24.4弧長和扇形面積（第1課時）（作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)能力提升）

24.4弧長和扇形面積（第1課時）（作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）若扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為（

）A． B．6 C．12 D．【答案】B【分析】根據(jù)弧長公式可以求得該扇形的半徑的長度．【詳解】解：根據(jù)弧長的公式，知=6，即該扇形的半徑為6．故選：B．【點睛】本題考查了弧長的計算．解題時，主要是根據(jù)弧長公式列出關(guān)于半徑r的方程，通過解方程即可求得r的值．2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如果一弧長是其所在圓周長的，那么這條弧長所對的圓心角為（

）A．15度 B．16度 C．20度 D．24度【答案】C【分析】根據(jù)弧長公式和圓的周長公式的關(guān)系即可得出答案【詳解】解：∵一弧長是其所在圓周長的，∴∴∴這條弧長所對的圓心角為故選：C【點睛】本題考查了弧長的計算，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖是邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格，△ABC的頂點都在格點上，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，則頂點B所經(jīng)過的路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)勾股定理計算出BC=，頂點B所經(jīng)過的路徑為弧，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得弧所對的圓心角為60°，然后根據(jù)弧長公式求解．【詳解】解：BC==，所以頂點B所經(jīng)過的路徑長=．故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了弧長公式．4．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知扇形的半徑為6，圓心角為20°，則扇形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)扇形的面積公式即可得．【詳解】解：扇形的半徑為6，圓心角為，扇形的面積為，故選：D．【點睛】本題考查了扇形的面積，熟記公式是解題關(guān)鍵．5．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=2，在以AB的中點O為坐標(biāo)原點、AB所在直線為x軸建立的平面直角坐標(biāo)系中，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點A旋轉(zhuǎn)至y軸正半軸上的處，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明△ABC是等腰直角三角形，得到AB＝2，進(jìn)一步求得旋轉(zhuǎn)角為60°，由即可得到陰影部分的面積．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝2AO＝2OB＝AC＝2，∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點A旋轉(zhuǎn)至y軸正半軸上的處，∴△ABC≌，∴，∴，即sin，∴，∴，即旋轉(zhuǎn)角為60°，，故選：C【點睛】此題考查了扇形面積、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識點，推導(dǎo)出是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在扇形中，∠，，則陰影部分的面積是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用陰影部分的面積等于扇形面積減去的面積即可求解.【詳解】=故選D【點睛】本題主要考查扇形面積和三角形面積，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.7．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，正方形中，分別以，為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖可知，樹葉形圖案的面積是兩個圓心角為90°，且半徑為a的扇形的面積與正方形的面積的差，可據(jù)此求出樹葉形圖案的面積．【詳解】解：樹葉形圖案的面積為：．故選：B．【點睛】本題利用了扇形的面積公式，正方形的面積公式求解，得出樹葉形圖案的面積等于是解題的關(guān)鍵．8．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長為（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠A的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠BOC的度數(shù)，再利用弧長公式求出答案．【詳解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的長為：π．故選：B．【點睛】此題主要考查了弧長公式應(yīng)用以及圓周角定理，正確得出∠BOC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．9．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】A【分析】根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：∵75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，由弧長公式l，∴2.5π，解得：r＝6，故選：A．【點睛】本題考查了由弧長求半徑，熟練掌握和靈活運用弧長公式為解題的關(guān)鍵，弧長公式l．10．（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=2，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，AB1恰好經(jīng)過點C．則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，由此可得，根據(jù)扇形面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】由旋轉(zhuǎn)得：∠B1AB＝60°，∵，∴＝＝．故選：A．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積公式，解決本題的的關(guān)鍵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出陰影部分的面積等于扇形的面積．11．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F，若⊙O的半徑為，∠CDF=15°，則陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】連接AD，連接OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，過O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2，AH=6，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接AD，連接OE，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵DF⊥AC，∴∠DFC=∠DFA=90°，∴∠DAC=∠CDF=15°，∵AB=AC，D是BC中點，∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，∵OA=OE，∴∠AOE=120°，過O作OH⊥AE于H，∵AO=4，∴OH=AO=2，∴AH=OH=6，∴AE=2AH=12，∴S陰影=S扇形AOES△AOE=．故選：A．【點睛】本題主要考查了扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題12．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知扇形的半徑為，面積是，則扇形的弧長是___．【答案】##【分析】直接利用扇形的面積公式計算即可．【詳解】解：由S扇=lr可得：=l×2．解得：l=．故答案為．【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式，牢記扇形的面積公式S扇=lr是解答本題的關(guān)鍵．13．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）一個扇形的弧長是3π，面積是12π，則此扇形的半徑是___________．【答案】8【分析】根據(jù)扇形的面積公式S扇形=lR即可得出答案．【詳解】解：∵S扇形=lR，∴R==8．故答案為：8．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，比較簡單，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形面積的計算公式．14．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）若一個扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角是__________度．【答案】60【分析】根據(jù)扇形的面積公式求出半徑，然后根據(jù)弧長公式求出圓心角即可．【詳解】解：扇形的面積==6π，解得：r=6，又∵=2π，∴n=60．故答案為：60．【點睛】此題考查了扇形的面積和弧長公式，解題的關(guān)鍵是掌握運算方法．15．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）在活動課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設(shè)計風(fēng)車．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為_____．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】根據(jù)題意，點B所經(jīng)過的路徑是圓弧，根據(jù)直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半，易知AB=4，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圓弧的長度即可．【詳解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，∴B點通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及圓弧的求法，熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．16．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為__________．【答案】

##【分析】根據(jù)弧長公式可求得的長；根據(jù)圖形可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABCS扇形BCB′S△A′B′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′S扇形BCB′求出其值即可．【詳解】解：∵△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．∴的長為:2π；∵AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABCS扇形BCB′S△A′B′C，∴AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′S扇形BCB′，∴AB掃過的圖形的面積=．故答案為：2π；．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，全等三角形的性質(zhì)的運用，弧長公式以及扇形的面積公式的運用，解答時根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．17．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，與軸相切，與軸相交于點，．（1）的半徑______；（2）扇形的面積為______．【答案】

2；

##【分析】作AF⊥BC，假設(shè)⊙A與x軸相切于E點，連接AE，做BD⊥AE，利用垂徑定理的內(nèi)容得出BF=CF，進(jìn)而得出AD與半徑的關(guān)系，從而得出△ABC為等邊三角形，然后計算半徑，再利用扇形面積公式求出即可．【詳解】解：作AF⊥BC，假設(shè)⊙A與x軸相切于E點，連接AE，BD⊥AE，假設(shè)AE=x，圖象與y軸相交于點B（0，1）、C（0，3），∴OB=DE=1，AD=x1，∵AC=AB，AF⊥BC，∴BF=CF=1，∴AD=BF=1=x1，解得：x=2，∴AB=BC=AC=2，△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴扇形BAC的面積=，故答案為：2；．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的判定方法以及扇形的面積求法等知識，利用已知得出BF=AD是解決問題的關(guān)鍵．18．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，點A，B，C，在半徑為6的圓上，∠ACB=45°，則圖中陰影部分的面積為_________（結(jié)果保留）．【答案】9π18##18+9π【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠BOA，根據(jù)扇形面積公式計算即可．【詳解】解：連接OA、OB，由圓周角定理得，∠BOA=2∠ACB=90°，∴△BOA為等腰直角三角形，則圖中陰影部分的面積=×6×6=9π18，故答案為：9π18．【點睛】本題考查的是扇形面積計算、圓周角定理，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是邊AC上的點，以O(shè)C為半徑的圓分別交邊BC、AC于點D、E，過點D作DF⊥AB于點F．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的長．【答案】（1）詳見解析；（2）π．【分析】（1）連結(jié)OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OD∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ODF＝90°，根據(jù)切線的判定定理證明；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOD＝180°﹣45°＝135°，根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】證明：如圖，連結(jié)OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∵OD為半徑，∴直線DF是⊙O的切線；（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，∴劣弧DE的長為．【點睛】本題主要考查了切線的判定及弧長的計算，熟練掌握切線的判定定理及弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵.20．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，點A，B，C在直徑為2的⊙O上，∠BAC＝45°．(1)求弧BC的長度；(2)求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果中保留π）【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OB，OC．根據(jù)∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，可得∠BOC＝90°，根據(jù)⊙O的直徑為2，可得OB＝OC＝1，即利用弧長公式即可求解答案；（2）根據(jù)∠BOC＝90°，可知△BOC是直角三角形，根據(jù)OB＝OC＝1，即可求出△BOC的面積和扇形OBC的面積，再根據(jù)S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求解．（1）如圖，連接OB，OC．∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵⊙O的直徑為2，∴OB＝OC＝1，∴；（2）∵∠BOC＝90°，∴△BOC是直角三角形，∵⊙O的直徑為2，∴OB＝OC＝1，∴△BOC的面積為，∵，即S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．【點睛】本題考查了圓周角定理、弧長公式、扇形面積公式等知識，掌握圓周角定理證明出∠BOC＝90°是解答本題的關(guān)鍵．21．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖所示，有一直徑為的圓形紙片，要從中剪去一個最大的圓心角是90°的扇形ABC．(1)求被剪掉的陰影部分的面積；(2)用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）連結(jié)BC，根據(jù)∠A＝90°，可得，再由勾股定理可得AB＝AC＝1，然后根據(jù)，即可求解；（2）設(shè)圓錐底面半徑為r，則的長為2πr，從而得到，即可求解．（1）解：如圖，連結(jié)BC，∵∠A＝90°，∴BC為⊙O的直徑．即，在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2，∴AB＝AC＝1，∴＝；（2）解：設(shè)圓錐底面半徑為r，則的長為2πr，∴，∴．【點睛】本題主要考查了求扇形面積，圓錐的底面半徑，勾股定理，熟練掌握扇形面積公式，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，從一張腰長為90cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側(cè)面（不計損耗），則該圓錐的底面圓的半徑為（）cm．A．15 B．30 C．45 D．30π【答案】A【分析】作出等腰三角形底邊上的高線OE，首先根據(jù)直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出等腰三角形底邊上的高線OE的長度，即得到扇形OCD所在的圓的半徑R，然后根據(jù)弧長公式求出的長度，的長度即為圓錐底面圓的周長，最后根據(jù)周長求出半徑即可．【詳解】如圖，過點O作OE⊥AB，垂足為E，∵△OAB為頂角為120°的等腰三角形，∴=30°，cm，∴cm，設(shè)圓錐的底面圓半徑為rcm，根據(jù)題意得，，解得，所以該圓錐的底面圓的半徑為15cm，故選A．【點睛】本題考查了直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半、扇形的弧長公式、圓的周長公式，準(zhǔn)確將扇形的弧長轉(zhuǎn)化為底面圓的周長是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，扇形OBA中，點C在弧AB上，連接BC，P為BC中點．若，，則點C沿弧從點B運動到點A的過程中，點P所經(jīng)過的路徑長為（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】連接OC、OP，易得∠OPB=90°，點P是在以O(shè)B的中點D為圓心，BD為半徑的圓上運動，求即可．【詳解】連接OC、OP，∵OB=OC，∴△BOC為等腰三角形，∵P為BC中點，∴OP⊥BC（三線合一），即∠OPB=90°，∴點P是在以O(shè)B的中點D為圓心，BD為半徑的圓上運動，如圖所示，當(dāng)點C運動到點A時，點P到達(dá)位置，點P所經(jīng)過的路徑長為，連接，∵D為OB中點，為AB中點，∴∥OA，∴=，BD=OA=3，∴，即點P所經(jīng)過的路徑長為，故選：B．【點睛】本題考查動點的運動軌跡問題，根據(jù)定弦定角確定圓的所在位置，以及等腰三角形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、弧長公式，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖．將扇形翻折，使點A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與交于點C，連接．若，則圖中陰影部分的面積是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】連接CO，且直線l與AO交于點D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面積，再算出的面積，即可求出陰影部分面積．【詳解】連接CO，且直線l與AO交于點D，如圖所示，∵扇形中，，∴，∵點A與圓心O重合，∴，，∴，∴，由勾股定理得：，∵，，∴，故選：B．【點睛】此題考查求不規(guī)則圖形的面積，扇形面積公式，添加輔助線是本題的關(guān)鍵．4．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AC為對角線，，，以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點M，交BC于點N，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BM，過M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等邊三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接BM，過M作MH⊥BC于H，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵AB=1，∠ACB=30°，∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，∵BA=BM，∴△ABM是等邊三角形，∴∠ABM=60°，∴∠MBN=30°，∴MH=BM=，∴S陰=S△BCMS扇形BMN==，故選：A．【點睛】本題考查扇形面積的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積公式等知識，明確S陰=S△BCMS扇形BMN是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)S陰影=S扇形AODS扇形BOC求解即可．【詳解】解：S陰影=S扇形AODS扇形BOC====2.25π（m2）故選：D．【點睛】本題考查扇形面積，不規(guī)則圖形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖是一張圓心為O，半徑為4cm的圓形紙片，沿弦AC所在直線折疊，使得經(jīng)過點O，將紙片展平后，作半徑，則圖中陰影部分的面積等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作OD⊥AC交圓于點D、交AC于點E，根據(jù)垂徑定理，OD平分和，又因為AC是對折線，所以O(shè)D與AC互相垂直平分，所以O(shè)DCO組成的圖形面積是與組成的圖形面積的一半，也就等于ADCEA組成圖形面積，此部分面積可用扇形OAC的面積減去△OAC面積求出，再用求出的面積減去扇形ODB的面積即得陰影部分面積．【詳解】作OD⊥AC交圓于點D，交AC于點E，連接OC，如圖，∴OD垂直平分弦AC，平分和，∵AC是向圓內(nèi)的折線，且弦AC折疊后經(jīng)過點O，∴點O是點D關(guān)于AC的對稱點，即OD與AC互相垂直平分，∴OE=DE=OD設(shè)與弦AC構(gòu)成的圖形面積為SADC，與構(gòu)成的圖形面積為SADCO，與和線段OD構(gòu)成的圖形面積為SODC，則SADC=SADCO，SODC=SADCO，∴SODC=SADC，∵OD、OA都是圓O的半徑，半徑為4cm，∴OE=OD=OA=，∴∠OAE=30°，∴∠AOE=90°30°=60°，∴∠AOC=2∠AOE=2×60°=120°，∴S扇形OAC==(cm2)，∵AC=2AE=cm，∴S△OAC=(cm2)，∴SADC=S扇形OACS△OAC=（）(cm2)，∴SODC=（）(cm2)，∵OB⊥OA，∠AOE=60°，∴∠BOD=∠AOB∠AOE=90°60°=30°，∴S扇形OBD=(cm2)，∴S陰影=SODCS扇形OBD==（）(cm2)，故選A．【點睛】本題考查了求扇形和弓形面積、垂徑定理、折疊問題及三角形的知識，解題的關(guān)鍵是要能通過對稱看出SODC=SADC=SADCO，以及S陰影=SODCS扇形OBD，再分別求出各部分面積就能求解．7．（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得的長，勾股定理求得的長，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，連接,，邊長為的正方形內(nèi)接于，即，，，為的直徑，，，分別與相切于點和點，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．故選C．【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點D，再將沿AB翻折交BC于點E．若，AB＝4，則的長度為_____．【答案】【分析】由同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等可得，因此．結(jié)合AB是的直徑，可得所對的圓心角的度數(shù)．再利用弧長公式計算的長即可．【詳解】∵、、、所在的圓是等圓又∵、、所對的圓周角都是∴==

又∵=∴===

又∵+++=∴=∴又∵AB是的直徑∴所對的圓心角為

∴的長=故答案為【點睛】本題主要考查了圓周角定理，弧長的計算，翻折變換．求所對的圓心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在扇形ODE中，，，是扇形的內(nèi)接三角形，其中A、B、C分別在弧DE和半徑OE、OD上，，，則線段AC的最小值為______．【答案】【分析】取BC的中點M，連接AM，OM，AO．AM+OM≥OA，當(dāng)且僅當(dāng)A、M、O三點共線時等號成立，這樣問題迎刃而解．【詳解】解：取BC的中點M，連接AM，OM，AO．∵AC：BC=3：8，∴可以假設(shè)AC=3k，BC=8k，則CM=BM=4k，∵∠ACB=∠COB=90°，∴∵AM+OM≥OA，∴5k+4k≥5，∴k≥，∴k的最小值為，∴AC的最小值為，故答案為．【點睛】本題是屬于動點問題，難點是A、B、C三點都是動點，關(guān)鍵是找出與AC關(guān)聯(lián)的兩條線段OM、AM，通過添三條輔助線，將問題轉(zhuǎn)化到一個斜三角形中，這是一般學(xué)生很難想到的．在圖中，學(xué)生可能還會想到斜三角形AOC，但是OC與AC不關(guān)聯(lián)，問題也會陷入困境，因此構(gòu)造合適的斜三角形至關(guān)重要．10．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，動點M，N分別從點A，C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB，CD向終點B，D移動，當(dāng)點M到達(dá)點B時，運動停止．過點B作直線MN的垂線BG，垂足為點G，則G點運動的路徑長為_______cm【答案】【分析】連接BD，AC相交于O，在運動過程中，，得到點G的軌跡為以O(shè)B為直徑的半圓，G點軌跡長度等于半圓弧長，即可算出．【詳解】解：連接BD，AC相交于O在運動過程中，故點G的軌跡為以O(shè)B為直徑的半圓G點軌跡長度等于半圓弧長，即：故答案為：．【點睛】本題考查動點問題，得到G點軌跡是以O(shè)B為直徑的半圓是解題關(guān)鍵．11．（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，的半徑為2cm，正六邊形內(nèi)接于，則圖中陰影部分面積為______．【答案】【分析】如圖，連接BO，CO，OA．由題意得，△OBC，△AOB都是等邊三角形，證明△OBC的面積=△ABC的面積，可得圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積，再利用扇形的面積公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，連接BO，CO，OA．由題意得，△OBC，△AOB都是等邊三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴，∴△OBC的面積=△ABC的面積，∴圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積=．故答案為：【點睛】本題考查正多邊形與圓、扇形的面積公式、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的扇形思考問題，屬于中考常考題型．12．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形ABCD的對角線交于點O，以O(shè)C為半徑的扇形的圓心角．則圖中陰影部分面積是_____．【答案】【分析】證明△OCG≌△OBE，經(jīng)過觀察易得出結(jié)論：陰影部分面積=扇形面積正方形面積的．【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，∵扇形的圓心角，∴∠BOC∠COE=∠FOH∠COE，即∠BOE=∠COG，在△OCG和△OBE中，∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG，OB=OC∴△OCG≌△OBE，∵正方形邊長為4，∴AC=，∴OC=∵，===故答案為：【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等以及扇形面積的計算；掌握正方形的性質(zhì)，熟練地進(jìn)行三角形全等的判定，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為常見圖形的面積是解題的關(guān)鍵．13．（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，，，，把繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得，則AB掃過的面積（圖中陰影部分）為________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理得到OA，然后根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OA、OC，∵AB⊥OB，AB=2，OB=4，∴OA==2，∵AB掃過的面積=S扇形OAC+S△CODS△AOBS扇形OBD，∵S△COD=S△AOB∴邊AB掃過的面積=S扇形OACS扇形OBD==故答案為：．【點睛】本題考查了扇形的面積的計算，勾股定理，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．14．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，，將三角形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（）后得到三角形，點經(jīng)過的路徑為弧，則圖中陰影部分的面積是_________．【答案】【分析】把△ADE順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△ABC，要求的陰影部分的面積就是邊長為5，角為60°的扇形面積．【詳解】圓形面積==25π扇形的面積==【點睛】此題考查了求陰影部分的面積，解題關(guān)鍵是把陰影的面積變成求扇形的面積．15．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，若，CB＝2，則陰影部分的面積是______．【答案】【分析】連接OC，設(shè)CD與AB的交點為E，利用垂徑定理、勾股定理判定△OBC是等邊三角形，運用扇形的面積減去△OBC的面積即可．【詳解】連接OC，設(shè)CD與AB的交點為E，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，，CB＝2，∴，，∴∠ECB=30°，∠CBE=60°，∵CO=BO，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=60°，OC=OB=2，∴=，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．16．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，等腰中，，以A為圓心，以AB為半徑作﹔以BC為直徑作．則圖中陰影部分的面積是______．（結(jié)果保留）【答案】【分析】由圖可知：陰影部分的面積＝半圓CAB的面積△ABC的面積+扇形ABC的面積△ABC的面積，可根據(jù)各自的面積計算方法求出面積即可．【詳解】解：∵等腰中，∴BC=2∴S扇形ACB，S半圓CABπ×（1）2，S△ABC=1；所以陰影部分的面積＝S半圓CABS△ABC+S扇形ACBS△ABC．故答案是：．【點睛】本題主要考查了扇形和三角形的面積計算方法．不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．三、解答題17．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點D，交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．(1)求證：AC＝AF；(2)若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結(jié)果保留π）．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形ABED是平行四邊形，得∠B＝∠D，再證明即可得到結(jié)論；（2）連接OA，OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，由圓周角定理可得最后由弧長公式可求出結(jié)論．（1）∵，，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴∠B＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．（2）連接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴，∴．∴的長．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、弧長公式等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．18．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB是直徑，半徑為R，弧AC=R.求：（1）∠AOC的度數(shù).（2）若D為劣弧BC上的一動點，且弦AD與半徑OC交于E點.試探求△AEC≌△DEO時，D點的位置.【答案】(1)∠AOC=60°；(2)D的位置，只要滿足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中點其中一條.【分析】（1）根據(jù)弧AC=R和弧長公式，即可求得弧所對的圓心角的度數(shù)；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩條直線平行，即可得到AC∥OD，或者結(jié)合（1）的結(jié)論發(fā)現(xiàn)等邊三角形AOC，從而證明點D只要滿足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中點即可．【詳解】解：（1）設(shè)∠AOC=n°,∵AC=R，∴R，∴n=60°,∴∠AOC=60°；（2）∵∠AOC=60°,OA=OC,∴△AOC是等邊三角形，∴∠ACO=∠AOC=60°.∵△AEC≌△DEO，∴∠CAO=∠DOB=∠C=60°，∴AC∥OD,∴∠BOD=∠CAO=60°,∠COD=∠C=60°,∴D是劣弧BC的中點，∴D的位置，只要滿足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中點即可．【點睛】本題考查了弧長的計算公式，熟記弧長計算公式是解答本題的關(guān)鍵，如果扇形的圓心角是no，扇形的半徑是R，則扇形的弧長l的計算公式為：.本題也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì).19．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，邊長為的等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，D為劣弧上一點，過點B作BE⊥OD于點E，當(dāng)點D從點B沿劣弧運動到點C時，求點E經(jīng)過的路徑長．【答案】【分析】如圖，以O(shè)B為直徑畫⊙K交AB于T，連接TK，圖中的