高考備考數(shù)學(xué)專題：以函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的綜合問(wèn)題為解答題

專題三壓軸解答題

第五關(guān)以函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的綜合問(wèn)題為解答題

【名師綜述】

1.本專題在高考中的地位

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所

以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出

2.本專題在高考中的命題方向及命題角度

從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往

往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，

求參數(shù).（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題.（4）考查數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用

類型一用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

典例1【安徽省滁州市2018屆高三上學(xué)期期末考試】已知函數(shù)/（%）=￡—%—lnx.

（1）求函數(shù)/（九）的極值；

（2）若X],%是方程◎+/（%）=*—%（。＞0）的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求證：

1叫+lnx2+21n。＜0.

【解析】（1）依題意，==（2x+l）（l）

XXX

故當(dāng)xe（O,l）時(shí)，f（x）＜0,當(dāng)xe（l,+oo）時(shí)，/（x）＞0

故當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)有極小值/⑴=0,無(wú)極大值.

（2）因?yàn)槠撸?是方程◎+/（x）=M—X的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

{“引一加X(jué)]=0。）兩式相減得。（西―々）+ln迨=0,解得。=—工

ax2-lnx2=0^2）x2-x1

即證[in三]=三_2+上,

、%!J玉％項(xiàng)X2

不妨設(shè)王<X2，令生■=%〉】.只需證In2%<"2+L

%t

1211(]\

設(shè)g(%)=In%-%--F2,「?/(%)=—In%-1H—5——I21n^—t-\—I；

ttt\t)

令丸(。=21皿—t+1，...//(。=？—：!—!=<0,...〃(/)在(1,+8)上單調(diào)遞

ttt1

減，

/z(r)</z(l)=0,；.g'(/)<0,；.g(。在(l,+oo)為減函數(shù)，g(/)<g(l)=0.

即ln2r</-2+1在(1,+co)恒成立，，原不等式成立，即In%]+lux?+21na<0.

【名師指點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖像、極值點(diǎn)、最值、零點(diǎn)等性質(zhì)，

常用的到的方法為：1、利用對(duì)于確定函數(shù)求單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，先求定義域，然后解不等式

f(x)>0和定義域求交集得單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f'(x)<0和定義域求交集得單調(diào)遞

減區(qū)間.

2、對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，可結(jié)合函數(shù)圖象判斷.

3、求函數(shù)的極值，先求f(x)=0的根%,再和函數(shù)定義域比較，如果落在定義域外或者落

在定義域端點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)，無(wú)極值；當(dāng)落在定義域內(nèi)時(shí)，將定義域分段，分別考慮為兩

側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)，從而判斷是否有極值.

4、求函數(shù)的最值和求極值類似，先求f(x)=0的根％,如果落在定義域外或者落在定義域

端點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)，利用單調(diào)性求最值；當(dāng)落在定義域內(nèi)時(shí)，將定義域分段，分別考慮飛

兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)，從而判斷函數(shù)大致圖象，從而求最值.

【舉一反三X天津市部分區(qū)2018屆高三上學(xué)期期末考試】已知函數(shù)/(x)=liix+a(l-x),

awR.

(1)討論了(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=-g時(shí)，令g(x)=%2-1一2/(%),其導(dǎo)函數(shù)為設(shè)玉是函數(shù)g(x)

的兩個(gè)零點(diǎn)，判斷七三是否為g'(x)的零點(diǎn)？并說(shuō)明理由.

【解析】⑴依題意知函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)?0,+8),且r(x)=L—a.

X

①當(dāng)aWO時(shí)，/(%)>0,所以/(%)在(Q+00)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)a>0時(shí)，由/'(九)=0得：%=-,

則當(dāng)時(shí)/'(%)>0；當(dāng)+時(shí)/'(x)<0.

所以/(x)在(02)單調(diào)遞增,在［L+8］上單調(diào)遞減.

(2)七強(qiáng)不是導(dǎo)函數(shù)g'(x)的零點(diǎn).

證明如下：由(I)知函數(shù)g(x)=A：2-21nx-％.

;西，Z是函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)

無(wú)；-21nxi.玉=0=｛石2_玉=21nxi

兩式相減得

2

x2-21nx2_%2=。武―/=21nx2

(%—石+%—1)=2(1叫一1噸)

2(lwa-lnx9)

即：^+%2-1=-^—!----U

一百-x2

2

又g'(%)=2%----1.

x

則g，［―卜石+々__4__14

\2J玉+兄2%+%2

設(shè)t-——,<0</</，/.0<，v1,

令9(/)=ln”史力(—if

(p'(t)=-

t+1——Ld+1)2

又0</<1,在(0,1)上是增函數(shù),

則0(。<0(1)=0,即當(dāng)0</<1時(shí),

從而(imq-lux?)-幺*——<0,

一玉+x2

(1%-1噸)-n口

又0<玉<%=>玉一/<0所以

石一9玉+x2

玉十%2>0,所以生產(chǎn)不是導(dǎo)函數(shù)g'(x)的零點(diǎn).

類型2導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與不等式

典例2已知函數(shù)=+at-lnx,aGH.

(1)若函數(shù)/(x)在［1,2］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)令g(?=/(%)-爐,是否存在實(shí)數(shù)a,當(dāng)尤e(O,e］(e是自然常數(shù))時(shí),函數(shù)g(x)

的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)xe(0,e］時(shí)，證明：e2x2>(x+l)lnx.

【答案】(1)a<—5；(2)存在實(shí)數(shù)a=e2,使得當(dāng)xe(0,e］時(shí)g(x)有最小值3；(3)詳

見(jiàn)解析.

17Y2-I-/7Y—1

【解析】(1)f'(x)=2x+a——=——W0在［1,2］上恒成立，

XX

f/?(l)<0aK-L7

令力(%)=2了+<zx-1,有《/、得<7，得a<——.

［^(2)<02

⑵假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使g(x)=6—lnx(xe(O,e］)有最小值3,g，(x)="—竺匚

X-JC

①當(dāng)〃<0時(shí)，g(x)在(0,e］上單調(diào)遞減，^(x)min=g(e)=ae-l=3,a=—(舍去)，

②當(dāng)0<L<e時(shí)，g(x)在［()-］上單調(diào)遞減，在［士/上單調(diào)遞增

aVaJ\a

g(x)mm=g［L)=l+ln〃=3,〃=e2,滿足條件.

③當(dāng)，“時(shí)，g(x)在(0,e］上單調(diào)遞減，^(x)min=g(e)=ae-l=3,a=—(舍去),

綜上，存在實(shí)數(shù)〃=/,使得當(dāng)不￡(0,同時(shí)g(x)有最小值3.

2J

(3)4^F(x)=^x-lnx,由(2)知，F(xiàn)(x)min=3.令(%)

九2x

當(dāng)OvxKe時(shí)，^(%)>0,距0在(°，4上單調(diào)遞增

(p(x)=(p(e)=—+—<—+—=3

maxe222

2iInx5

cx—Inx>---1—

x2

即e2x2~~x>(尤+l)lnx

【名師指點(diǎn)】證明不等式/(x)2g(x)成立，可以構(gòu)造函數(shù)"(％)=/(%)-g(x),通過(guò)證明

函數(shù)”(九)的最小值大于等于零即可，可是有時(shí)候利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)”(九)最小值不易，可以

通過(guò)特例法，即證明/(X)的最小值大于等于g(x)的最大值即可.

【舉一反三】【湖南省郴州市一中2018屆高三十二月月考理科】設(shè)函數(shù)

/(x)=a\wc-\---2犬(〃GR).

(1)當(dāng)。=3時(shí)，求”力的極值；

(2)當(dāng)0=1時(shí)，證明：/(X—1)>三—2x+2.

【解析】

(1)當(dāng)a=3時(shí)，/(x)=31nxH---lx,

2%2—3x+1(2x-l)(x-l)

(x>0),

當(dāng)時(shí)，/'(%)<0,/(%)在［。,￡|上單調(diào)遞減；

當(dāng)寸，/'(x)>0,/(%)在g,l］上單調(diào)遞增；

當(dāng)X￡(l,+co)時(shí)，,/(%)在(1,+00)上單調(diào)遞減.

所以，當(dāng)x=g，/(X)取得極小值d；］=l—31n2；

當(dāng)x=l時(shí)，〃力取得極大值〃1)=—1.

(2)證明：當(dāng)a=l時(shí)，/(x-l)=ln(x-l)+--—2(x—1),x>l,

X-1

所以不等式/(x—1)>三—2x+2可變?yōu)閘n(x—1)+，>三.

ex1e

要證明上述不等式成立，即證明(x—l)ln(x—l)+l〉上

設(shè)g(x)=(九一1)1n(%一1)+1'則g'(x)=1+山(工一1),

令g'(x)=O,得x=l+1,

在上，g'(%)<0,g(x)是減函數(shù)；在1l+L+oo]上，g'(x)〉O,g(x)是

增函數(shù).

所以g(x"g[l+)=1一：

令“丸/(、動(dòng)e=(七x-一l)，則,、e(2-x\

在(1,2)上，"(%)>0,/?(%)是增函數(shù)；在(2,+8)上，h\x)<0,人(尤)是減函數(shù)，

所以/z(x)〈/z(2)=1<1—』，

所以/z(x)<g(x),即e(:1)<+],BP(x-l)ln(x-l)+l>x，

由此可知/(x—1)>二—2x+2.

類型三、恒成立及求參數(shù)范圍問(wèn)題

典例3【安徽省蚌埠市2018屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢查】已知函數(shù)/(x)=lnx,

g(x)=(a-e)x+2Z?(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，/(%)).

(1)若函數(shù)/(%)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切于x=:處，求的值；

(2)當(dāng)2〃=e—a時(shí)，若不等式〃x)Wg(x)恒成立，求a的最小值.

【解析】(1)a=2e,/?=-1.(過(guò)程略)

(2)☆/z(x)=/(x)—g(x)=lm:+(e-Q)%-(e-Q),則/z'(x)=_+(e_a),

當(dāng)aKe時(shí)，h(x)單調(diào)遞增,而力⑴二0,

xe(1,+00)時(shí)，/z(x)>0不合題意

當(dāng)時(shí)，令=則元=----,

a-e

???〃(x)為減函數(shù),

??.xe］o,」一］時(shí)，〃(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增，

xe1---,+oo］時(shí)，〃(x)<0,入⑴單調(diào)遞減，

二丸max(X)=力=-ln(a-e)-l-(e-a)<0,

即ln(a-e)2(a-e)-l.(△)

但Vx>0,lnx<x—1,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)且x=l.

故(△)式成立只能a—e=l

即a=e—l.

【名師指點(diǎn)】將已知恒成立的不等式由等價(jià)原理把參數(shù)和變量分離開(kāi)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知函

數(shù)的最值問(wèn)題處理，關(guān)鍵是搞清楚哪個(gè)是變量哪個(gè)是參數(shù)，一般遵循“知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)

是變量；求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)是參數(shù)”的原則.常用方法有參變分離法和構(gòu)造函數(shù)法.

【舉一反三】已知函數(shù)/'(x)=gx?+(a-l)lnx,?>1.

⑴求/(幻的單調(diào)區(qū)間；

⑵若g(x)=(2-a)x-lnx,于(x)>g(x)在區(qū)間[e,+8)恒成立,求a的取值范圍.

解析：(l)/(x)的定義域?yàn)?0,+oo).

.ci—1—CIX+ci-1(x—1)(%+1—4)z.

/(%)=%—[+——=-------------=-——---------,(i)若Q—1=1即〃=2,則

XXX

,(Y-1)2

f(x)=------故/(%)在(0,+8)單調(diào)增加.(ii)若〃一1<1,而故則當(dāng)

'X

XG(6Z-1,1)時(shí)，/(X)<0；

當(dāng)無(wú)￡(0,〃一1)或(1,+00)時(shí)，/(X)>0；故/(X)在(〃一1,1)單調(diào)減少，在

(0,a—1),(1,+8)單調(diào)增加.(iii)若a—1〉1,即a>2,同理可得/(x)在(1,a—1)單調(diào)減

少，在(0,1),(a—1,+8)單調(diào)遞增.(2)由題意得/(x)—g(x)=gd+ainx—2x20恒成

立.亍殳F(x)=/(x)-g(x)=工％2+ainx-2x,則F'(x)=x+q—222G-2>0，所

12x

以FQ0在區(qū)間［e,+8)上是增函數(shù)，只需F(e)=g/+a-2eN0即aN26-；/.

【精選名校模擬】

1.【山東省濟(jì)南市2018屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)】已知函數(shù)/(%)=依—lnx(a￡R).

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)%,%2，證明----1----->2.

］叫l(wèi)nx2

【解析】1)/,(x)=a--=^^(x>0)

XX

當(dāng)aWO時(shí)，/'(尤)<0,所以“X)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a〉0時(shí)，/'(尤)=0,得x=1

Vxe］o，￡|都有/'(x)<°，/(x)在'J上單調(diào)遞減；

Vxe^—,+oo^j/'(x)>0,/(x)在］,+oo］上單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)aWO時(shí)，〃尤)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)a>0時(shí)，“X)在［。,￡|單調(diào)遞減，/(%)在［,+，|上單調(diào)遞增.

(2)函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為七,%2，不妨設(shè)％1<冗2則

1叫一ax1=0,lnx2-ax2=0

lnx2_1叫=Q(%2―芯)

要證：工+」-〉2

1叫h\x2

只需證：工+,〉2a只需證：五士三〉a

%x22玉％2

nf、十x,+xlnx-lux,

只需證：-~9->---9------1

2%々X2一玉

只需證：其二E>ln三

2X1X2%

設(shè)。⑺=1加一《"；［,則"⑺=^^<0,

即函數(shù)。⑺在（1,+00）單調(diào)遞減

則阿）<41）=0

即得」-+」_〉2

liLXjlnx2

2.【河南省周口市2018屆高三上學(xué)期期末抽測(cè)調(diào)研】已知函數(shù)

/（x）=x2-8x+Qln%（Q￡?

（I）當(dāng)X=1時(shí)，/（%）取得極值，求。的值；

（II）當(dāng)函數(shù)/（九）有兩個(gè)極值點(diǎn)玉,％&<々），且X戶1時(shí)，總有生匕〉（/〃—2）

］一再

（4+3%一年）成立，求加的取值范圍.

【解析】（I）/（x）=2x-8x+a（x〉o）,/⑴=o,則q=6

X

檢驗(yàn)a=6時(shí)，/'(x)=^————^(x>0),

所以時(shí)，/'（%）>0,〃尤）為增函數(shù);

%?1,3）時(shí)，/'（x）＜0,〃尤）為減函數(shù)，所以x=l為極大值點(diǎn)

（II）/（力定義域?yàn)椋?,+8）,有兩個(gè)極值點(diǎn)和々（石＜/），則t（x）=2%2-8x+a=0

在（0,4。。）上有兩個(gè)不等正根

A=64-8〃>0

所以｛t(0)=a>0,所以0<a<8

x=2>0

x+x=4

129%2=4—西

｛玉九2=1.所以｛。=2%]%2=2不(4一Jr),所以0<玉<2

C0<x1<x29

0<x1<x2

這樣原問(wèn)題即0＜石＜2且工尸1時(shí)，生也＞（加—2）（4+3%一才）成立

1X]

印2%(4—3)1叫

>(m-2)(4-x1)(x1+1)

即2xJ叫〉（加_2）（石+1）

1X]

叫（仙）

即私竺一（相—）（）〉即』-21+*2”I

L2%+10,>0

1%[1X]

0<玉(1時(shí)上。

且｛'

1<%<2時(shí)上＜0

1-再

m-2^x2-1

設(shè)=21nx+(0<x<2)

X

(加一2)%2+2x+(m-2)

〃(x)=(0<x<2)

x2

2

①m=2時(shí)，"＞0,

所以從九）在（0,2）上為增函數(shù)且〃⑴=0,

所以，1￡（1,2）時(shí)，/z（x）＞0不合題意舍去.

②相>2時(shí)，/z'(x)>0同①舍去

③m<2時(shí)

(i)A<0,即時(shí)可知”(％)K0,在(0,2)上網(wǎng)力為減函數(shù)且力⑴=0,

這樣0cx<1時(shí)，力(％)>0,1<%<2時(shí)力(%)<0,

r(m-2)(x2-1)

這樣一匚21n%+-----△----)-〉0成立

1-xx

(ii)A>0,即/<加<2時(shí)”(x)分子中的一元二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=a^>l開(kāi)口向下,

且1的函數(shù)值為2(刀—1)>0

令a=min{S—,21，則xe(l,a)時(shí)，/z'(%)>0,力⑴為增函數(shù)，A(l)=0

所以，可力>0故舍去

綜上可知：m<l

3.【廣西南寧市第二中學(xué)2018屆高三1月月考(期末)】已知函數(shù)/(x)=ln%+@-1,

aeR.

(1)若關(guān)于X的不等式1在［1,母)上恒成立，求。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=〃^,若g(x)在［1］］上存在極值，求a的取值范圍，并判斷極值

X

的正負(fù).

【解析】(I)由/(九)?；九一1,Wlnx+--l<^x-l.即QK—xlnx+g/在［I,+QO)上

恒成立

設(shè)函數(shù)冽(%)=一%1"+］%2,X>1.則m'(%)=-bu+x-l.

設(shè)〃(%)=-lnx+x-L則〃1犬)二----bl.易知當(dāng)時(shí)，〃'(x)N0.

X

?"(%)在上單調(diào)遞增，且〃(%"〃(1)=0.即加(%)之初⑴=0對(duì)x?L+oo)恒

成立.

加(%)在［1,+8)上單調(diào)遞增.

二,當(dāng)x￡[1,+8)時(shí)，m(x)>m(%)min=機(jī)⑴=g

a<—,即a的取值范圍是(一oo,工.

2I2」

(II)g(x)=^^+=-Lxe「l,e2］.

XX~XL」

.,/x_1-Inx12a_2x-xlnx-2a

??g(x)=----1—T—=------------；------

設(shè)/z(x)=2x-xl依一2a,則/z'(x)=2—(l+bix)=l—bix.

由”(九)=0,得％=6.

當(dāng)lWX<e時(shí)，/:'(%)>0：當(dāng)6<%<02時(shí)，/z'(%)<0.

/?)在［1,e)上單調(diào)遞增,在(e,e2］上單調(diào)遞減.

且/z(l)=2-2a,h(e)=e—2a,h^e2^=-2a.

顯然

結(jié)合函數(shù)圖象可知，若g(x)在［I4?］上存在極值,

Ae)>01>0

則｛J(或｛/2、

/1(1)<0h(e2)<Q

//(e)>0

(i)當(dāng)｛,即時(shí),

//(!)<02

則必定玉：］,%2使得人(玉)=入(々)=0,且1<%<e<々<e?.

當(dāng)x變化時(shí)，h(x),g\x),g(x)的變化情況如下表:

X(1,石)再%(%,/)

/z(x)-0+0-

g1(x)-0+0-

g(x)極小值/極大值

.,.當(dāng)l<a<"|時(shí)，g(x)在［l,e］上的極值為ga),g(%2)，且ga)<g(X2),

(%)=也+=一1_-xx+a

.g

王

設(shè)0(x)=xlm:-x+Q,其中l(wèi)<x<e.

V^7,(x)=lnx>0,A0(x)在(l,e)上單調(diào)遞增，^(X)>^(1)=<7-1>0，當(dāng)且僅當(dāng)％=1

時(shí)取等號(hào).

1<%!<e,?，?g(%)>0.

?,?當(dāng)1<a<"I■時(shí)，g(%)在［1,/］上的極值g(%)>g(%)>0.

“1)20

(ii)當(dāng)｛/；、，即0<〃01時(shí)，

h(e2)<0

則必定土：3￡0,/)，使得力(F)二。.

易知g(x)在(1,思)上單調(diào)遞增，在(0/］上單調(diào)遞減.

2

此時(shí)，g⑴在［11］上的極大值是g(%)，且g(X3)〉g(e2)=，^〉0.

.?.當(dāng)0<a<l時(shí)，g(x)在［11］上的極值為正數(shù).

綜上所述：當(dāng)0<。<：時(shí)，g(x)在［142］上存在極值，且極值都為正數(shù).

注：也可由g'(x)=0,^2a=2x-xlnx.令/z(x)=2x-xbu后再研究g(x)在［1,/］上

的極值問(wèn)題.

4.【衡水金卷2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試卷】已知函數(shù)

/(%)=tz(x-l)2+lnx,aeR.

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，求函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)尸(1,〃功處的切線方程；

(2)當(dāng)〃二一1時(shí)，令函數(shù)g(x)=/(x)+lnx-2x+l+/n,若函數(shù)g(x)在區(qū)間—上

有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【解析】⑴當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=2(x-l)2+lnx=2x2-4x+lnx+2.

當(dāng)元=1時(shí)，f(l)=0,所以點(diǎn)尸(1,/(1))為尸(1,0),

又/'(X)=4X—4+L,因此左=/(l)=l.

因此所求切線方程為y—0=1x(%—l)ny=%—1.

(2)當(dāng)〃二一1時(shí)，g(x)=21nx-x2+m,

則7(%)=―2%=」——△——<

xx

因?yàn)閤e-,e,所以當(dāng)g'(x)=0時(shí)，x=l,

且當(dāng)一<x<l時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)l<x<e時(shí)，g'(x)<0；

故g(x)在x=1處取得極大值也即最大值g(l)=m-l.

又=加一2一±,g(^e)-m+2-e2,

g(e)-g[']=m+2—/―m+2+J=4-e2+<0,

則g(e)<g]]，所以g(x)在區(qū)間上的最小值為g(e),

故g(x)在區(qū)間：,e上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是

g⑴-m—\>0

g\-\=m-2——j-<0e1

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是2+J.

5.【湖北省武昌2018屆元月調(diào)研考試數(shù)學(xué)】已知。的實(shí)常數(shù)，函數(shù)/(九)=產(chǎn)一2—

(1)討論函數(shù)“X)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(龍)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)石,々(為<々)，

(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(ii)證明：%,+x2>2.

%—2

【解析】試題解析：(1)f'(x)=e—ci.

當(dāng)aWO時(shí)，f(x)>0,函數(shù)在(—00,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，由/一。=0,得l=2+lna.

若x>2+lna,則/'(x)>0,函數(shù)/(%)在(2+lna,+8)上單調(diào)遞增；

若x<2+lna,則/'(九)<0,函數(shù)/(%)在(-8,2+lna)上單調(diào)遞減.

(2)(i)由(1)知，當(dāng)aWO時(shí)，/(尤)單調(diào)遞增，沒(méi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

當(dāng)a>0時(shí)，“X)在x=2+lna處取得極小值.

由/(2+Ina)=e111"—a(2+Ina)<0,得a〉工.

所以a的取值范圍為+8)

(ii)由e*—2一。x=0,得x-2=ln(ax)=lna+lnx,即x-2-lnx=lna.

所以玉—2_1叫=x2-2-lnx2=Ina.

令g(%)=x—2-lnx,則g'(尤)=[——.

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0.

所以g(x)在(0,1)遞減，在(1,+8)遞增,所以。<再<1<々.

要證石+%2>2，只需證％2>2-%>1.

因?yàn)間(x)在(1,+00)遞增，所以只需證g(%2)>g(2—%).

因?yàn)間(xj=g(%2)，只需證g(%)>g(2—匹)，即證g(石)一g(2—%)〉。.

令/?(%)=g(%)-g(2-x),0Vx<1,則/(x)=gr(x)-gr(2-x)=2-f—+—-—

\x2—x

因?yàn)楣---=—r%+-+^—|>2,所以〃(x)WO,即/z(x)在(0,1)上單調(diào)

x2-x2Lx2X/

遞減.

所以/z(x)>/z(l)=O,即g(%)_g(2_%)>0,

所以石+x2>2成立.

6.【山西省呂梁市2018屆高三上學(xué)期第一次模擬考試】已知函數(shù)/(x)=J-a(x-In%).

(1)當(dāng)aWO時(shí)，試求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若“力在(0,1)內(nèi)有極值，試求a的取值范圍.

,、e'

【解析】(I)/'(%)=—

當(dāng)aWO時(shí)，對(duì)于\/xe(0,+c。)，e云-av>。恒成立，

所以/'(尤)>0=x>l；/'(尤)<0=0<x<10.

所以單調(diào)增區(qū)間為(L+8)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1).

(II)若“力在(0,1)內(nèi)有極值，則/'(X)在％w(0,1)內(nèi)有解.

e-cue

令廣(力==0=^>e%—cix=Q=a=—

x

設(shè)g(x)=Jxe(o,l),

X

所以g.x)=e(I),當(dāng)尤?0,l)時(shí)，g'(x)<0恒成立,

所以g(x)單調(diào)遞減.

又因?yàn)榍揖?6,又當(dāng)X-0時(shí)，g(尤)—七?,

即g(x)在上的值域?yàn)?e,y),

e-ax

所以當(dāng)a〉e時(shí)，_f(x)==0有解.

設(shè)H(x)=e'--依，則H'^=ex-a<0xe(0,l),

所以H(x)在xe(O,l)單調(diào)遞減.

因?yàn)镠(0)=l>0,H(l)=e—a<0,

所以=e"-?在xe(0,1)有唯一解x0.

所以有：

X(0,%)(知1)

H(x)+0—

/(-<)—0+

f(x)極小值/

所以當(dāng)a〉e時(shí)，/(x)在(0,1)內(nèi)有極值且唯一.

當(dāng)aKe時(shí)，當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/'(力20恒成立，〃尤)單調(diào)遞增，不成立.

綜上，a的取值范圍為(e,+8).

7.【四川省2017-2018年度高三“聯(lián)測(cè)促改”活動(dòng)理科數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)/(%)="+lnx.

(1)求函數(shù)y=/'(尤)在XG[1,ZQ)上的最小值；

(2)若對(duì)任意xe[l,+co)恒有/(x)>e+m(x-l),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解析】

(1)由于丁=丸(力=廣(力=/+!，則"(x)=/—4，

XX

則當(dāng)X￡(l,+8)時(shí)，eX>仇4<1,

所以"(力>0,即力⑴在(1,+00)上是增函數(shù)，

于是y在[1,+00)上的最小值為/z(l)=e+l.

(2)考慮函數(shù)g(x)=/(x)-即為g(x)20對(duì)任意xe[L+°0)恒成立,

且發(fā)現(xiàn)g⑴=0,于是g'(x)=L+e-%,

X

由⑴知：當(dāng)根Ve+1時(shí)，g*(x)>0,

此時(shí)g(x)單調(diào)增，于是g(x)?g⑴=0,成立；

若m>e+l,貝ij存在fe(l,+oo)使得：

當(dāng)xe(lj)時(shí)g'(x)<0,當(dāng)xe時(shí)g'(x)>0,

此時(shí)g,加；g(f)<0,矛盾，綜上，m<e+l.

8.【2018廣西賀州桂梧高中聯(lián)考】已知函數(shù)=2X)1IU-|X2+4X.

(1)若/(力在(a,a+l)上遞增，求a的取值范圍；

(2)證明：—4%.

【答案】(1)a=0或a'e(2)詳見(jiàn)解析

【解析】試題分析：⑴要使“力在(a,a+1)上遞增，只需/'(%)20,且不恒等于0,

所以先求得函數(shù)的增區(qū)間，(a,a+1)是增區(qū)間的子區(qū)間。(2)當(dāng)x〉g時(shí)，2—4x<0,

|/'(%)|>2-4x顯然成立.當(dāng)0<x<g時(shí)，即證明

|/'(x)|-(2-4x)=(2x-2)(lnx-l)-2+4x>0,令

=(2x-2)(lnr-l)-2+4x(0<x<g),即求g⑴疝/。，由導(dǎo)數(shù)可證。

試題解析：(1)

/'(%)=(2x-2)liu+^x2-2%)--3x+4=(2x-2)lnx+2-2x=(2x-2)(liu-l),

X

令/'(%)=。,得芭=1，x2=e,

令/'(力>。,得。<%vl,或e'???/(x)在(0,1),(e,+8)上遞增,

??"(x)在("M+1)上遞增,1?〃=?；?/p>

(2)證明：當(dāng)x〉g時(shí)，2—4xv0,>2-4x顯然成立.

當(dāng)0<時(shí)，g(x)=7(x)]-(2-4x)=(2%一2)(lnx-l)-2+4x,

g[x)=2hw—2+4在上遞增，且g[g[=21n；—4+4=—21n2<0,

g'(x)<0,從而g(x)在(0,；上遞減，,8⑺皿=g[]=l+ln2〉0，

Ag(x)>0,即|r(x)|>2-4%.

綜上，|/f(x)|>2-4x.

9.12018安徽馬鞍山聯(lián)考】已知函數(shù)/(%)=絲X-21皿的圖象在x=l處的切線過(guò)點(diǎn)

(0,2—2〃),々,/?￡尺.

Q

⑴若〃+b=],求函數(shù)/(%)的極值點(diǎn)；

(2)設(shè)司,工2(%1W%2)是函數(shù)/(%)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，<芯<1，證明：

|/(x2)-/(x1)|<l.(提示/?7.40)

【答案】(1)!或2；(2)證明見(jiàn)解析.

2

【解析】試題分析：

由題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)切線的關(guān)系可得。=6

(1)由題意可得a=Z；=g,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值可得了(光)的極值點(diǎn)為;或

2.

(2)由導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可得/(七)是函數(shù)〃尤)的極大值，是函數(shù)外力的極小

值，據(jù)此構(gòu)造函數(shù)h(t}=^--lnt=l----lnt,據(jù)此可知

1—+12t+12

，則函數(shù)五⑺在上單調(diào)遞減，據(jù)此可得

/(x1)-/(x2)<4A^=-i^<l.

試題解析：

...,(X)=ax-2x+b^_/，⑴=q+萬(wàn)—2,

X

又/⑴=7,曲線y=〃x)在％=1處的切線過(guò)點(diǎn)(0,2-2辦

a—b—(2—2a).

------------------=a+Z?-2,ci—b.

C1);a+b=—，:.a=b=一,

55

令r(x)=O,得2/—5x+2=0,

解得x=g或2,.?./(x)的極值點(diǎn)為:或2.

（2）是方程r（x）=〃—=0的兩個(gè)根,

X

"X,=1,4==一=一^,

玉+x2玉+1

???/（七）是函數(shù)“X）的極大值，“尤2）是函數(shù)/（尤）的極小值，

二要證|/(尤2)—只需/(%)—/(/)<1,

/、、

f(玉)—f(%)=-------21nxi—cix2-------Zlnx?-2ax1---21nxl

x

、再、X27\\?

=4-IwC1=4

W+1國(guó)2+121)

7\

令,=%：,則與</<J,

e

S＜。，函數(shù)g）在

^h(t)=--^--—lnt=l——-——Lint,貝！Jhf(t)-

'一+12t+12v7

上單調(diào)遞減,

2

"⑺<h

er+l，

8

二/（芯）-/（々）＜4/2<1.

e2+l

10.12018安徽馬鞍山聯(lián)考】已知函數(shù)〃x）=2（x—1）/.

（1）若函數(shù)/（可在區(qū)間（a,+8）上單調(diào)遞增，求/（a）的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=e*-％+0，若存在/e[l,e],使不等式g（%）2/成立，求

實(shí)數(shù)P的取值范圍.

【答案】(1)[―2,+co)；(2)[―e,+co).

【解析】試題分析：

⑴由函數(shù)的解析式可得〃尤)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則/(a)的取值范圍是

[-2,+8)；

(2)原問(wèn)題等價(jià)于存在九°e[Le],使不等式p?(2x0-3)*成立.構(gòu)造新函數(shù)

/i(x)=(2x-3)e"結(jié)合函數(shù)網(wǎng)對(duì)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)p的取值范圍為[-e,+8).

試題解析：

(1)由/'(x)=2xe*>0得x>0,

/(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增，a>0,.,./(?)>/(0)=-2,

/(a)的取值范圍是[-2,+00).

(2)?.?存在使不等式且(左0)22(而-1)*-二成立,

二存在％e[l,e],使不等式/?>(2%0-3)^成立.

令/z(x)=(2x-3)e*,從而p>h^x^mjn(xe[1,e]),

〃(x)=(2x-l)e*,

1.1x>1,2x-1>1,ex>0,h(x)>0,

人(%)=(2%-1"”在[l,e]上單調(diào)遞增，

實(shí)數(shù)p的取值范圍為[-e,+8).

11.【山東省泰安市2018屆學(xué)年高三上學(xué)期期末考試】已知函數(shù)/(x)=2ahw,

g(x)=/(x)+x-L

X

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(%)的曲線上點(diǎn)(e,/(e))處的切線方程；

(2)當(dāng)aWl時(shí)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)X1,吃，其中X]e[o,g,求g(xj-g(x2)的最小值一

9

【解析】⑴當(dāng)a=l時(shí)，/(%)=23所以尸(耳=—(]>0),

X

又〃e)=2

過(guò)切點(diǎn)(e,/(e))的切線方程為

y=_(尤_0)+2

目n2

即：y=-x

e

(2)由題意得：g(尤)=2alnx+%——,x>0

x

,/>,2a,1x2+2ax+1

(%)=一+1+下=-----2—

XXX

令A(yù)=4Q2—4

當(dāng)一1<〃<1時(shí)，g\x)>0,g(x)在(0,8)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)〃〈一1時(shí)，令g'(x)>0,解得：0〈X〈-〃--1或+

令g'(x)<。,解得：-CL-y/a2-1<xv—a+J/一1

綜上，當(dāng)-IV。VI時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,十動(dòng)，

當(dāng)av—1時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為伙—J4一]),(—Cl+Ja2—1,+00)

單調(diào)減區(qū)間為^—(2—J4—d+_])

(3)由(2)知，g(x)=---------，x>0

由題意知，%，/是方程1+2笈+1=0的兩根

%?%=1，%+%2=X2=~

2〃=一再----，??g(%)—g(%2)=g(再)—g—，=2Xj-----x1H—IrtV]

石L%Ixij_

令H(x)=2%---^x+—^Inx//'(x)=2(e_])]nx=2(l+x1(l_'^-\nx

當(dāng)xe〔O,；時(shí)，

.-.H(x)在上單調(diào)遞減，...”(XL="￡]=201n「6

即g(%)—g(々)的最小值為2SRT6

12.12018河南漠河三?！恳阎瘮?shù)〃x)=e*—依—1(。為常數(shù))，曲線y=/(力在與y

軸的交點(diǎn)A處的切線斜率為-1.

(1)求。的值及函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若石(In2,x，ln2,且/(%)=/(羽)，試證明：xr+x2<21n2.

【答案】(1)a=2,單調(diào)遞減區(qū)間為(fo』n2),單調(diào)遞增區(qū)間為(ln2,+?).(2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：⑴求出函數(shù)的，f,Cx)^ex-a,由曲線y=/(x)在與y軸的焦點(diǎn)

A處的切線斜率為—1,解得a=2.通過(guò)/'(%)=靖-2>0,即可求解函數(shù)/(%)在區(qū)間

(-00,歷2)上單調(diào)遞減，在(物2,+8)上單調(diào)遞增.

(2)設(shè)x>質(zhì)2,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)—/(2歷2—左)，分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及

x1<ln2,x2>ln2,且/'(%)=/(々)即可證明.

試題解析：⑴由/(x)=e'—雙—1,nf'(x)=ex-a,

因?yàn)榍€丁=/(x)在與y軸的焦點(diǎn)A處的切線斜率為-1,

所以/<0)=1—a=—l,所以a=2,

所以/(x)=e，-2x-10廣(力=產(chǎn)-2,

由/〈1)=產(chǎn)一2>0,得x>ln2,

由/，(%)=產(chǎn)一2<0,得x<ln2,

所以函數(shù)y="%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-oo,ln2),單調(diào)遞增區(qū)間為(ln2,+oo).

(2)證明：設(shè)1>ln2,所以21n2—x<ln2,

f(21n2-x)=e21112r_2(21n2-x)-l=4+2x041n2-1,

4

令g(x)=y=ex——--4x+41n2(x>In2)

所以/(力=/+4"x—420,

當(dāng)且僅當(dāng)x=ln2時(shí)，等號(hào)成立，

所以g(%)=/(%)—/(21n2—x)在(ln2,-H?)上單調(diào)遞增，

又g(ln2)=0,所以當(dāng)x>ln2時(shí)，g(x)=/(x)-/(21n2-x)>g(ln2)=0,

即/(x)>g(21n2-x),所以/(x2)>g(21n2-x2),

又因?yàn)?(玉)=/(%)，所以/(%)>/(21n2—%)，

由于々>ln2,所以21n2-犬2<ln2,

因?yàn)閄i<ln2,由⑴知函數(shù)y=/(%)在區(qū)間(fo,ln2)上單調(diào)遞增，

所以玉<21n2-x2,即再+/<21n2.

13.【北京市東城二十二中2018屆高三上學(xué)期期中試卷】已知函數(shù)

/(%)=(2Y-4ov)lnx+f(a>0).

(1)當(dāng)4=1時(shí)，求此函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線在處的切線方程.

(2)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間.

(3)對(duì)VXE[1,+8),不等式(2x-4a)lnx>-4恒成立，求Q的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)”=1時(shí)，/(x)=(2f-4x)lnx+%2(%>0),

/(1)=1,/(%)=(4x-4)lnx+————+2x,

/'(l)=0,...切線方程y=l.

2x2-4axc

(2)/'(%)=(4x-4(2)