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綜合檢測一、填空題1.已知直線m、n與平面α、β,給出下列三個命題:①若m∥α,n∥α,則m∥n;②若m∥α,n⊥α,則n⊥m;③若m⊥α,m∥β,則α⊥β.其中正確命題的個數(shù)是________.2.已知點A(1,2,-1),點C與點A關(guān)于平面xOy對稱,點B與點A關(guān)于x軸對稱,則線段BC的長為________.3.垂直于梯形兩腰的直線與梯形兩底所在平面的位置關(guān)系是________.4.直線3ax-y-1=0與直線(a-eq\f(2,3))x+y+1=0垂直,則a的值是________.5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點,則弦AB的長等于________.6.若經(jīng)過點(3,a)、(-2,0)的直線與經(jīng)過點(3,-4)且斜率為eq\f(1,2)的直線垂直,則a的值為_______.7.圓C1:(x-3)2+(y-4)2=16與圓C2:x2+y2=m內(nèi)切,則實數(shù)m=________.8.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AB1、BC1①EF與BB1垂直;②EF與BD垂直;③EF與CD異面;④EF與A1C19.已知點P在z軸上,且滿足PO=1(O是坐標(biāo)原點),則點P到點A(1,1,1)的距離是________.10.設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,eq\r(2)和a,且長為a的棱與長為eq\r(2)的棱異面,則a的取值范圍是________.11.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是棱CD、CC1的中點,則異面直線A1M與DN12.已知直線l1的傾斜角為60°,直線l2經(jīng)過點A(1,eq\r(3)),B(-2,-2eq\r(3)),則直線l1,l2的位置關(guān)系是________.13.過直線x+y-2eq\r(2)=0上點P作圓x2+y2=1的兩條切線,若兩條切線的夾角是60°,則點P的坐標(biāo)是________.14.已知正三棱錐P-ABC,點P,A,B,C都在半徑為eq\r(3)的球面上,若PA,PB,PC兩兩相互垂直,則球心到截面ABC的距離為________.二、解答題15.兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(-3,-1),并且各自繞著A,B旋轉(zhuǎn),如果兩條平行直線間的距離為d.求:(1)d的變化范圍;(2)當(dāng)d取最大值時,兩條直線的方程.16.如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,過E點作EF⊥PB交PB于點F.求證:(1)PA∥平面EDB;(2)PB⊥平面EFD.17.已知圓C:x2+y2-4x-6y+12=0,點A(3,5).(1)求過點A的圓的切線方程;(2)O點是坐標(biāo)原點,連結(jié)OA,OC,求△AOC的面積S.18.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點E在線段PC上,PC⊥平面BDE.(1)證明:BD⊥平面PAC;(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.19.已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,且截距不為零,求此切線的方程;(2)從圓C外一點P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標(biāo)原點,且有PM=PO,求使得PM取得最小值的點P的坐標(biāo).20.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點.(1)證明:CD⊥平面PAE;(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相 等,求四棱錐P-ABCD的體積.
答案1.22.43.垂直4.-eq\f(1,3)或15.2eq\r(3)6.-107.818.④9.eq\r(6)或eq\r(2)10.(0,eq\r(2))11.90°12.平行或重合13.(eq\r(2),eq\r(2))14.eq\f(eq\r(3),3)15.解(1)如圖所示,顯然有0<d≤AB.而AB=eq\r(6+32+2+12)=3eq\r(10).故所求的d的變化范圍為(0,3eq\r(10)].(2)由圖可知,當(dāng)d最大時,兩直線垂直于AB.而kAB=eq\f(2--1,6--3)=eq\f(1,3),∴所求的直線的斜率為-3.故所求的直線方程分別為y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.16.證明(1)如圖所示,連結(jié)AC,AC交BD于點O,連結(jié)EO.∵底面ABCD是正方形,∴點O是AC的中點.在△PAC中,EO是中位線,∴PA∥EO.而EO?平面EDB且PA?平面EDB,∴PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD,且DC?平面ABCD,∴PD⊥DC.∵PD=DC,∴△PDC是等腰直角三角形.又DE是斜邊PC的中線,∴DE⊥PC.①由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形,∴DC⊥BC.又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.又DE?平面PDC,∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC,∴DE⊥PB.又EF⊥PB,且DE∩EF=E,∴PB⊥平面EFD.17.解(1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1.①當(dāng)切線的斜率不存在時,有直線x=3,C(2,3)到直線的距離為1,滿足條件.②當(dāng)k存在時,設(shè)直線方程為y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0,故eq\f(|-k+2|,eq\r(k2+1))=1,得k=eq\f(3,4).∴方程為y-5=eq\f(3,4)(x-3),即3x-4y+11=0.綜上,所求直線方程為x=3或3x-4y+11=0.(2)AO=eq\r(9+25)=eq\r(34),lAO:5x-3y=0,點C到直線OA的距離d=eq\f(1,eq\r(34)),S=eq\f(1,2)d·AO=eq\f(1,2).18.(1)證明∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可證得PC⊥BD.又PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.(2)解如圖,設(shè)BD與AC交于點O,連結(jié)OE.∵PC⊥平面BDE,BE、OE?平面BDE.∴PC⊥BE,PC⊥OE.∴∠BEO即為二面角B-PC-A的平面角.由(1)知BD⊥平面PAC.又OE、AC?平面PAC,∴BD⊥OE,BD⊥AC.故矩形ABCD為正方形,∴BD=AC=2eq\r(2),BO=eq\f(1,2)BD=eq\r(2).由PA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD得PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.而PB?平面PAB,∴BC⊥PB.在Rt△PAB中,PB=eq\r(PA2+AB2)=eq\r(5),在Rt△PAC中,PC=eq\r(PA2+AC2)=3.在Rt△PBC中,由PB·BC=PC·BE得BE=eq\f(2eq\r(5),3).在Rt△BOE中,OE=eq\r(BE2-BO2)=eq\f(eq\r(2),3).∴tan∠BEO=eq\f(BO,OE)=3,即二面角B-PC-A的正切值為3.19.解(1)∵切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且截距不為零,∴設(shè)切線方程為x+y=a(a≠0),又∵圓C:(x+1)2+(y-2)2=2,∴圓心C(-1,2)到切線的距離等于圓的半徑eq\r(2),∴eq\f(|-1+2-a|,eq\r(2))=eq\r(2)?a=-1,或a=3,則所求切線的方程為:x+y+1=0或x+y-3=0.(2)∵切線PM與半徑CM垂直,∴PM2=PC2-CM2,∴(x1+1)2+(y1-2)2-2=xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1),∴2x1-4y1+3=0,∴動點P的軌跡是直線2x-4y+3=0.PM的最小值就是PO的最小值,而PO的最小值為O到直線2x-4y+3=0的距離d=eq\f(3eq\r(5),10),此時點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(-eq\f(3,10),eq\f(3,5))).20.(1)證明如圖,連結(jié)AC.由AB=4,BC=3,∠ABC=90°得AC=5.又AD=5,E是CD的中點,所以CD⊥AE.因為PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.而PA,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,所以CD⊥平面PAE.(2)解過點B作BG∥CD,分別與AE,AD相交于點F,G,連結(jié)PF.由(1)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角,且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知,∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角.由題意得∠PBA=∠BPF,因為sin∠PBA=eq\f(PA,PB),sin∠BPF=eq\f(BF,PB),所以PA=BF.由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC.又BG∥CD,所以四邊形BCDG是平行四邊形.故GD=BC=3.于是AG=2.在Rt△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以BG=eq\r(AB2+AG2)=2eq\r(5),BF=
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