2025屆廣東省佛山一中、石門中學、順德一中、國華紀中四校數(shù)學高二上期末復習檢測試題含解析

2025屆廣東省佛山一中、石門中學、順德一中、國華紀中四校數(shù)學高二上期末復習檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若雙曲線（，）的焦距為，且漸近線經(jīng)過點，則此雙曲線的方程為（）A. B.C. D.2．如圖，在正方體中，，，，若為的中點，在上，且，則等于（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列的前項和為，滿足，，，則（）A. B.C.,,成等差數(shù)列 D.,,成等比數(shù)列4．在平形六面體中，其中，，，，，則的長為（）A. B.C. D.5．如圖，在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，則平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，6．如圖所示，某空間幾何體的三視圖是3個全等的等腰直角三角形，且直角邊長為2，則該空間幾何體的體積為（）A. B.C. D.7．為迎接2022年冬奧會，某校在體育冰球課上加強冰球射門訓練，現(xiàn)從甲、乙兩隊中各選出5名球員，并分別將他們依次編號為1，2，3，4，5進行射門訓練，他們的進球次數(shù)如折線圖所示，則在這次訓練中以下說法正確的是（）A.甲隊球員進球的中位數(shù)比乙隊大 B.乙隊球員進球的中位數(shù)比甲隊大C.乙隊球員進球水平比甲隊穩(wěn)定 D.甲隊球員進球數(shù)的極差比乙隊小8．對于兩個平面、，“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．若直線與平行，則實數(shù)m等于（）A.1 B.C.4 D.010．已知向量是兩兩垂直的單位向量，且，則（）A.5 B.1C.-1 D.711．下列事件：①連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現(xiàn)2點；②某人買彩票中獎；③從集合中任取兩個不同元素，它們的和大于2；④在標準大氣壓下，水加熱到90℃時會沸騰.其中是隨機事件的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.412．從1，2，3，4，5中隨機抽取三個數(shù)，則這三個數(shù)能成為一個三角形三邊長的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，則對角線的長度為___.14．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_______________15．若“，”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍________.16．已知是橢圓的一個焦點，為橢圓上一點，為坐標原點，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前n項和為，求的值19．（12分）設(shè)a，b是實數(shù)，若橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓E的標準方程；（2）過橢圓E的上頂點P分別作斜率為，的兩條直線與橢圓交于C，D兩點，且，試探究過C，D兩點的直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；否則，說明理由.20．（12分）已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，橢圓C上點M滿足（1）求橢圓C的標準方程：（2）若過坐標原點的直線l交橢圓C于P，Q兩點，求線段PQ長為時直線l的方程21．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，當時，；數(shù)列中，.直線經(jīng)過點（1）求數(shù)列的通項公式和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和，并求的最大整數(shù)n22．（10分）已知拋物線，過點作直線（1）若直線的斜率存在，且與拋物線只有一個公共點，求直線的方程（2）若直線過拋物線的焦點，且交拋物線于兩點，求弦長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】雙曲線（，）的焦距為，故，.且漸近線經(jīng)過點，故，故，雙曲線方程為：.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線方程，意在考查學生對于雙曲線基本知識的掌握情況.2、B【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運算推導即可.【詳解】.故選：B.3、C【解析】寫出數(shù)列前幾項，觀察規(guī)律，找到數(shù)列變化的周期，再依次去判斷各項的說法即可解決.【詳解】數(shù)列中，，，，則此數(shù)列為1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…即數(shù)列的各項是周期為6數(shù)值循環(huán)重復的一列數(shù)，選項A：，，則.判斷錯誤；選項B：由，可知當時，.判斷錯誤；選項C：，則，即,,成等差數(shù)列.判斷正確；選項D：,,則，,即,,不能構(gòu)成等比數(shù)列.判斷錯誤.故選：C4、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理、加法的運算法則，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為是平行六面體，所以，所以有：，因此有：，因為，，，，，所以，所以，故選：B5、A【解析】設(shè)平面的法向量是，，，由可求得法向量.【詳解】在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量是，，，則，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故選：.6、A【解析】在該空間幾何體的直觀圖中去求其體積即可.【詳解】依托棱長為2的正方體得到該空間幾何體的直觀圖為三棱錐則故選：A7、C【解析】根據(jù)折線圖，求出甲乙中位數(shù)、平均數(shù)及方差、極差，即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題圖，甲隊數(shù)據(jù)從小到大排序為，乙隊數(shù)據(jù)從小到大排序為，所以甲乙兩隊的平均數(shù)都為5，甲、乙進球中位數(shù)相同都為5，A、B錯誤；甲隊方差為，乙隊方差為，即，故乙隊球員進球水平比甲隊穩(wěn)定，C正確.甲隊極差為6，乙隊極差為4，故甲隊極差比乙隊大，D錯誤.故選：C8、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個點到的距離相等，當這三個點不在一條直線上時，可得；當這三個點在一條直線上時，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.9、B【解析】兩直線平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B10、B【解析】根據(jù)單位向量的定義和向量的乘法運算計算即可.【詳解】因為向量是兩兩垂直的單位向量，且所以.故選：B11、B【解析】因為隨機事件指的是在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，只需逐一判斷4個事件哪一個符合這種情況即可【詳解】解：連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現(xiàn)2點這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，①是隨機事件某人買彩票中獎這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，②是隨機事件從集合，2，中任取兩個元素，它們的和必大于2，③是必然事件在標準大氣壓下，水加熱到時才會沸騰，④是不可能事件故隨機事件有2個，故選：B12、C【解析】列舉出所有情況，然后根據(jù)兩邊之和大于第三邊數(shù)出能構(gòu)成三角形的情況，進而得到答案.【詳解】5個數(shù)取3個數(shù)的所有情況如下：{1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5}共10種情況，而能構(gòu)成三角形的情況有{2,3,4；2,4,5；3,4,5}共3種情況，故所求概率.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】利用，兩邊平方后，利用向量數(shù)量積計算公式，計算得.【詳解】對兩邊平方并化簡得,故.【點睛】本小題主要考查空間向量的加法和減法運算，考查空間向量數(shù)量積的表示，屬于中檔題.14、107【解析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)題意列方程可得，從而求出或，再根據(jù)，確定，進而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，由成等差數(shù)列可得：，代入可得：，解得：或，又因為，易知，又因為，，所以，，故答案為：107.【點睛】本題考查了等差中項和等比數(shù)列的通項公式，考查了和的關(guān)系，同時考查了計算能力，屬于中檔題.15、【解析】由于“，”是真命題，則實數(shù)m的取值集合就是函數(shù)的函數(shù)值的集合，據(jù)此即可求出結(jié)果.【詳解】由于“，”是真命題，則實數(shù)m的取值集合就是函數(shù)的函數(shù)值的集合，即.故答案為：【點睛】本題主要考查了存在量詞命題的概念的理解，以及數(shù)學轉(zhuǎn)換思想，屬于基礎(chǔ)題.16、##【解析】根據(jù)題中幾何關(guān)系，求得點坐標，代入橢圓方程求得齊次式，整理化簡即可求得離心率.【詳解】根據(jù)題意，取點為第一象限的點，過點作的垂線，垂足為，如下所示：因為△為等邊三角形，又，故可得則點的坐標為，代入橢圓方程可得：，又，整理得：，即，解得（舍）或.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在、上遞增，在上遞減；（2）.【解析】【小問1詳解】由題設(shè)，且定義域為，則，當或時，；當時，.所以在、上遞增，在上遞減.【小問2詳解】由題設(shè)，在上恒成立，所以在上恒成立，當時，滿足題設(shè)；當時，，可得.綜上，.18、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定的遞推公式結(jié)合“當時，”探求相鄰兩項的關(guān)系計算作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再利用裂項相消法求出，即可作答.【小問1詳解】依題意，，，則當時，，于是得：，即，而當時，，即有，因此，，，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項公式是.【小問2詳解】由(1)知，，從而有，所以.19、（1）；（2）過定點，坐標為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.【小問1詳解】因為橢圓離心率為，所以有.橢圓過點，所以，由可解：，所以該橢圓方程為：；【小問2詳解】由（1）可知：，設(shè)直線的方程為：，若，由橢圓的對稱性可知：，不符合題意，當時，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得：，設(shè)，，，因為，所以，把代入得：，所以有或，解得：或，當時，直線，直線恒過定點，此時與點重合，不符合題意，當時，，直線恒過點，當直線不存在斜率時，此時，，因為，所以，兩點不在橢圓上，不符合題意，綜上所述：過C，D兩點的直線過定點，定點坐標為.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.20、（1）（2）【解析】（1）依題意可得，即可求出、，即可求出橢圓方程；（2）首先求出直線斜率不存在時弦顯然可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為、、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，再根據(jù)弦長公式得到方程，求出，即可得解；【小問1詳解】解：依題意，解得，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，不符合題意；所以直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，則，消元整理得，設(shè)，，則，，所以，即，解得，所以直線的方程為；21、（1），（2），7【解析】（1）根據(jù)之間的遞推關(guān)系，可寫出。，采用和相減得方法，可求得，由題意可推得為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式可求得答案；（2）寫出的表達式，利用錯位相減法可求得數(shù)列的前n項和，進而利用數(shù)列的單調(diào)性求的最大整數(shù)n【小問1詳解】∵，∴，則，∴，即，得又，∴，即，可得數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則；∵點在直線上，∴，∴，即數(shù)列是等差數(shù)列，又，∴；【小問2詳解】∵，∴，∴，∴，兩