第2章二次函數(shù)（知識歸納題型突破）（原卷版）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊單元速記巧練（北師大版）

第2章二次函數(shù)（知識歸納+題型突破）1．通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達式，并體會二次函數(shù)的意義；2．會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)；3．會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸，并能解決簡單的實際問題；4．會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.一、二次函數(shù)的定義一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).要點：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a(chǎn)的絕對值越大，拋物線的開口越小.二、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()2.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.(1)的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.3.拋物線中，的作用：(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號)時，對稱軸在軸右側(cè).(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：①，拋物線經(jīng)過原點；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.(可以看成的圖象平移后所對應(yīng)的函數(shù).)(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標(biāo)、，通常選用交點式：（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).要點：求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用．三、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系函數(shù)，當(dāng)時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：的圖象的解方程有兩個不等實數(shù)解方程有兩個相等實數(shù)解方程沒有實數(shù)解要點：二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.四、利用二次函數(shù)解決實際問題利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.利用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟是：(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)把實際問題中的一些數(shù)據(jù)與點的坐標(biāo)聯(lián)系起來；(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.要點：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.目錄：題型一二次函數(shù)的概念題型二確定二次函數(shù)的表達式題型三二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)題型四由二次函數(shù)的圖像判斷有關(guān)符號問題題型五二次函數(shù)與方程、不等式題型六二次函數(shù)的應(yīng)用題型七二次函數(shù)綜合解答題題型一二次函數(shù)的概念【例1】下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練：1．若是二次函數(shù)，則的值是（

）A．或2 B．4 C．2 D．2．正方形的邊長為3，若邊長增加，則面積增加，與的關(guān)系式為（）A． B．C． D．3．已知二次函數(shù)的圖象開口向上，則m的值是．4．已知拋物線與x軸的一個交點為，則代數(shù)式的值為．題型二確定二次函數(shù)的表達式【例2】已知拋物線與x軸交于點和且過點，拋物線的解析式為．鞏固訓(xùn)練：1．已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線相同，且它的頂點坐標(biāo)為，則這條拋物線的解析式為．2．已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點，則該二次函數(shù)的表達式是題型三二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【例3】拋物線的頂點坐標(biāo)．鞏固訓(xùn)練：1．拋物線過點，，則此拋物線的對稱軸是直線．2．若將函數(shù)的圖象向上平移5個單位，再向右平行移動1個單位，得到的拋物線是（）A． B．C． D．3．將拋物線繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)后，得到的拋物線的解析式為．4．關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A．圖象的對稱軸是直線 B．圖象與x軸有兩個交點C．當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大 D．當(dāng)時，y取得最大值，且最大值為35．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

6．已知二次函數(shù)，當(dāng)時，y隨著x的增大而減小，則m的取值范圍為．7．在關(guān)于x的二次函數(shù)中，當(dāng)時，，則的值為．題型四由二次函數(shù)的圖像判斷有關(guān)符號問題【例4】．如圖，若二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，與y軸交于點C，與x軸交于點A，點．則：①二次函數(shù)的最大值為；②；③；④當(dāng)時，；⑤．其中正確的個數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4鞏固訓(xùn)練：1．如圖，拋物線經(jīng)過點，．下列結(jié)論：①；②；③若拋物線上有點，，，則；④．其中正確的個數(shù)是（

）

A．4 B．3 C．2 D．12．已知二次函數(shù)，，都是常數(shù)，且的圖象與軸交于點，、，，且，與軸的正半軸的交點在，的下方，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤是常數(shù)．其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．2個 B．3個 C．4個 D．5個題型五二次函數(shù)與方程、不等式【例5】．二次函數(shù)的圖像如圖所示，若關(guān)于x的一元二次方程（t為實數(shù)）的解滿足，則t的取值范圍是（）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：拋物線與坐標(biāo)軸有且僅有兩個交點，則的值為．2．一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A． B． C． D．或3．已知拋物線與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)大于1且小于2，則m的取值范圍是．題型六二次函數(shù)的應(yīng)用【例6】．在羽毛球比賽中，某次羽毛球的運動路線可以看作是拋物線的一部分（如圖，水平地面為x軸，單位：米），則羽毛球到達最高點時離地面的距離是（

）A．1米 B．3米 C．5米 D．米鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中，，，．動點從點開始沿邊向點以1cm/s的速度移動，動點從點開始沿邊向點以2cm/s的速度移動．若，兩點分別從，兩點同時出發(fā)，在運動過程中，的最大面積是（）A． B． C． D．2．小明周末外出游玩時看到某公園有一圓形噴水池，如圖1，簡單測量得到如下數(shù)據(jù)：圓形噴水池直徑為，水池中心處立著一個圓柱形實心石柱，在圓形噴水池的四周安裝了一圈噴頭，噴射出的水柱呈拋物線型，水柱在距水池中心處到達最大高度為，從各方向噴出的水柱在石柱頂部的中心點處匯合，小明根據(jù)圖示建立了平面直角坐標(biāo)系，如圖2，則的高度是（）

A． B． C． D．3．如圖，在等邊中，，點P從點B出發(fā)，沿方向運動至點C停止，點Q是上的一點，滿足．若的面積為S，，則S與x之間的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．題型七二次函數(shù)綜合解答題【例7】．如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，而一次函數(shù)的圖象也經(jīng)過，兩點．(1)求k，b的值；(2)結(jié)合圖象直接寫出的解集．鞏固訓(xùn)練：1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)求它的頂點P坐標(biāo)；(2)求它與x軸的交點A、B（點A在左側(cè)）坐標(biāo)．(3)求的面積．2．如圖，拋物線的頂點為A，與y軸的負(fù)半軸交于點B，且．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點在該拋物線上，求b的值；(3)若點，在此拋物線上，比較與大?。?．一名運動員在高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面的高度與離起跳點的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，運動員離起跳點的水平距離為時達到最大高度為．

(1)求關(guān)于的函數(shù)表達式；(2)求運動員從起跳點到入水點的水平距離的長．4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)若，當(dāng)時，求的取值范圍；(2)已知點，，都在該拋物線上，若，求的取值范圍．5．如圖，一小球M（看成一個點）從斜坡上的O點處拋出，球的運動路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，小球到達的最高點的坐標(biāo)為，解答下列問題：(1)求拋物線的表達式；(2)小球落點為A，求A點的坐標(biāo)；(3)在斜坡上的B點有一棵樹（看成線段且垂直于x軸），B點的橫坐標(biāo)為2，樹高為，小球M能否飛過這棵樹？通過計算說明理由，6．如圖，拋物線交軸于點兩點，交軸于點，與過點且平行于軸的直線交于另一點，點是拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式及點的坐標(biāo)；(2)過點作直線的垂線，垂足為，若將沿翻折，點的對應(yīng)點為，是否存在點，使點恰好落在軸上？若存在，求出此時點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．7．如圖所示，拋物線與