第一章空間向量與立體幾何夯實(shí)基礎(chǔ)-01空間向量的線性運(yùn)算（原卷版）

第一章空間向量與立體幾何01空間向量的線性運(yùn)算問(wèn)題導(dǎo)學(xué)：平面向量的基本概念、基本運(yùn)算有哪些？空間向量的基本概念？線性運(yùn)算是什么？空間向量的共線定理、共面定理如何理解？知識(shí)構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念1.定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量2．長(zhǎng)度或模：．3．表示方法：①幾何表示法：空間向量用表示；②字母表示法：用字母，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4.幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量的向量叫做零向量，記為0單位向量向量稱為單位向量相反向量與向量a而方向的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線或，那么這些向量叫做向量或向量．規(guī)定：對(duì)于任意向量a，都有0∥a相等向量方向且相等的向量稱為相等向量知識(shí)點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法減法數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識(shí)點(diǎn)三共線向量空間兩個(gè)向量共線的充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使2．直線的方向向量：在直線l上取非零向量a，我們把與向量a的非零向量稱為直線l的方向向量．知識(shí)點(diǎn)四共面向量1．共面向量：如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做．2．向量共面的充要條件：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使拓展：對(duì)于空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．三、類型歸納類型一、空間向量的基本概念類型二、空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算類型三：空間向量線性運(yùn)算綜合問(wèn)題類型四、空間共面向量定理四、類型剖析題型一空間向量概念【例1】下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是（

）A．方向相反的兩個(gè)向量是相反向量B．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同【跟蹤訓(xùn)練1】下列說(shuō)法正確的是（

）A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．模長(zhǎng)為3的空間向量大于模長(zhǎng)為1的空間向量D．不相等的兩個(gè)空間向量的?？赡芟嗟阮}型二、空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算【例2】（2024·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體OABC中，，，．點(diǎn)M在OA上，且滿足，N為BC的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練21】.（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）空間向量（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練22】.（2024·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，等于（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練23】.已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，N為CD中點(diǎn)，如圖所示，則（）A． B．C． D．【跟蹤訓(xùn)練24】.在三棱錐中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【跟蹤訓(xùn)練25】.已知三棱錐分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【跟蹤訓(xùn)練26】.（2023秋·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰谄叫辛骟w中，點(diǎn)M滿足．若，則下列向量中與相等的是（

）A． B．C． D．題型三：空間向量線性運(yùn)算綜合問(wèn)題【例3】.已知平行六面體，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量：

(1)；(2)；(3).【跟蹤訓(xùn)練3】如圖E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體的棱AB，CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式：(1)； (2)； (3)； (4).題型四、空間共面向量定理【例4】如圖1.19，已知平行四邊形，過(guò)平面外一點(diǎn)，作射線，，，，在四條射線上分別取點(diǎn)，，，，使．求證：，，，四點(diǎn)共面．【跟蹤訓(xùn)練4】.五、素養(yǎng)提升：1．（2024·遼寧鞍山·高二鞍山一中校聯(lián)考期末）在四面體中，是棱的中點(diǎn)，且，則的值為__________.2.已知四面體，空間的一點(diǎn)滿足，若，，，共面，則實(shí)數(shù)的值為.3．為空間任意一點(diǎn)，若，若，，，四點(diǎn)共面，則（

）A．1 B． C． D．六、隨堂檢測(cè)：1．下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．若，則，的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反C．若向量，滿足，則D．相等向量其方向必相同2．在正方體中，與向量相反的向量是（

）A． B． C． D．3．在空間四邊形中，（

）A． B． C． D．4．如圖：在平行六面體中，為的交點(diǎn)．若，則向量（

）A． B． C． D．5．如圖，在斜棱柱中，與的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（

）A． B．C． D．6．如圖，平行六面體中，分別為的中點(diǎn).若，則（

）A． B．C． D．二、多選題7．如圖所示，在正方體