內(nèi)蒙古包頭市第二中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

內(nèi)蒙古包頭市第二中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)點是點，，關(guān)于平面的對稱點，則（）A.10 B.C. D.382．等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列，其前項和為，則等于（）A. B.C. D.3．高中生在假期參加志愿者活動，既能服務(wù)社會又能鍛煉能力．某同學(xué)計劃在福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院中任選兩個單位參加志愿者活動，則參加圖書館活動的概率為（）A. B.C. D.4．在公比為為q等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和，若，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.5．如圖，在正方體中，是側(cè)面內(nèi)一動點，若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡所在的曲線是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線6．雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則它的離心率為（）A. B.C. D.7．下列雙曲線中，漸近線方程為的是A. B.C. D.8．?dāng)?shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.29．的展開式中的系數(shù)為，則（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列通項公式，則（）A.6 B.13C.21 D.3111．已知圓C的方程為，點P在圓C上，O是坐標(biāo)原點，則的最小值為（）A.3 B.C. D.12．已知雙曲線的離心率為2，且與橢圓有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若橢圓的一個焦點為，則p的值為______14．已知一個樣本數(shù)據(jù)為3，3，5，5，5，7，7，現(xiàn)在新加入一個3，一個5，一個7得到一個新樣本，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)______，方差______.（“變大”、“變小”、“不變”）15．設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為雙曲線的焦點，過F的直線l與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，且的內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率為____________16．已知數(shù)列前n項和為，且.（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）在①；②；③這三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并加以解答.已知數(shù)列滿足___________，求的前n項和.注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案解答計分.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線C相交于A，B兩點，點，求的值.18．（12分）已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點，且，證明：直線過定點.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為棱的中點.（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.20．（12分）某公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站，為了研究車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時間x/分101112131415等候人數(shù)y/人232526292831調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實際等候人數(shù)y的差，若差值的絕對值都不超過1，則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.（1）若選取的是中間4組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程=x+，并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”.（2）假設(shè)該起點站等候人數(shù)為24人，請你根據(jù)（1）中的結(jié)論預(yù)測車輛發(fā)車間隔多少時間合適?附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為21．（12分）已知橢圓：經(jīng)過點為，且.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相切于點，與直線相交于點.已知點，且，求此時的值.22．（10分）已知橢圓，斜率為的動直線與橢圓交于A，B兩點，且直線與圓相切.（1）若，求直線的方程；（2）求三角形的面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】寫出點坐標(biāo)，由對稱性易得線段長【詳解】點是點，，關(guān)于平面的對稱點，的橫標(biāo)和縱標(biāo)與相同，而豎標(biāo)與相反，，，，直線與軸平行，，故選：A2、D【解析】根據(jù)裂項求和法求得，再計算即可.【詳解】解：由題意得====所以.故選：D3、D【解析】對4個單位分別編號，利用列舉法求出概率作答.【詳解】記福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院分別為A，B，C，D，從4個單位中任選兩個的試驗有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6個基本事件，它們等可能，其中有參加圖書館活動的事件有AC，BC，CD，共3個基本事件，所以參加圖書館活動的概率.故選：D4、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式、前項和公式的基本量運算，即可得到答案；【詳解】，，故A錯誤；，，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯誤；，故C錯誤；，，故D成立；故選：D5、D【解析】由到直線的距離等于到點的距離可得到直線的距離等于到點的距離，然后可得答案.【詳解】因為到直線的距離等于到點的距離，所以到直線的距離等于到點的距離，所以動點的軌跡是以為焦點、為準(zhǔn)線的拋物線故選：D6、A【解析】先利用直線的斜率判定一條漸近線與直線垂直，求出，再利用雙曲線的離心率公式和進行求解.【詳解】因為直線的斜率為，所以雙曲線的一條漸近線與直線垂直，所以，即，則雙曲線的離心率.故選：A.卷II（非選擇題7、A【解析】由雙曲線的漸進線的公式可行選項A的漸進線方程為，故選A.考點：本題主要考查雙曲線的漸近線公式.8、C【解析】根據(jù)已知分析數(shù)列周期性，可得答案【詳解】解：∵數(shù)列滿足，，∴，，，，故數(shù)列以4為周期呈現(xiàn)周期性變化，由，故，故選C【點睛】本題考查的知識點是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的周期性，難度中檔9、B【解析】根據(jù)二項式展開式的通項，先求得x的指數(shù)為1時r的值，再求得a的值.【詳解】由題意得：二項式展開式的通項為：，令，則，故選：B10、C【解析】令即得解.【詳解】解：令得.故選：C11、B【解析】化簡判斷圓心和半徑，利用圓的性質(zhì)判斷連接線段OC，交圓于點P時最小，再計算求值即得結(jié)果.【詳解】化簡得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點P時最小，因為原點到圓心的距離，故此時.故選：B.12、B【解析】求出焦點，則可得出，即可求出漸近線方程.【詳解】由橢圓可得焦點為，則設(shè)雙曲線方程為，可得，則離心率，解得，則，所以漸近線方程為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程概念求解【詳解】因為焦點為，所以焦點在y軸上，所以故答案：314、①.不變②.變大【解析】通過計算平均數(shù)和方差來確定正確答案.【詳解】原樣本平均數(shù)為，原樣本方差為，新樣本平均數(shù)為，新樣本方差為.所以平均數(shù)不變，方差變大.故答案為：不變；變大15、##【解析】，作出漸近線圖像，由題可知的內(nèi)切圓圓心在x軸上，過內(nèi)心作OA和AB的垂線，可得幾何關(guān)系，據(jù)此即可求解.【詳解】雙曲線漸近線OA與OB如圖所示，OA與OB關(guān)于x軸對稱，設(shè)△OAB的內(nèi)切圓圓心為，則M在的平分線上，過點分別作于點于，由，則四邊形為正方形，由焦點到漸近線的距離為得，又，∴，且，∴，∴，則.故答案為：.16、（1）證明見解析，；（2）答案見解析.【解析】（1）利用得出的遞推關(guān)系，變形后可證明是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式得，然后再除以得到新數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求得；（2）選①，直接求出，用錯位相減法求和；選②，求出，用分組（并項）求和法求和；選③，求出，用裂項相消法求和【詳解】解：（1）當(dāng)時，因為，所以，兩式相減得，.所以.當(dāng)時，因為，所以，又，故，于是，所以是以4為首項2為公比的等比數(shù)列.所以，兩邊除以得，.又，所以是以2為首項1為公差的等差數(shù)列.所以，即.（2）若選①：，即.因為，所以.兩式相減得，所以.若選②：，即.所以.若選③：，即.所以.【點睛】本題考查求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，錯位相減法求和．?dāng)?shù)列求和的常用方法：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；（2）錯位相減法：數(shù)列的前項和應(yīng)用錯位相減法；（3）裂項相消法；數(shù)列（為常數(shù)，）的前項和用裂項相消法；（4）分組（并項）求和法：數(shù)列用分組求和法，如果數(shù)列中的項出現(xiàn)正負相間等特征時可能用并項求和法；（5）倒序相加法：滿足（為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線的普通方程為；曲線C的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，利用韋達定理即可得出答案.【小問1詳解】解：將直線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去得，則直線的普通方程為，由曲線C的極坐標(biāo)方程為，得，即，由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為；【小問2詳解】解：點滿足，故點在直線上，將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式（為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標(biāo)方程為，得，設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由離心率、過點和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，表示出兩點坐標(biāo)，由兩點連線斜率公式表示出，整理可得直線為；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，代入中整理可得，由此可得直線所過定點；綜合兩種情況可得直線過定點.【詳解】（1）橢圓過點，即，；，又，，橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為，則，則，，解得：，直線方程為；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得：，設(shè)，則，（*），則，將*式代入化簡可得：，即，整理得：，代入直線方程得：，即，聯(lián)立方程組，解得：，，直線恒過定點；綜上所述：直線恒過定點.【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.19、（1）；（2）；（3）.【解析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).（1）寫出、的坐標(biāo)，利用空間向量法計算出直線與所成角的余弦值；（2）求出平面的一個法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可計算得出直線與平面所成角的正弦值；（3）求出平面的一個法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】平面，四邊形為正方形，設(shè).以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、、、、、.（1），，，所以，異面直線、所成角的余弦值為；（2）設(shè)平面的一個法向量為，，，由，可得，取，可得，則，，，因此，直線與平面所成角的正弦值為；（3）設(shè)平面的一個法向量為，，，由，可得，得，取，則，，所以，平面的一個法向量為，，由圖形可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.20、（1），是“恰當(dāng)回歸方程”；（2）10分鐘較合適.【解析】（1）應(yīng)用最小二乘法求出回歸直線方程，再分別估計、時的值，結(jié)合“恰當(dāng)回歸方程”的定義判斷是否為“恰當(dāng)回歸方程”.（2）根據(jù)（1）所得回歸直線方程，將代入求x值即可.【小問1詳解】中間4組數(shù)據(jù)是：間隔時間（分鐘）11121314等候人數(shù)（人）25262928因為，所以，故，又，所以，當(dāng)時，，而；當(dāng)時，，而；所以所求的線性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”；【小問2詳解】由（1）知：當(dāng)時，，所以預(yù)測車輛發(fā)車間隔時間10分鐘較合適.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合代入法進行求解即可；（2）根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求出點的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量垂直的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】（1）由已知得，，而，解得，橢圓的方程為；（2）設(shè)直線方程為代入得，化簡得由，得，，設(shè)，則，