第五章有理數（壓軸題專練）

第五章有理數（壓軸題專練）壓軸題1定義新計算例題1對于任意有理數,定義一種新運算“⊕”，規(guī)則如下：，例如：，則的值為（

）A． B．11 C． D．29【答案】C【分析】此題考查新定義運算，有理數的混合運算，正確理解公式及所求式子中對應的a與b的值是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，故選：C．c定義一種對正整數n的“F”運算：①當n為奇數時，結果為；②當n為偶數時，結果為（其中k是使為奇數的正整數），并且運算可以重復進行，例如，取時，運算過程如圖．若，則第2024次“F運算”的結果是．【答案】1【分析】本題考查了整數的奇、偶性的新定義問題，通過若干次得出循環(huán)是解題關鍵．按新定義運算法則，分別計算第一次到第九次運算結果可得出循環(huán)規(guī)律即可求解．【詳解】由題意可知，當時，歷次運算的結果是∶故規(guī)律為：即從第七次開始1和4出現(xiàn)循環(huán)，偶數次為4，奇數次為1，∴當時，第2023次“運算”的結果是1．故答案為：1．壓軸題2絕對值化簡例題2我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，數形結合是解決數學問題的重要思想方法．例如，代數式的幾何意義是數軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離：因為，所以的幾何意義就是數軸上所對應的點與所對應的點之間的距離．（ⅰ）發(fā)現(xiàn)問題：代數式的最小值是多少？（ⅱ）探究問題：如圖，點分別表示數，因為的幾何意義是線段與的長度之和，所以當點在線段上時，；當點在點的左側或點的右側時，；所以的最小值是．請你根據上述自學材料，探究解決下列問題：（1）的最小值是______；（2）當為何值時，代數式的最小值是．【答案】（1）（2）為或【分析】考查數軸上兩點之間的距離．（1）把原式轉化為看作是數軸上表示的點與表示和的點之間的距離最小值，即可求解；（2）根據原式的最小值為，得知此題為動點問題，因此通過數軸上表示的點的左邊和右邊，得到與的距離為的點即可．【詳解】（1）因為．如圖，表示點到點的距離與點到點的距離之和當點在線段上時，，當點在點的左側或點的右側時，，所以的最小值是；（2）因為數軸上表示數的點到表示數的點的距離為，數軸上表示數的點到表示數的點的距離也為，因此當為或時，原式的最小值是．跟進練習已知、在數軸上分別表示、，(1)對照數軸填寫下表：6240、兩點的距離20(2)若、兩點間的距離記為，試問和、()的數量關系是________；(3)寫出數軸上到和的距離之和為的所有整數，并求這些整數的和；(4)若點表示的數為，當取最小值時，相應的的取值范圍是________．【答案】(1)從左到右為：(2)(3)、、、、、、、0、1、2、3、4、5、6、7，；0(4)【分析】本題考查了絕對值函數的最值、數軸及兩點間的距離，（1）根據數軸的知識，結合表格中的數即可得出答案．（2）由（1）所填寫的數字，即可得出結論．（3）由數軸的知識，可得出只要在和7之間的整數均滿足題意．（4）根據絕對值的幾何意義，可得出和2之間的任何一點均滿足題意．【詳解】（1）解：對照數軸填寫下表：6240、兩點的距離262120（2）解：∵、兩點間的距離記為，∴由（1）可得：；故答案為：（3）解：只要在和7之間的整數均滿足到7和的距離之和為14，有：、、、、、、、0、1、2、3、4、5、6、7，所有滿足條件的整數之和為：；（4）解：根據數軸的幾何意義，可得和2之間的任何一點均能使取得的值最?。士傻茫狐c的范圍在：時，能滿足題意．故答案為：壓軸題3簡便運算例題3問題情境：數學活動課上，王老師出示了一個問題：，，，．(1)利用規(guī)律計算：；(2)問題拓展，求；(3)問題解決：求的值．【答案】(1)(2)；；；(3)【分析】本題主要考查了數字的變化類，有理數的混合運算，解題關鍵觀察已知條件，找出解題的方法和技巧．（1）把各個加數拆成兩個分子是1，分母是原數分母的兩個分數相減，然后相鄰的兩個互為相反數相加即可；（2）把各個算式寫成乘以分母中的兩個數為分母，分子是1的兩個分數的差的形式，然后提取公因數，進行簡便計算即可；（3）把各個加數的分母計算后都乘以，再乘以2，然后把每個分數寫成兩個分數差的形式，再進行計算即可．【詳解】（1）解：依題意，∵，，，，∴；（2）解：；（3）解：∵，；，；，；……，所以原式．跟進練習計算:．【答案】【分析】先對原式進行變形，然后計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查了有理數的混合運算，正確變形是解題的關鍵．壓軸題4動點問題例題4材料閱讀：當點C在線段上，且時，我們稱n為點C在線段上的點值，記作．如點C是的中點時，則，記作；反過來，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．

初步感知：(1)如圖1，點C在線段上，若，則_______；若，則_______；(2)如圖2，已知線段，點P、Q分別從點A和點B同時出發(fā)，相向而行，運動速度均為，當點P到達點B時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為．請用含有t的式子表示和，并判斷它們的數量關系．拓展運用：(3)已知線段，點P、Q分別從點A和點B同時出發(fā)，相向而行，若點P、Q的運動速度分別為和，點Q到達點A后立即以原速返回，點P到達點B時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為ts．則當t為何值時，等式成立．【答案】(1)，(2)；；(3)存在t為4或，使等式成立【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，理解新定義是解題的關鍵．（1）根據材料閱讀，即可求解；（2）根據材料閱讀，可表示和，即可求解；（3）分兩種情況：當點Q到達點A之前時，當點Q到達點A返回時，結合，列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：根據題意得：，∵，∴，故答案為：，（2）解：∵，∴，∵∴，∴，∴；（3）解：當點Q到達點A之前時，∵∴，∵∴，∴，∵，∴，

解得：；當點Q到達點A返回時，此時，∴∵，∴，∵∴

∴

∴存在t的值為4或，使等式成立．跟進練習平移和翻折是初中數學兩種重要的圖形變化．(1)平移運動；①把筆尖放在數軸的原點處，先向負方向移動3個單位長度，再向正方向移動2個單位長度，這時筆尖的位置表示什么數？用算式計算表示出以上過程及結果是______．②一機器人從原點開始，第1次向左跳1個單位，緊接著第2次向右跳2個單位，第3次向左跳3個單位，第4次向右跳4個單位，…，依此規(guī)律跳，當它跳2023次時，落在數軸上的點表示的數是______．(2)翻折變換；①若折疊紙條，表示的點與表示3的點重合，則表示2021的點與表示______的點重合；②若數軸上兩點之間的距離為2022（A在的左側，且折痕與①折痕相同），且兩點經折疊后重合，則點A、點分別表示______、______；③若數軸上折疊重合的兩點的數分別為，折疊中間點表示的數為______．（用含有的式子表示）【答案】(1)①這時筆尖的位置表示，；②(2)①；②；③【分析】（1）①根據有理數的加法法則即可判斷；②探究規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問題；（2）①根據對稱中心是1，即可解決問題；②由對稱中心是1，，可知A點是1左邊距1為1011個單位的點表示的數，B點是1右邊距1為1011個單位的點表示的數，即可求出點A、B所表示的數；③利用中點坐標公式即可解決問題．【詳解】（1）解：①由題意得：，這時筆尖的位置表示，故答案為：；②由題意得：，故答案為：；（2）解：①，∴對稱中心為1，，，∴表示2021的點與表示的點重合，故答案為：；②∵對稱中心為1，，∴點A所表示的數為：，點B所表示的數為：，故答案為：；③∵數軸上折疊重合的兩點的數分別為a，b，∴折疊中間點表示的數為，故答案為：．【點睛】本題考查了數軸、有理數的加減混合運算、中心對稱等知識，理解題意，靈活應用所學知識是解決問題的關鍵．壓軸題5綜合問題例題5綜合與與實踐數學活活動課上，老師拿出兩個單位長度不同的數軸甲和數軸乙模型，如圖，當兩個數軸的原點對齊時，數軸甲上表示的點與數軸乙上表示的點恰好對齊．

思考解答下列問題:(1)如圖中，數軸乙上表示的點與數軸甲上表示的點對齊；(2)將圖中的數軸乙向左移動，使得數軸乙的原點與數軸甲表示的點對齊，如圖，

此時數軸甲上表示的點與數軸乙上表示的點對齊，數軸乙上距離原點個單位長度的點與數軸甲上表示的點對齊；(3)若數軸甲上表示的點與數軸乙上表示的點對齊，數軸乙上距離原點個單位長度的點記作點，數軸甲上與點對齊的點記作點，求點表示的數．【答案】(1)；(2)，或；(3)或．【分析】（）根據題意可知數軸乙上的個單位長度在數軸甲上表示個單位長度，據此求解即可；（）先求出數軸甲上表示的數與的距離，再根據數軸乙上的個單位長度在數軸甲上表示個單位長度進行求解即可；求出數軸乙上距離原點個單位長度的點在數軸甲上距離的距離即可得到答案；（）要求乙軸對應甲軸的數，即要先求出乙軸上到對齊點的距離在甲軸上表示的是多少，同理，要求甲軸對應乙的數，即要先求出甲軸上到對齊點的距離在乙軸上表示多少，據此求解即可；此題考查了用數軸表示有理數，數軸上兩點的距離，整式的加減計算，正確理解題意熟知數軸乙上的個單位長度在數軸甲上表示個單位長度是解題的關鍵．【詳解】（1）∵數軸甲上表示的點與數軸乙上表示的點恰好對齊，∴數軸乙上的個單位長度在數軸甲上表示個單位長度，∴數軸乙上表示的點與數軸甲上表示的點對齊，故答案為：；（2）∵數軸乙的原點與數軸甲表示的點對齊，∴數軸甲上表示的點與相距個單位長度，則在數軸乙上表示的點對齊；∴數軸乙上距離原點個單位長度的點在數軸甲表示：的點對齊，的點對齊，故答案為；；或；（3）由題意得：當在數軸乙原點左側時，即表示的數為，∴與表示的點的距離為，則點表示的數；當在數軸乙原點右側時，即表示的數為，∴與表示的點的距離為，則點表示的數，綜上可知：點表示的數為或．跟進練習綜合與探究：【背景知識】在學習絕對值后，我們知道，表示數在數軸上的對應點與原點的距離．如圖，如：表示5在數軸上的對應點到原點的距離．而，即也可理解為5、0在數軸上對應的兩點之間的距離．類似的，表示5與3之差的絕對值，也可理解為5與3兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離．如的幾何意義是數軸上表示有理數3的點與表示數的點之間的距離，一般地，點、在數軸上分別表示數、，那么、之間的距離可表示為．【問題解決】請根據絕對值的意義并結合數軸解答下列問題：（1）數軸上表示2和3的兩點之間的距離是__________；數軸上表示和的兩點之間的距離是__________；（2）數軸上點表示的數是2，、兩點的距離為3，則點表示的數是__________（3）的幾何意義是數軸上表示有理數__________的點與表示的點之間的距離；【拓展延伸】（4）如圖，、分別為數軸上的兩點，點對應的數為，點對應的數為100．現(xiàn)有一只電子螞蟻從點出發(fā)，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻恰好從點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，設兩只電子螞蟻在數軸上的點相遇，請你求出點所對應的數是多少．【答案】（1）1，；（2）或5；（3）；（4）28【分析】（1）直接根據數軸上兩點之間的距離計算即可；（2）分點在點左邊和點在點右邊兩種情況列式計算；（3）根據絕對值的幾何意義分析即可；（4）先求出相遇所需的時間，再求出點Q走的路程，根據左減右加的原則，可求出向右運動到相遇地點所對應的數．【詳解】解：（1）數軸上表示2和3的兩點之間的距離是；數軸上表示和的兩點之間的距離是；（2）∵數軸上點表示的數是2，、兩點的距離為3，∴，當點在點左邊時，；當點在點右邊時，；即點表示的數是或5；（3），表示數軸上表示有理數的點與表示的點之間的距離；（4）A，B之間的距離為，依題意有：秒，即12秒后相遇，即相同時間Q點運動路程為：（個單位），則從數向右運動48個單位到數，故C點對應的數是28．【點睛】此題考查的是絕對值的意義，數軸上兩點之間的距離，數軸上點的運動，還有相遇問題與追及問題．注意用到了路程=速度×時間．鞏固訓練1.如圖是一個數值計算程序：若輸入的數字是，則輸出的數字為（

）A． B． C． D．17【答案】A【分析】本題主要考查程序問題，根據題意列出算式并熟練掌握有理數數的比較大小是解答本題的關鍵．【詳解】解：當輸入的數字是，，∴輸出的結果為，故選A．2．在多項式中添加1個絕對值符號，使得絕對值符號內含有項，并把絕對值符號內最右邊項的“”改為“”，稱此為“添加操作”，最后將絕對值符號打開并化簡，得到的結果記為T．例如：將原多項式添加絕對值符號后，可得，此時．再將“”改為“”，可得．于是同一種“添加操作”得到的T有2種可能的情況：或．下列說法：①若，，則；②共有3種“添加操作”，可能得到；③有且僅有一個k值，使T中可能有2個“”，其中正確的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查了絕對值的性質，解題時注意結合分類討論是關鍵．【詳解】依據題意，分別分析如下：①,即又的絕對值是，∴.∴.∴①正確.②時,，則可能，這是一種絕對操作，則可能，這是第二種絕對操作；時,,則可能.這是第三種絕對操作，∴共有三種絕對操作故②正確；③時只有1個“”,時,有個或個“”,時,有個或個“”.∴③正確.故選:D.3.用符號表示a，b兩個有理數中的較大的數，表示a，b兩個有理數中的較小的數，的值為．【答案】/【分析】本題考查了有理數的比較及有理數的加法運算，弄清新定義的的意義，知道有數大小的比較方法是解題的關鍵．根據新定義的要求，求出和的值，然后相加即可．【詳解】解：根據題意，得，，∴．故答案為：．4.閱讀下列材料，計算：．解法1：原式．解法2：原式的倒數，故原式．(1)以上兩種解法中，解法________(填1或2)是正確的；(2)請你計算：．【答案】(1)2(2)【分析】本題考查了有理數的混合運算，倒數的定義（1）解法1根據除法沒有分配律進行判斷；（2）先計算原式前半部分的結果，然后根據倒數的定義求出后半部分的結果，即可求出原式的值．【詳解】（1）解：因為除法沒有分配律，所以解法1不正確，解法2運用了倒數法求解，正確．故答案為：2（2）解：前部分：，后部分：原式的倒數，故，原式．5．【概念學習】現(xiàn)規(guī)定：求若干個相同有理數（均不等于0）連除的商的運算叫做除方．比如：，等，類比有理數的乘方，我們把：寫作：，讀作“2的圈3次方”；寫作，讀作“的圈4次方”．一般地，把寫作，讀作“a的圈n次方"．【初步探究】（1）直接寫出計算結果：________，________；【深入思考】我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，那么有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？除方整式冪的形式（2）歸納：請把有理數的圈次方寫成冪的形式為：________；（3）利用（2）中的結論，計算：．【答案】（1）1，；（2）；（3）0【分析】根據新定義進行計算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，，故答案為：1，；（2）解：由題意知，數a的圈n次方寫成冪的形式為，故答案為：；（3）解：∴原式．【點睛】本題考查了有理數的乘法、除法，混合運算，整式冪．解題的關鍵在于理解題意．6.在學習了數軸后，小亮決定對數軸進行變化應用：(1)應用一：已知點在數軸上表示數為，數軸上的任意一點表示的數為，則兩點的距離可以表示為______；應用這個知識，請直接寫出當______時，的最小值為______．AI

(2)應用二：從數軸上取下一個單位長度的線段，第一次剪掉原長的，第二次剪掉剩下的，依次類推，每次都剪掉剩下的，則剪掉5次后剩下線段的長度為______；應用這個原理，請計算：．

(3)應用三：如圖，將一根拉直的細線看作數軸，一個三邊長分別為，，的三角形的頂點與原點重合，邊在數軸正半軸上，將數軸正半軸的線沿的順序依次纏繞在三角形的邊上，負半軸的線沿的順序依次纏繞在三角形的邊上．①如果正半軸的線纏繞了5圈，負半軸的線纏繞了3圈，求繞在點C上的所有數字和；②如果正半軸的線不變，將負半軸的線拉長一倍，即原線上的點的位置對應著拉長后的數，并將三角形向正半軸方向平移一個單位后再開始繞，求繞在點B且絕對值不超過100的所有數之和．AI

【答案】(1)；0；3(2)；(3)①120；②【分析】（1）根據數軸上兩點間的距離的表示方法列出式子即可；（2）第1次剪掉的長度是；第1次剪掉后剩下的長度是；第2次剪掉的長度是；第2次剪掉后剩下的長度是；第3次剪掉的長度是；第3次剪掉后剩下的長度是…由此規(guī)律得出第5次剪掉剩下的長度是，…第7次剪掉后剩下的長度是；；即可求出.（3）①分別找出正半軸以及負半軸在點C上的數字之