2025屆安徽省安慶市潛山第二中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆安徽省安慶市潛山第二中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列區(qū)間包含函數(shù)零點的為（）A. B.C. D.2．已知冪函數(shù)的圖象過，則下列求解正確的是（）A. B.C. D.3．集合，，則P∩M等于A. B.C. D.4．下列函數(shù)中定義域為，且在上單調(diào)遞增的是A. B.C. D.5．已知函數(shù)則函數(shù)值域是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)則（）A.－ B.2C.4 D.117．16、17世紀(jì)，隨著社會各領(lǐng)域的科學(xué)知識迅速發(fā)展，龐大的數(shù)學(xué)計算需求對數(shù)學(xué)運算提出了更高要求，改進(jìn)計算方法，提高計算速度和準(zhǔn)確度成了當(dāng)務(wù)之急．蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，是簡化大數(shù)運算的有效工具，恩格斯曾把納皮爾的對數(shù)稱為十七世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)發(fā)明之一．已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（是自然對數(shù)的底數(shù)）（）A. B.C. D.8．已知命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則的值是（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，則的最小值為________.12．___________.13．將函數(shù)圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式為________.14．經(jīng)過點作圓的切線，則切線的方程為__________15．給出下列四種說法：（1）函數(shù)與函數(shù)的定義域相同；（2）函數(shù)與的值域相同；（3）若函數(shù)式定義在R上的偶函數(shù)且在為減函數(shù)對于銳角則；（4）若函數(shù)且,則；其中正確說法序號是________.16．已知角的終邊過點，求_________________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上至少有一個零點，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在上的最大值為3，求的值.18．如圖，在直三棱柱中，底面為等邊三角形，.（Ⅰ）求三棱錐的體積；（Ⅱ）在線段上尋找一點，使得，請說明作法和理由.19．已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，且，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）在（1）的條件下，當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)b的取值范圍.20．如圖，正方體的棱長為1，CB′∩BC′＝O，求：（1）AO與A′C′所成角的度數(shù)；（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）證明平面AOB與平面AOC垂直.21．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)當(dāng)0<a<b，且f(a)＝f(b)時，求＋的值；(3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)零點存在定理，分別判斷選項區(qū)間的端點值的正負(fù)可得答案.【詳解】，，，，，又為上單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù)故選：C.2、A【解析】利用冪函數(shù)過的點求出冪函數(shù)的解析式即可逐項判斷正誤【詳解】∵冪函數(shù)y＝xα的圖象過點（2，），∴2α，解得α，故f（x），即，故選A【點睛】本題考查了冪函數(shù)的定義，是一道基礎(chǔ)題3、C【解析】先求出集合M和集合P，根據(jù)交集的定義，即得。【詳解】由題得，，則.故選：C【點睛】求兩個集合的交集并不難，要注意集合P是整數(shù)集。4、D【解析】先求解選項中各函數(shù)的定義域，再判定各函數(shù)的單調(diào)性，可得選項.【詳解】因為的定義域為，的定義域為，所以排除選項B,C.因為在是減函數(shù)，所以排除選項A，故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，求解函數(shù)定義域時，熟記常見的類型：分式，偶次根式，對數(shù)式等，單調(diào)性一般結(jié)合初等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).5、B【解析】結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性來求得的值域.【詳解】當(dāng)吋，單調(diào)遞增，值域為；當(dāng)時，單調(diào)遞增，值域為，故函數(shù)值域為.故選：B6、C【解析】根據(jù)分段函數(shù)的分段條件，先求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的分段條件，代入準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力.7、A【解析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)運算法則直接計算.【詳解】，所以故選：A.8、D【解析】由題意可知，命題“，”是真命題，再利用一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】由于命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題；所以，解得.故選：D.【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】根據(jù)題意，直接計算即可得答案.【詳解】解：由題知，，.故選：D10、D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)與圖像有兩個交點，進(jìn)而作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解：因為關(guān)于x的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，所以函數(shù)與圖像有兩個交點，作出函數(shù)圖像，如圖，所以時，函數(shù)與圖像有兩個交點，所以實數(shù)m的取值范圍是故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解析】由x＋4y＝1，結(jié)合目標(biāo)式，將x＋4y替換目標(biāo)式中的“1”即可得到基本不等式的形式，進(jìn)而求得它的最小值，注意等號成立的條件【詳解】∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1∴當(dāng)且僅當(dāng)有時取等號∴的最小值為9故答案為：9【點睛】本題考查了基本不等式中“1”的代換，注意基本不等式使用條件“一正二定三相等”，屬于簡單題12、2【解析】利用換底公式及對數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：.故答案為：13、.【解析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，即可得出結(jié)論.【詳解】將函數(shù)圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，可得函數(shù)為，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得函數(shù)為.故答案為：.14、【解析】點在圓上，由，則切線斜率為2，由點斜式寫出直線方程.【詳解】因為點在圓上，所以，因此切線斜率為2，故切線方程為，整理得故答案為：15、（1）（3）【解析】(1)根據(jù)定義域直接判斷；(2)分別求出值域即可判斷；(3)利用偶函數(shù)圖形的對稱性得出在上的單調(diào)性及銳角，可以判斷；(4)通過對數(shù)性質(zhì)及對數(shù)運算即可判斷.【詳解】(1)函數(shù)與函數(shù)的定義域都為.所以(1)正確.(2)函數(shù)的值域為而的值域為，所以值域不同，故(2)錯誤.(3)函數(shù)在定義R上的偶函數(shù)且在為減函數(shù),則函數(shù)在在為增函數(shù)，又為銳角，則，所以，故(3)正確.(4)函數(shù)且，則，即，得，故(4)錯誤.故答案為：(1)(3).【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的定義域與值域的求解，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定，對數(shù)的運算，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用，是中檔題.16、【解析】先求出，再利用三角函數(shù)定義，即可得出結(jié)果.【詳解】依題意可得：，故答案為：【點睛】本題考查了利用終邊上點來求三角函數(shù)值，考查了理解辨析能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題目.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；（2）或.【解析】（1）由函數(shù)在至少有一個零點，方程至少有一個實數(shù)根，，解出即可；（2）通過對區(qū)間端點與對稱軸頂點的橫坐標(biāo)的大小比較，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)在上的最大值，令其等于可得結(jié)果.試題解析：（1）由.（2）化簡得，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，，，（舍）；當(dāng)，即時，，綜上，或.18、(1)(2)見解析【解析】（1）取BC中點E連結(jié)AE，三棱錐C1﹣CB1A的體積，由此能求出結(jié)果．（2）在矩形BB1C1C中，連結(jié)EC1，推導(dǎo)出Rt△C1CE∽Rt△CBF，從而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得，連結(jié)CF，CF即為所求直線解析：（1）取中點連結(jié).在等邊三角形中，，又∵在直三棱柱中，側(cè)面面，面面，∴面，∴為三棱錐的高，又∵，∴，又∵底面為直角三角形，∴，∴三棱錐的體積（2）作法：在上取，使得，連結(jié)，即為所求直線.證明：如圖，在矩形中，連結(jié)，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵面，而面，∴，又∵，∴面，又∵面，∴.點睛：這個題目考查的是立體幾何中椎體體積的求法，異面直線垂直的證法；對于異面直線的問題，一般是平移到同一平面，再求線線角問題；或者通過證明線面垂直得到線線垂直；對于棱錐體積，可以等體積轉(zhuǎn)化到底面積和高好求的椎體中19、（1）（2）或【解析】（1）先求得函數(shù)的解析式，再整體代入法去求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點個數(shù)列不等式組即可求得實數(shù)b的取值范圍.【小問1詳解】由，可得又函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則，則故由，可得則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】由（1）可知當(dāng)時，，由得，由得則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由函數(shù)有且只有一個零點，可得或，解得或20、（1）30°（2）（3）見解析【解析】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求AO與A′C′所成角的度數(shù)；（2）利用向量法求AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）證明平面AOB與平面AOC的法向量垂直.【詳解】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），（，1，），（﹣1，1，0），設(shè)AO與A′C′所成角為θ，則cosθ，∴θ＝30°，∴AO與A′C′所成角為30°.（2）∵（），面ABCD的法向量為（0，0，1），設(shè)AO與平面ABCD所成角為α，則sinα＝|cos|，cosα，∴tanα.∴AO與平面ABCD所成角的正切值為.（3）C（0，1，0），（），（0，1，0），（﹣1，1，0），設(shè)平面AOB的法向量（x，y，z），則，取x＝1，得（1，0，1），設(shè)平面AOC的法向量（a，b，c），則，取a＝1，得（1，1，﹣1），∵1+0﹣1＝0，∴平面AOB與平面AOC垂直.【點睛】本題主要考查空間角的求法和面面垂直的證明，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.21、(1)見解析；（2）2；（3）見解析.【解析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，先作出函，再將x軸下方部分翻折到軸上方即可得到函數(shù)圖象；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象，可知在上是減函數(shù)，而