黃岡市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

黃岡市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的方程為，則下列關(guān)于雙曲線說(shuō)法正確的是（）A.虛軸長(zhǎng)為4 B.焦距為C.焦點(diǎn)到漸近線的距離為4 D.漸近線方程為2．“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知一個(gè)乒乓球從米高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度是原來(lái)高度的倍，則當(dāng)它第8次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的總路程是（）A. B.C. D.4．若數(shù)列對(duì)任意滿(mǎn)足，下面選項(xiàng)中關(guān)于數(shù)列的說(shuō)法正確的是（）A.一定是等差數(shù)列B.一定是等比數(shù)列C.可以既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.可以既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列5．已知拋物線的焦點(diǎn)恰為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，的另一頂點(diǎn)為，與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，若，則直線的斜率為（）A. B.C. D.6．直線的傾斜角為（）A B.C. D.7．命題若，且，則，命題在中，若，則.下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.8．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，=（）A.1 B.2C. D.49．命題“對(duì)任意，都有”的否定是（）A.對(duì)任意，都有 B.存在，使得C.對(duì)任意，都有 D.存在，使得10．某家庭準(zhǔn)備晚上在餐館吃飯，他們查看了兩個(gè)網(wǎng)站關(guān)于四家餐館的好評(píng)率，如下表所示，考慮每家餐館的總好評(píng)率，他們應(yīng)選擇（）網(wǎng)站①評(píng)價(jià)人數(shù)網(wǎng)站①好評(píng)率網(wǎng)站②評(píng)價(jià)人數(shù)網(wǎng)站②好評(píng)率餐館甲100095%100085%餐館乙1000100%200080%餐館丙100090%100090%餐館丁200095%100085%A.餐館甲 B.餐館乙C.餐館丙 D.餐館丁11．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切12．若點(diǎn)是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)（其中的自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則到直線的距離最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)_________________.14．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____.15．如圖，在等腰直角△ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A、B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后又回到原點(diǎn)P.若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心，則___________.16．已知命題，則命題的的否定是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列滿(mǎn)足，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng).（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知數(shù)列中，，___________，其中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.從①前n項(xiàng)和，②，③且，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答.19．（12分）已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，P是橢圓上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的上頂點(diǎn)，Q為PA的中點(diǎn)，且直線PA與直線OQ的斜率之積恒為-2.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為k且過(guò)上焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M，N到y(tǒng)軸距離之和最大時(shí)，求直線l的方程.20．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與平行，求b的值；（2）在（1）的條件下證明：21．（12分）已知點(diǎn)，直線：，直線m過(guò)點(diǎn)N且與垂直，直線m交圓于兩點(diǎn)A，B.（1）求直線m的方程；（2）求弦AB的長(zhǎng).22．（10分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大??；（2）計(jì)算，，，由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】在雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上，，，，所以虛軸長(zhǎng)為6，故A錯(cuò)誤；焦距為，故B錯(cuò)誤；漸近線方程為，故D正確；焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故C錯(cuò)誤；故選：D.2、A【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用定義法判斷條件間充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)，，則，當(dāng)時(shí)，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A3、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經(jīng)過(guò)的路程為，第2次著地到第3次著地經(jīng)過(guò)的路程為，組成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以第1次著地到第8次著地經(jīng)過(guò)的路程為，所以經(jīng)過(guò)的總路程是.故答案為：C.4、D【解析】由已知可得或，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，可得答案【詳解】由，得或，即或，若，則數(shù)列是等差數(shù)列，則B錯(cuò)誤；若，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，則A錯(cuò)誤數(shù)列是等差數(shù)列，也可以是等比數(shù)列；由，不能得到數(shù)列為非0常數(shù)列，則不可以既是等差又是等比數(shù)列，則C錯(cuò)誤；可以既不是等差又不是等比數(shù)列，如1，3，5，10，20，，故D正確；故選：D5、D【解析】根據(jù)題意，列出的方程組，解得，再利用斜率公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，由題可知；又點(diǎn)在拋物線上，故可得；又，聯(lián)立方程組可得，整理得，解得（舍）或，此時(shí)，又，故直線的斜率為.故選：D.6、C【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C7、A【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷命題的真假，根據(jù)大角對(duì)大邊及正弦定理可判斷命題的真假，再根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法即可得出結(jié)論.【詳解】解：若，且，則，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上命題為假命題，則為真命題，在中，若，則，由正弦定理得，所以命題為真命題，為假命題，所以為真命題，，，為假命題.故選：A.8、B【解析】根據(jù)拋物線定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，過(guò)P作垂直于準(zhǔn)線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設(shè)所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要將取最小值轉(zhuǎn)化為直線斜率最大，再轉(zhuǎn)化為拋物線的切線，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.9、B【解析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題形式，可判斷正確答案.【詳解】因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，所以命題“對(duì)任意，都有”的否定是“存在，使得”故選：B.10、D【解析】根據(jù)給定條件求出各餐館總好評(píng)率，再比較大小作答.【詳解】餐館甲的總好評(píng)率為：，餐館乙的總好評(píng)率為：，餐館丙的好評(píng)率為：，餐館丁的好評(píng)率為：，顯然，所以餐館丁的總好評(píng)率最高.故選：D11、A【解析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結(jié)論.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，則兩圓圓心距，因?yàn)椋詢(xún)蓤A相交.故選：A.12、A【解析】設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則到直線的距離最小值為點(diǎn)到直線的距離，再求解即可.【詳解】解：設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于所以所以則到直線的距離為，即到直線的距離最小值為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得.故答案為：.14、4【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征即可求解.【詳解】由題可知.故答案為：4.15、【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得△的內(nèi)心坐標(biāo)，根據(jù)△內(nèi)心以及關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，則問(wèn)題得解.【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，如下所示：則，不妨設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，且，整理得，解得，即點(diǎn)，又；設(shè)△的內(nèi)切圓圓心為，則由等面積法可得，解得；故其內(nèi)心坐標(biāo)為，由及△的內(nèi)心三點(diǎn)共線，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案為：.16、【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}是存在量詞命題，所以其否定是全稱(chēng)量詞命題即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），，；（2）.【解析】（1）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出，又，，構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)出公差，代入可求出，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入可求出，的值，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將通項(xiàng)公式代入，運(yùn)用裂項(xiàng)相消的方法可求出前項(xiàng)和.【詳解】解析：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，所以，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，，?gòu)成等比數(shù)列，則，即，解得或(舍)即，又等比數(shù)列中，，所以，；（2）∵，∴，∴【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：（1）裂項(xiàng)相消時(shí)一定要注意分母的差，一般情況下分母的差是幾，則要在裂項(xiàng)前面乘以幾分之一；（2）裂項(xiàng)相消時(shí)要注意保留的項(xiàng)數(shù).18、（1）（2）見(jiàn)解析（3）【解析】（1）選①，根據(jù)與的關(guān)系即可得出答案；選②，根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得出答案；選③，利用等差中項(xiàng)法可得數(shù)列是等差數(shù)列，再求出公差，即可得解；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列的定義即可得證；（3）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：選①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也成立，所以；選②，因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為公差的等差數(shù)列，所以；選③且，因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，公差，所以；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；【小問(wèn)3詳解】解：，，①，②由①②得，所以.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，求出直線、直線的斜率相乘可得，結(jié)合可得答案；（2）設(shè)直線l的方程為與橢圓方程聯(lián)立，代入得，設(shè)，再利用基本不等式可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，即，則，設(shè)點(diǎn)，∵Q為的中點(diǎn)，∴，∴直線斜率，直線的斜率，∴，又∵，∴，則，解得，∴橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，易知M，N到y(tǒng)軸的距離之和為，，設(shè)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí)直線l的方程為.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由題意可得，從而可求出，（2）先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得對(duì)任意恒成立，對(duì)任意恒成立，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證對(duì)任意恒成立，再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值小于等于即可【詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與平行，∴，解得；證明：（2）由（1）得即對(duì)任意恒成立，令，則，∵當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，∴對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，∴只需證對(duì)任意恒成立即可，即只需證對(duì)任意恒成立，令，則，由單調(diào)遞減，且知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴得證，故不等式對(duì)任意恒成立21、（1）（2）【解析】（1）求出斜率，用點(diǎn)斜式求直線方程；（2）利用垂徑定理求弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹本€：，所以直線的斜率為.因?yàn)橹本€m過(guò)點(diǎn)N且與垂直，所以直線的斜率為，又過(guò)點(diǎn)，所以直線：，即【小問(wèn)2詳解】直線與圓相交，則圓心到直線的距離為：，圓的半徑