4%2+1)+8或+4/-4=0

則A=Mk2n2-4(4爐+1)(4〃2-4)=16(4A：2+1-?2)>0.

設(shè)則有：為+當(dāng)=-4%1,

設(shè)8c的中點(diǎn),則％=-/彳，且%=5+〃=/「

因?yàn)锳B=AC,G為8c的中點(diǎn)，所以AGL3C,可得：鐮,噎=T

則有：比里j=-l,即繼勺一.k=-l

x04kn

~4k2+l

化簡(jiǎn)可得："=竺』

3

所以A=164公+1-4[I)>0

解得：-夜<%<0，且%40

故有：獷舟弋W

則四邊形AEGF?的面積：s=；耳6x(%+%)=；x26x[；+l)=孚.

7.已知在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)尸到耳(-1,0)、&(1,0)兩點(diǎn)的距離之和等于26.

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡E的方程；

⑵若與圓。:公+/=1相切的直線4：丫=丘+“與曲線C相交M、N兩點(diǎn)，直線4與直線4平行，且與曲

S\

線E相切于點(diǎn)A（0、A位于直線4的兩側(cè)），記△3%、△OMN的面積分別為51、S2,求寸的取值范

圍.

【答案】（1）t+*=1;

54

⑵[1,石-1）.

【解析】

【分析】

（I）分析可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以6（-1,0）、6（1,0）為焦點(diǎn)，2石為長(zhǎng)軸的橢圓，求出。、人的值，結(jié)合焦

點(diǎn)的位置可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）由圓0與直線4相切可得出帆|=廬山，設(shè)直線6：）'=區(qū)+"，與曲線E的方程聯(lián)立，由A=0可得

出/=5&?+4,計(jì)算出《的取值范圍，分析可知，加、"同號(hào)，利用三角形的面積公式可得

m

Svt

u=1--，即可求得結(jié)果.

S2m

（1）

解：由題知?dú)w耳|+|尸閭=26>2=1耳用,動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以4（-1,0）、鳥(niǎo)（1,0）為焦點(diǎn),2石為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢

圓.

則Lj,可得“=后，C-\,則匕=Jq2_c2=2，

[2c=2

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為《+￡=1.

54

（2）

解：由題意，原點(diǎn)。與直線4的距離為1,故BPH=x/F7i,

y=kx-\-n

設(shè)直線4：y="+〃，聯(lián)立dy2，可得（4+5〃卜2+]0吐+5〃2-20=0,

154

又直線4與橢圓E相切，所以A=（10奶）2-4（4+5公乂5/-20）=0,整理得“2=5公+4,

\m-n\\in-n\\m-n\

又『與4之間的距離d=,則，二^-------

a+1"-\MN\-I+1hlm

又⑶=*=5-￡

由％2NO,故6[4,5),

因?yàn)?、A兩點(diǎn)位于直線《兩側(cè)，故加、〃同號(hào)，則2w[2,右），

故卜一[e[l,指-1）.即2的取值范圍為

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：

（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；

（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍：

（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

8.己知橢圓C:5+4=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為"、F"橢圓C過(guò)點(diǎn)，直線交丫軸

ab-\2I

⑴求橢圓C的方程；

（2）如圖，菱形ABCD內(nèi)接于橢圓C,菱形中心在坐標(biāo)原點(diǎn).

①求10Al2+|。8『的值;

②求菱形A3CD面積的最小值.

【答案】⑴]+丁=1

2Q

⑵①鴻

【解析】

【分析】

（1）依題意可得PX軸，即可得到c=l,再根據(jù)點(diǎn)尸1，3-在橢圓上及c2=/-〃得到方程組，解得

k?

/、b2,即可得到橢圓方程：

（2）①將橢圓方程化為極坐標(biāo)方程，設(shè)。4的極坐標(biāo)為。=a,則0B的極坐標(biāo)為0=]+a,|Q4|為自，

113

|。耳為。2，即可表示。I、P1-從而計(jì)算可得；②由①可知S"CO=2/?|P2，由彳+二1=不利用基本不等

P\Pl/

式求出。口2的最小值，即可得解

（1）

，+J_=i[2=2

解：依題意函=2函，所以P/px軸，所以c=l,又仁方一，解得匕一，，所以橢圓方程為

c2=a2-b2叩

X22,

—+y-=1：

2'

⑵

解：①將橢圓的方程￡+丁=1化為極坐標(biāo)方程，即（QCOS，）一（）2所以爐=

22v7cos-e+2sirr8

設(shè)菱形的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，故可設(shè)3的極坐標(biāo)為，=a,則0B的極坐標(biāo)為。=]+a,|0川為q,|O網(wǎng)為

1____________2____________

所

2以

。2，則82常=cos2fa+yl+2sin2fa+yl,所以

cos2a+2sin2a

1_sin?a+2cos2acos2a+2sin2asin2a+2cos2a3

所以一f---2=--------------------------------1---------------------一-----,----U--P------rH--------r

22

P\Pl222|0A|10B|2

1J31

而=瓶，所以加制當(dāng)且僅當(dāng)上2,即，七時(shí)取

,-萬(wàn)

②易知SABCD=2piP),42

A2

QO

等號(hào)，所以，Be=20Q2三，所以菱形A5CD面積的最小值為];

22

9.己知橢圓上:鼻+馬=1（〃＞八0）的右焦點(diǎn)為尸，上頂點(diǎn)為C,過(guò)點(diǎn)尸與元軸垂直的直線交E于A,B兩

ab~

點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），。為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形A8OC是面積為6的平行四邊形.

⑴求橢圓E的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)尸（-3,0）,過(guò)點(diǎn)P的直線/交橢圓于點(diǎn)M,N,交y軸的正半軸于點(diǎn)T,點(diǎn)。為線段MN的中點(diǎn),

\PQ\.\PT\=—f求直線/的斜率

4

2

【答案】⑴三+丁=1；

4

(2)k=—.

4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意可寫(xiě)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由四邊形ABOC是平行四邊形可列|AB|=|OC|得到再由

平行四邊形ABOC的面積為石，可求出a,b,c,即可求出答案.

(2)設(shè)直線/的方程為》=〃?-3,把直線與橢圓進(jìn)行聯(lián)立消x,求出％與力，再求出|PQ|與IP71,再利

27

用1尸。川尸丁1=下，即可求出陽(yáng)，進(jìn)而求出斜率h

4

(1)

h2

設(shè)尸(c,0),將x=c代入橢圓方程，得y=±J,

a

所以A[C,—,Bc,——,則|48|=芭-,

\a)\a)a

2b2

由四邊形A80C是平行四邊形知|A8|=|0C|,即絲=b,得a=2b,

a

22

所以C=y/a-b=Cb，

又平行四邊形ABOC的面積S=|OC\-1OF\=be=6，

所以。=2,b=l,c=6,

所以橢圓E的方程為工+y2=l.

⑵

設(shè)T

易知直線/的斜率%>0,則可得直線/的方程為X=，氣y-3,

由A=36m2—20(m2+4)>0,得病>5.

設(shè)M（芭,yJ,W（蒼,），。（%,幾），T（0,月），

hiliJ+以一3m

人“v24+加’

3

在工=沖_3中令X=0,得力=一，

m

所以|人|=行7版%=3%吁,1尸7|=師7乃=出巨，

4+相~m

所以尸71=9（^+1）=烏,

m~+44

解得加=2&或加=-2夜（舍去）,滿(mǎn)足蘇＞5,

綜上，直線/的斜率上=工=正.

m4

10.已知圓E：（X+2）2+Z=24,動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)尸（2,0）且與圓E相切，記動(dòng)圓圓心N的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)尸（2,0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N,且滿(mǎn)足tan/MEN=些_（E為圓E的圓心），求直線機(jī)

3EM?EN

的方程.

【答案】（I）三+片=1

62

（2）X+G），+2=0、