新高考數(shù)學(xué)解答題預(yù)測(cè)秒殺：第09講 回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)（學(xué)生版+解析版）

第09講回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)

高考預(yù)測(cè)一：回歸分析

1.2020年全面建成小康社會(huì)取得偉大歷史成就，決戰(zhàn)脫貧攻堅(jiān)取得決定性勝利.某市積極探索區(qū)域特色經(jīng)

濟(jì)，引導(dǎo)商家利用多媒體的優(yōu)勢(shì)，對(duì)本地特產(chǎn)進(jìn)行廣告宣傳，取得了社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益的雙豐收，某商

家統(tǒng)計(jì)了7個(gè)月的月廣告投入x（單位：萬(wàn)元）與月銷(xiāo)量y（單位：萬(wàn)件）的數(shù)據(jù)如表所示：

月廣告投

入X/萬(wàn)1234567

元

月銷(xiāo)量y

28323545495260

/萬(wàn)件

（1）已知可用線(xiàn)性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明，并求）關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，預(yù)計(jì)月廣告投入大于多少萬(wàn)元時(shí)，月銷(xiāo)量能突破70萬(wàn)件.

參考數(shù)據(jù)：^（xf-x）（j,.-y）=150,=820,41435=37.88.

z=l/=1

如4）（y-］）

參考公式：相關(guān)系數(shù)「=下券----------------

V/=1/=1

回歸直線(xiàn)§=%+%的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為6=J——，^l=y-^c.

XU

r=l

2.網(wǎng)上購(gòu)物就是通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過(guò)電子訂購(gòu)單發(fā)出購(gòu)物請(qǐng)求，廠商通過(guò)郵購(gòu)的方式發(fā)貨或

通過(guò)快遞公司送貨上門(mén)，貨到后通過(guò)銀行轉(zhuǎn)賬、微信或支付寶支付等方式在線(xiàn)匯款，根據(jù)2019年中國(guó)消費(fèi)者

信息研究，超過(guò)40%的消費(fèi)者更加頻繁地使用網(wǎng)上購(gòu)物，使得網(wǎng)上購(gòu)物和送貨上門(mén)的需求量激增，越來(lái)越

多的消費(fèi)者也首次通過(guò)第三方APP、品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺(tái)進(jìn)行購(gòu)物，某天貓專(zhuān)營(yíng)店統(tǒng)計(jì)了2020

年8月5日至9日這5天到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)和時(shí)間第七天間的數(shù)據(jù)，列表如下:

演12345

%75849398100

(1)由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線(xiàn)性回歸模型擬合人數(shù)y與時(shí)間x之間的關(guān)系？若可用，估計(jì)8月10日到

該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)(人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)：若1網(wǎng)＞。75,則線(xiàn)性相關(guān)程度很高，可用線(xiàn)性回歸模型擬

合，計(jì)算/■時(shí)精確到0.01).

￡(x..-x)(y..-y)

參考數(shù)據(jù)：回而465.88.附：相關(guān)系數(shù)『=了:’"，回歸直線(xiàn)方程的斜率

￡(4—可2t(%—刃2

V/=11=1

t(x,-T)(y-刃

人=『-----------，^S&a=y-bx.

1=1

(2)運(yùn)用分層抽樣的方法從第1天和第5天到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人中隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7人中任取3人進(jìn)

行獎(jiǎng)勵(lì)，求這3人取自不同天的概率.

(3)該專(zhuān)營(yíng)店為了吸引顧客，推出兩種促銷(xiāo)方案：方案一，購(gòu)物金額每滿(mǎn)100元可減10元；方案二，一次

性購(gòu)物金額超過(guò)800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為:，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打9折，中獎(jiǎng)

兩次打一8折，中獎(jiǎng)三次打6折.某顧客計(jì)劃在此專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)買(mǎi)1000元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的

角度分析選哪種方案更優(yōu)惠.

3.2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征2F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載

人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿(mǎn)成功，這標(biāo)志

著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景

十分廣泛.該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造、根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，

得到應(yīng)用改造投入x(億元)與產(chǎn)品的直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

序號(hào)123456789101112

X2346810132122232425

y1522274048546068.56867.56665

當(dāng)0<xV17時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：/=4.1x+10.9,模型②：亍=21.34一14.4；當(dāng)x>17

時(shí)，確定y與x滿(mǎn)足的線(xiàn)性回歸方程為3=-0.7x+&.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<xM17時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)店的大小，并選擇擬合精度更高、

更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益；

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.1x+10.9公=21.36-14.4

7

E(x-x)2

79.1320.2

1=1

（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)

測(cè)依據(jù)，根據(jù)（1）中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時(shí)公司收益（直接收

益+國(guó)家補(bǔ)貼）的大小.

2

y（y.—yt）

附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)尸=1,且當(dāng)我越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好.歷=4.1.

—

?=|

用最小二乘法求線(xiàn)性回歸方程$=治+4的截距：a=y-bx.

4.如圖是某小區(qū)2020年1月至2021年1月當(dāng)月在售二手房均價(jià)（單位：萬(wàn)元/平方米）的散點(diǎn)圖.（圖中

月份代碼1?13分別對(duì)應(yīng)2020年1月?2021年1月）.根據(jù)散點(diǎn)圖選擇丫="+人五和），=。+311萬(wàn)兩個(gè)模型

進(jìn)行擬合，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程分別為y=0.9369+0.02854和y=0.9554+0.03061nx，并得到

以下一些統(tǒng)計(jì)量的值:

—3當(dāng)月住售二手房均價(jià)），

—o2

—肉

6.O98

696

6

94

I234$678910II1213月份代叫

y=0.9369+0.02854y=0.9554+0.0306Inx

殘差平方和號(hào)（"一，）

0.0005910.000164

總偏差平方和與""

0.006050

（1）請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；

（2）估計(jì)該小區(qū)2021年6月份的二手房均價(jià).（精確到0.001萬(wàn)元/平方米）

參考數(shù)據(jù)：In2*0.69,ln3?1.10,In17?2.83,In19=2.94,四=1.41,指=1.73,V17?4.12,Mx436.

2（%-%）2

參考公式：相關(guān)指數(shù)居=1一3-------7.

Z（?-打

1=1

5.樹(shù)木根部半徑與樹(shù)木的高度呈正相關(guān)，即樹(shù)木根部越粗,樹(shù)木的高度也就越高.某塊山地上種植了A樹(shù)木，

某農(nóng)科所為了研究A樹(shù)木的根部半徑與樹(shù)木的高度之間的關(guān)系，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取6

棵A樹(shù)木，調(diào)查得到A樹(shù)木根部半徑》（單位：米）與A樹(shù)木高度》（單位：米）的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：

X0.10.20.30.40.50.6

yi.i1.31.61.52.02.1

（1）求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程；

（2）對(duì)（1）中得到的回歸方程進(jìn)行殘差分析，若某A樹(shù)木的殘差為零則認(rèn)為該樹(shù)木“長(zhǎng)勢(shì)標(biāo)準(zhǔn)”，在此片

樹(shù)木中隨機(jī)抽取1棵A樹(shù)木，估計(jì)這棵樹(shù)木“長(zhǎng)勢(shì)標(biāo)準(zhǔn)”的概率.

X-^-nxyZ（匕-H）（%-刃

參考公式：回歸直線(xiàn)方程為§=院+機(jī)其中；=號(hào)--------=J------------,-版.

Ev-v￡（%-?。?

i=li=l

6.為了了解A地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，某調(diào)查機(jī)構(gòu)得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

年份X20142015201620172018

足球特色學(xué)校）,（百個(gè)）0.300.601.001.401.70

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)〃并說(shuō)明y與x的線(xiàn)性相關(guān)性強(qiáng)弱（已知：0.75<|r|<l,則認(rèn)

為y與x線(xiàn)性相關(guān)性很強(qiáng)；0.30.75,則認(rèn)為y與x線(xiàn)性相關(guān)性一般；|r區(qū)0.25,則認(rèn)為y與x線(xiàn)性相

關(guān)性較弱）

（2）求），關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)A地區(qū)2019年足球特色學(xué)校的個(gè)數(shù)（精確到個(gè)）.

2

參考公式：年（1―----電-0（5…，-7）=10,I￡（*-5）2=L3,屈=3.6056,

-SU-^）（x-y）

b=---------------,a=y-bx.

/=1

7.千百年來(lái)，人們一直在通過(guò)不同的方式傳遞信息.在古代，烽火狼煙、飛鴿傳書(shū)、快馬驛站等通信方式被

人們廣泛應(yīng)用;第二次工業(yè)革命后，科技的進(jìn)步帶動(dòng)了電訊事業(yè)的發(fā)展，電報(bào)電話(huà)的發(fā)明讓通信領(lǐng)域發(fā)生了

翻天覆地的變化;之后，計(jì)算機(jī)和互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)則使得“千里眼”“順風(fēng)耳”變?yōu)楝F(xiàn)實(shí).現(xiàn)在，5G的到來(lái)給人們的

生活帶來(lái)顛覆性的變革，某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公

司在第1月份至6月份的5G經(jīng)濟(jì)收入）'（單位:百萬(wàn)元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如表：

時(shí)間（月份）123456

收入（百萬(wàn)元）6.68.616.121.633.041.0

根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，如圖.

收入/百萬(wàn)元

⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，丫="+6與〉，=，0心（“力,城均為常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為56經(jīng)濟(jì)收入丫關(guān)于月份》的回

歸方程類(lèi)型?（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出》關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司8月份的5G經(jīng)濟(jì)收入;

（3）從前6個(gè)月的收入中抽取3個(gè)，記月收入超過(guò)16百萬(wàn)的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：

XU阿4)22卜,一磯必一司

1=1f=li=l

3.5021.152.8517.50125.356.73

其中設(shè)〃=Iny,%=Iny（i=1,2,3,4,5,6）

參考公式和數(shù)據(jù):對(duì)于一組具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x,,匕）（i=L2,3,…，小，其回歸直線(xiàn)；；=/+&的斜率和

截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:夕=乙'工，八二2，a=lax//。95.58,并屋97.51.

￡式一）一

8.婺源位于江西省東北部，其境內(nèi)古村落遍布鄉(xiāng)野，保存完整，生態(tài)優(yōu)美，物產(chǎn)豐富，擁有著油菜花之鄉(xiāng)

的美譽(yù)，被譽(yù)為一顆鑲嵌在贛、浙、皖三省交界處的綠色明珠.為了調(diào)查某片實(shí)驗(yàn)田3月份油菜花的生長(zhǎng)

高度,研究人員在當(dāng)?shù)仉S機(jī)抽取了13株油菜花進(jìn)行高度測(cè)量，所得數(shù)據(jù)如下：x=20.3,^=219.88,5=6,08，

；=0.32，疝s；-s）（%-y）=55.76,-。（凹=-8.4,￡卜：-s）~=46.68,￡（4—）一=0.84,

r=lr=!（=1；=l

E（y,-y）2=84.88.并通過(guò)繪制及觀察散點(diǎn)圖，選用兩種模型進(jìn)行擬合：

i=l

模型一：y=a+by/x,其中令s=4；

模型二：y=c+-,其中令t=L

XX

(1)求模型二的回歸方程；

(2)試通過(guò)計(jì)算相關(guān)系數(shù)的大小，說(shuō)明對(duì)于所給數(shù)據(jù)，哪一種模型更加合適.

參考數(shù)據(jù)：11.67x21.22=247.6374,0.21x21.22=4.4562,J247.6374~15.7365,74.4562?2.1110.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(四,匕)，(W2,V2)，…，其回歸方程；=￡+/”的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別

a=v-Pu^相關(guān)系數(shù)y…，

M一出匕可

V/=1/=1

高考預(yù)測(cè)二：獨(dú)立性檢驗(yàn)

9.近年來(lái)，青少年視力健康狀況得到各級(jí)主管部門(mén)的密切關(guān)注.2021年4月28日，教育部辦公廳等十五部

門(mén)聯(lián)合印發(fā)《兒童青少年近視防控光明行動(dòng)工作方案(2021-2025)》.某市教育主管部門(mén)對(duì)全市不同年齡段

1000名學(xué)生的視力情況進(jìn)行摸底抽樣調(diào)查.結(jié)果如下表：

(1)完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為兒童青少年近視與年齡有關(guān).

近視不近視合計(jì)

年齡7-12歲165500

年齡13-18歲115

合計(jì)5501000

n(ad-bc)~

(a+b)(c+d/4+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(2)為了進(jìn)一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)生活習(xí)慣對(duì)學(xué)生視力的影響，現(xiàn)有年齡7-12歲的兩名學(xué)生知出，年齡13-18

歲的四名學(xué)生自，8，么，打，準(zhǔn)備從這6名學(xué)生中選取2名學(xué)生進(jìn)行電話(huà)訪問(wèn)，求所抽取的2名學(xué)生恰好兩個(gè)

年齡段各有一人的概率.

10.第七次全國(guó)人口普查是對(duì)中國(guó)特色社會(huì)主義進(jìn)入新時(shí)代開(kāi)展的重大國(guó)情國(guó)力調(diào)查.某地區(qū)通過(guò)摸底了

解到，某小區(qū)戶(hù)數(shù)有1000戶(hù)，在選擇自主填報(bào)或人戶(hù)登記的戶(hù)數(shù)與戶(hù)主年齡段(45歲以上和45歲及以下)

分布如下2x2列聯(lián)表所示：

入戶(hù)登記自主填報(bào)合計(jì)

戶(hù)主45歲以上200

戶(hù)主45歲及以下240640

合計(jì)1000

(1)將題中列聯(lián)表補(bǔ)充完整；通過(guò)計(jì)算判斷，有沒(méi)有95%的把握認(rèn)為戶(hù)主選擇自主填報(bào)與年齡段有關(guān)系？

(2)根據(jù)(1)中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，在自主填報(bào)的戶(hù)數(shù)中按照戶(hù)主年齡段用分層抽樣的方法抽取了6戶(hù).若從這

6戶(hù)中隨機(jī)抽取3戶(hù)進(jìn)行進(jìn)一步復(fù)核，記所抽取的3戶(hù)中“戶(hù)主45歲及以下”的戶(hù)數(shù)為求J的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

附表及公式：

尸(片用)0.150.100.050.0250.010

即2.0722.7063.8415.0246.635

其中K=(?)(L)(a+)c)(g]—+人

11.在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開(kāi)始呈現(xiàn)該

疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱(chēng)為潛伏期.一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如

下表格：

潛伏期（單位：天）[0,2](2,4](4,6](6用(8,10](10,12](12,14]

人數(shù)501502003002006040

（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)值X（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果四舍五

入為整數(shù)）;

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過(guò)8天為標(biāo)準(zhǔn)

進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表

判斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；

潛伏期48天潛伏期＞8天總計(jì)

50歲以上（含50）100

50歲以下65

總計(jì)200

（3）以這1000名患者的潛伏期超過(guò)8天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過(guò)8天的概率，每名患者的潛

伏期是否超過(guò)8天相互獨(dú)立.為了深入研究，該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者，其中潛伏期超過(guò)8天的人數(shù)

最有可能（即概率最大）是多少？

02n(ad-bc)甘小..

附：K=7---7T7----------j\>其中"=。+8+。+”.

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

尸(*.%)0.050.0250.010

*3.8415.0246.635

12.新潮媒體公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某類(lèi)體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中

女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖:

0.025

0.022

0.02()

0.018

0.010

0.005

⑴將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性.

心“2n(ad-be)_.,,

附：K=,,，其中〃=Q+h+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

p(x2>k?)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

根據(jù)已知條件完成下面的2x2列聯(lián)表，據(jù)此資料你是否有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明理由;

非體育迷體育迷合計(jì)

男

女

合計(jì)

⑵將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱(chēng)為“超級(jí)體育迷”，已知“超級(jí)體育迷”中有2名女性.若從

“超級(jí)體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率.

第09講回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)

高考預(yù)測(cè)一：回歸分析

1.2020年全面建成小康社會(huì)取得偉大歷史成就，決戰(zhàn)脫貧攻堅(jiān)取得決定性勝利.某市積極探索區(qū)域特色經(jīng)

濟(jì)，引導(dǎo)商家利用多媒體的優(yōu)勢(shì)，對(duì)本地特產(chǎn)進(jìn)行廣告宣傳，取得了社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益的雙豐收，某商

家統(tǒng)計(jì)了7個(gè)月的月廣告投入x（單位：萬(wàn)元）與月銷(xiāo)量y（單位：萬(wàn)件）的數(shù)據(jù)如表所示：

月廣告投

入X/萬(wàn)1234567

元

月銷(xiāo)量y

28323545495260

/萬(wàn)件

（1）已知可用線(xiàn)性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明，并求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，預(yù)計(jì)月廣告投入大于多少萬(wàn)元時(shí)，月銷(xiāo)量能突破70萬(wàn)件.

820,Vi435?37.88.

參考數(shù)據(jù):yi-y)=150,

S(^-x)(x-y)

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=l

2

￡■4)5(3可

/=1/=!

回歸直線(xiàn)￥=隊(duì)+》的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為相

【答案】（1）相關(guān)系數(shù)年0.99,線(xiàn)性回歸模型能夠很好地?cái)M合y與X的關(guān)系；y=^x+3；（2）9.04萬(wàn)

元.

【解析】

【分析】

（I）現(xiàn)根據(jù)題中數(shù)據(jù)求得相關(guān)系數(shù)r“0.99,從而說(shuō)明線(xiàn)性回歸模型能夠很好地?cái)M合）'與x的關(guān)系，再根據(jù)

題中數(shù)據(jù)求得務(wù)和“，進(jìn)而求得回歸方程;

（2）解不等式y(tǒng)>7（）即可求出結(jié)果.

【詳解】

1+2+3+4+5+6+7

（1）由題意，知》=---------------------------=4,

7

/.￡(七=0-4)2+(2-4)2+R_4)2+("4)2+5(5-4,+(6-4/

/=1'

+(7-4『=28.

結(jié)合tH-x)(y,-y)=150,Z()‘C)2

I=820可得,

15037.537.5

X0.99,

相關(guān)系數(shù)「=一>/28x>^20-V1435~37.88

顯然y與8的線(xiàn)性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而線(xiàn)性回歸模型能夠很好地?cái)M合y與x的關(guān)系.

.￡依--司（％-亍）

15075

易知6=用=

1=1

28+32+35+45+49+52+60

y==43,

7

.?.〃="族=43-9，4=里

147

c關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為廣泉+M

（2）若月銷(xiāo)量突破70萬(wàn)件，則后》+手＞70,

解得x>罷=9.04.

故當(dāng)月廣告投入大于9.04萬(wàn)元時(shí)，月銷(xiāo)量能突破70萬(wàn)件.

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)睛：解決有關(guān)線(xiàn)性回歸方程問(wèn)題時(shí)需要特別注意：回歸直線(xiàn)的斜率務(wù)是線(xiàn)性回歸方程￥=屏+》中x的

系數(shù)，在應(yīng)用公式及將數(shù)據(jù)代入線(xiàn)性回歸方程時(shí)，不要把回歸直線(xiàn)的斜率否與截距a搞混.

2.網(wǎng)上購(gòu)物就是通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過(guò)電子訂購(gòu)單發(fā)出購(gòu)物請(qǐng)求，廠商通過(guò)郵購(gòu)的方式發(fā)貨或

通過(guò)快遞公司送貨上門(mén)，貨到后通過(guò)銀行轉(zhuǎn)賬.微信或支付寶支付等方式在線(xiàn)匯款，根據(jù)2019年中國(guó)消費(fèi)者

信息研究，超過(guò)40%的消費(fèi)者更加頻繁地使用網(wǎng)上購(gòu)物，使得網(wǎng)上購(gòu)物和送貨上門(mén)的需求量激增，越來(lái)越

多的消費(fèi)者也首次通過(guò)第三方”P(pán)、品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺(tái)進(jìn)行購(gòu)物，某天貓專(zhuān)營(yíng)店統(tǒng)計(jì)了2020

年8月5日至9日這5天到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)X和時(shí)間第3天間的數(shù)據(jù)，列表如下:

演12345

%75849398100

（1）由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線(xiàn)性回歸模型擬合人數(shù)y與時(shí)間x之間的關(guān)系？若可用，估計(jì)8月10日到

該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)（人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)：若1川＞。75,則線(xiàn)性相關(guān)程度很高，可用線(xiàn)性回歸模型擬

合，計(jì)算廠時(shí)精確到0.01）.

￡（%一）（?-刃

參考數(shù)據(jù)：回而465.88.附：相關(guān)系數(shù)」=了?“回歸直線(xiàn)方程的斜率

Vi=l

EU-^）（y,-y）

人=上丁-----------，截距￡=尸-相.

（2）運(yùn)用分層抽樣的方法從第1天和第5天到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人中隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7人中任取3人進(jìn)

行獎(jiǎng)勵(lì)，求這3人取自不同天的概率.

（3）該專(zhuān)營(yíng)店為了吸引顧客，推出兩種促銷(xiāo)方案：方案一，購(gòu)物金額每滿(mǎn)100元可減10元；方案二，一次

性購(gòu)物金額超過(guò)800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為:，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打9折，中獎(jiǎng)

兩次打8折，中獎(jiǎng)三次打6折.某顧客計(jì)劃在此專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)買(mǎi)1000元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的

角度分析選哪種方案更優(yōu)惠.

【答案】（1）可用線(xiàn)性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)X之間的關(guān)系，8月10日到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)約為109；

（2）（3）選擇方案二更劃算.

【解析】

【分析】

（1）利用題中所給數(shù)據(jù)和公式，求出相關(guān)系數(shù)r的值，由此判斷變量y與X具有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)性，再求

出B和4,得線(xiàn)性回歸方程，令x=6代入即可求解；

（2）先利用分層抽樣得到第1天和第5天取的人數(shù)分別為3人和4人，然后由古典概型概率計(jì)算公式即可

求解;

（3）分別求出方案一和方案二所需付款數(shù)，比較即可求解.

【詳解】

55

2

解：（I）山表中數(shù)據(jù)可得元=3,5=90,^(x,-x)=10,，(%-才=434

,E(^-x)(y;-y)=64,

1=1

￡（乙一可（必一歹）

64

所以，=-----------之--0-.-9-7->-0.75,

_、2弋/_、274340

%7)Z(y-y)

i=l

所以可用線(xiàn)性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)》之間的關(guān)系.

.)64

而6=^―,-----------=—=6.4,

Z(x,-x)210

1=1

則4=5-位=90—6.4x3=70.8，

所以9=6.4x+70.8,

令x=6,可得9=109.2.

答：8月10N到該專(zhuān)營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)約為109.

（2）因?yàn)?5:100=3:4,所以從第1天和第5天取的人數(shù)分別為3和4,從而3人取自不同天的種數(shù)為

c；c：+c；c：,

C；C：+C；C：6

所以概率2=

7

答：這3人取自不同天的概率為會(huì)

（3）若選方案一，需付款1000-100=900元.

若選方案二，設(shè)需付款X元，則X的取值可能為600,800,900,1000,

則尸(X=600)=C；x(?=：,

P(X=800Yx(丁|哈

產(chǎn)(X=900)=C；xgx12

—,

27

P（X=1000Yx（|）吟，

^rU,E（X）=600x—+800xA+900x—4-lOOOx—=^?22<900,

2727272727

因此選擇方案二更劃算.

3.2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征2F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載

人K船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿(mǎn)成功，這標(biāo)志

著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景

十分廣泛.該公司為了將4型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造、根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，

得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

序號(hào)123456789101112

X2346810132122232425

y1522274048546068.56867.56665

當(dāng)0<x417時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：夕=4.1x+10.9,模型②：j=21.36一14.4；當(dāng)x>17

時(shí)，確定y與x滿(mǎn)足的線(xiàn)性回歸方程為￡=-0.7x+G.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<x<17時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)用的大小，并選擇擬合精度更高、

更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)4型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益；

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.1x+10.99=21.3石-14.4

2（必-方79.1320.2

1=1

（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)

測(cè)依據(jù)，根據(jù)（1）中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時(shí)公司收益（直接收

益+國(guó)家補(bǔ)貼）的大小.

Z(%-t)”

附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2=l-妾——,且當(dāng)川越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好.J萬(wàn)。4.1.

Z(x-y)2

?=1

用最小二乘法求線(xiàn)性回歸方程y=bx+a的截距：a=y-bx.

【答案】(1)模型②擬合精度更高、更可靠，72.93億；(2)投入17億元比投入20億元時(shí)收益小.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)公式計(jì)算相關(guān)指數(shù)，再根據(jù)大小選擇合適的模型，根據(jù)所得模型可求直接受益.

(2)根據(jù)(1)中的公式結(jié)合利潤(rùn)計(jì)算方法可求公司收益，從而可得兩者的大小關(guān)系.

【詳解】

(D對(duì)于模型①,

15+22+27+40+48+54+60

對(duì)應(yīng)的7=---------------------------------------=38,

7

故對(duì)應(yīng)的￡(y-刃2=￡.￥-7歹2=1750,

/=1

7914

故對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)用=1-而"X0.955,

70?

對(duì)于模型②，同理對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)后二1-商之0.988,

故模型②擬合精度更高、更可靠.

故對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益為夕=21.3V17-14.4?72.93.

(2)當(dāng)x>17時(shí)，

-由-21+22+23+24+25”-68.5+68+67.5+66+65〃

后五組的x=---------------------------=23,y=------------------------------=67,

由最小二乘法可得d=67-(-0.7)x23=83.1,

故當(dāng)投入20億元時(shí)公司收益(直接收益+國(guó)家補(bǔ)貼)的大小為：

-0.7x20+83.1+5=74.1>72.93,

故投入17億元比投入20億元時(shí)收益小.

4.如圖是某小區(qū)2020年1月至2021年1月當(dāng)月在售二手房均價(jià)(單位：萬(wàn)元/平方米)的散點(diǎn)圖.(圖中

月份代碼1?13分別對(duì)應(yīng)2020年1月?2021年1月).根據(jù)散點(diǎn)圖選擇y=a+〃&和y=c+dlnx兩個(gè)模型

進(jìn)行擬合，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得至U兩個(gè)回歸方程分另I」為》=0.9369+0.02854和y=0.9554+0.03061nx,并得到

以下一些統(tǒng)計(jì)量的值:

當(dāng)月在每二手房均價(jià)y

1.04-

1.02-

1.00>

0.98?

0.96-

0.94^

12345678910II12I'"侍代中卜

y=0.9369+0.02854y=0.9554+0.03061nx

殘差平方和X"

0.0005910.000164

總偏差平方和卦F

0.006050

（1）請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；

（2）估計(jì)該小區(qū)2021年6月份的二手房均價(jià).（精確到0.001萬(wàn)元/平方米）

參考.數(shù)據(jù)：In2ko.69,13^1.10,Ini7a2.83,lnl9=2.94,72?1.41,6之1.73,717?4.12,719?4.36.

參考公式：相關(guān)指數(shù)店=1-與-------

1=1

【答案】（I）模型y=0.9554+0.0306lnx；（2）1.044（萬(wàn)元/平方米）.

【解析】

【分析】

（1）計(jì)算出相關(guān)指數(shù)后可判斷哪一個(gè)函數(shù)擬合效果好.

（2）根據(jù)（1）的中的模型可計(jì)算二手房的均價(jià).

【詳解】

（1）設(shè)模型y=0.9369+0.02856和y=0.9554+0.03061nx的相關(guān)指數(shù)分另IJ為R：和用，

,0.000591c，,0.000164

則7?.'=1---------,后=1----------.

10.00605乜0.00605

因?yàn)?.000591>0.000164,所以￡<尺.

所以模型y=0.9554+0.03061nx的擬合效果更好.

(2)山(1)知，模型y=0.9554+0.03061nx的擬合效果更好，

利用該模型預(yù)測(cè)可得，這個(gè)小區(qū)2021年6月份的在售二手房均價(jià)為：

y=0.9554+0.0306In18=0.9554+0.0306(In2+2In3)?1.044(萬(wàn)元/平方米).

5.樹(shù)木根部半徑與樹(shù)木的高度呈正相關(guān)，即樹(shù)木根部越粗,樹(shù)木的高度也就越高.某塊山地上種植了A樹(shù)木，

某農(nóng)科所為了研究A樹(shù)木的根部半徑與樹(shù)木的高度之間的關(guān)系，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取6

棵A樹(shù)木，調(diào)查得到A樹(shù)木根部半徑飛單位：米)與A樹(shù)木高度y(單位：米)的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：

X0.10.20.30.40.50.6

yi.i1.31.61.52.02.1

(1)求)'關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程；

(2)對(duì)(1)中得到的回歸方程進(jìn)行殘差分析，若某A樹(shù)木的殘差為零則認(rèn)為該樹(shù)木“長(zhǎng)勢(shì)標(biāo)準(zhǔn)”，在此片

樹(shù)木中隨機(jī)抽取1棵A樹(shù)木，估計(jì)這棵樹(shù)木“長(zhǎng)勢(shì)標(biāo)準(zhǔn)”的概率.

Y-^-nxy可(％-為

參考公式：回歸直線(xiàn)方程為§=%+令，其中；=上^--------=J-----------，岳=]-K.

力:YJ(x..-X)2

/=1/=1

【答案】(1)R2X+0.9；(2)1

【解析】

【分析】

(1)由最小二乘法先求樣本點(diǎn)中心(無(wú)乃，再代入公式求8=2,即可得到答案；

(2)先計(jì)算6棵A樹(shù)木中殘差為零的有3棵，占比為g31即可得到答案；

62

【詳解】

(1)由5=1X(0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6)=0.35,

6

y=-x(l.l+1.3+1.6+1.5+2.0+2.1)=1.6,

6

6

Z%必二°.1x1.1+0.2x1.3+0.3x1.6+0.4xl.5+0.5x2.0+0.6x2.1=3.71,

i=l

6

x,2=0.12+0.22+0.32+0.42+0.52+0.62=0.91,

<=1

2占％-6亞

3.71-6x0.35x1.6。

有心得-----------------------5-=2,

0.91-6x0.352

Xxf-6x2

i=\

&=9-應(yīng)=1.60-2x0.35=0.9,

故y關(guān)于X的回歸方程為：9=2x+0.9.

(2)當(dāng)x=0.1時(shí)，y=2x0.1+0.9=l.l,殘差為1.1—1.1=0,

當(dāng)x=0.2時(shí)，y=2x02+0.9=1.3,殘差為1.3-1.3=0,

當(dāng)尤=0.3時(shí)，y=2x03+0.9=1.5,殘差為1.6-1.5=0.1,

當(dāng)x=0.4時(shí)，y=2x04+0.9=1.7,殘差為1.5—1.7=-0.2,

當(dāng)x=0.5時(shí),y=2x0.5+0.9=1.9,殘差為2.0-1.9=0.1,

當(dāng)x=0.6時(shí)，y=2x0.6+0.9=2.1,殘差為2.1-2.1=0,

由這6棵A樹(shù)木中殘差為零的有3棵，占比為,=1，

62

這棵樹(shù)木“長(zhǎng)勢(shì)標(biāo)準(zhǔn)''的概率為3.

6.為了了解A地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，某調(diào)查機(jī)構(gòu)得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

年份X20142015201620172018

足球特色學(xué)校y（百個(gè)）0.300.601.001.401.70

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r,并說(shuō)明y與x的線(xiàn)性相關(guān)性強(qiáng)弱（已知：0.75<|r|<l,則認(rèn)

為y與x線(xiàn)性相關(guān)性很強(qiáng)；0.3￡川<0.75,則認(rèn)為y與x線(xiàn)性相關(guān)性一般；卜區(qū)0.25,則認(rèn)為y與x線(xiàn)性相

關(guān)性較弱）;

（2）求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)A地區(qū)2019年足球特色學(xué)校的個(gè)數(shù)（精確到個(gè)）.

Z(Xj-初〃

參考公式：r=下月-----F---------￡(占-對(duì)=10,￡(?-寸=1.3,屈=3.6056,

回—了回fII

V/=lV/=!

,t(%-可收-刃.

b=-...----------------，a=y-bx.

之(％-寸

【答案】(I)^=77^7-y與x線(xiàn)性相關(guān)很強(qiáng)；(2)y=0.36x-724.76,208個(gè).

J.OOJO

【解析】

【分析】

（1）求出月9，代入公式計(jì)算即可;

（2）根據(jù)公式求出回歸方程，根據(jù)回歸方程計(jì)算預(yù)測(cè)結(jié)果.

【詳解】

_2016x5-2-1+1+20.3+0.6+14-1.4+1.7

(1)x=------------------------=2016，=

55

3.63.6

i=]>0.75

庫(kù)尸他（―）X/10XVL33.6056

所以），與x線(xiàn)性相關(guān)很強(qiáng);

5

自('-x)(y-y)J2)*(0.7)+(T)x(—0.4)+]x0.4+2x0.7

⑵h==0.36,

54+1+0+1+4

加,._幻

f=l

a=y一去=1—2016x0.36=—724.76,

了關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程）=0.36x-724.76,

當(dāng)產(chǎn)2019時(shí)，產(chǎn)2.08,

即A地區(qū)2019年特色學(xué)校208個(gè).

7.千百年來(lái)，人們一直在通過(guò)不同的方式傳遞信息.在古代，烽火狼煙、飛鴿傳書(shū)、快馬驛站等通信方式被

人們廣泛應(yīng)用;第二次工業(yè)革命后，科技的進(jìn)步帶動(dòng)了電訊事業(yè)的發(fā)展，電報(bào)電話(huà)的發(fā)明讓通信領(lǐng)域發(fā)生了

翻天覆地的變化;之后，計(jì)算機(jī)和互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)則使得“千里眼”"順風(fēng)耳'’變?yōu)楝F(xiàn)實(shí).現(xiàn)在，5G的到來(lái)給人們的

生活帶來(lái)顛覆性的變革，某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公

司在第1月份至6月份的