第7講函數(shù)填空壓軸題(原卷版+解析)

25/25第7講函數(shù)填空壓軸題1．（2021·浙江省寧海中學高三月考）已知，，若有兩零點、，且，則的取值范圍是___________．2．（2021·江蘇省濱海中學高三月考）對任意的，不等式恒成立，則的最小值為______．3．（2021·湖北高三月考）已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________．4．（2021·天津南開區(qū)·南開中學高三月考）已知．設函數(shù)若關于x的不等式恒成立，則a的取值范圍為________．5．（2021·北京西城區(qū)·高三一模）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調度，極大地降低了洪澇災害風險，發(fā)揮了重要的防洪減災效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎上聯(lián)合調度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)=（水庫實際蓄水量）÷（水庫總蓄水量）×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設某次聯(lián)合調度要求如下：（?。┱{度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．記x為調度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關于x的函數(shù)解析式：①；②；③；④．則滿足此次聯(lián)合調度要求的函數(shù)解析式的序號是__________．6．（2021·全國天一大聯(lián)考（理））已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，且滿足，，若，且．給出以下不等式：①；②；③；④．其中正確的有___________．(填寫所有正確的不等式的序號)7．（2021·浙江寧波市·高三月考）已知，，若對任意都成立，則的取值范圍是______．8．（2021·超級全能生聯(lián)考（文））已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，，設，若函數(shù)，則在區(qū)間上的零點個數(shù)為___________．9．（2021·浙江溫州市·溫州中學高三開學考試）已知函數(shù)，若對任意，存在、使得，則的最大值為__________．10．（2021·江西宜春市·高三期末（理））已知函數(shù)存在個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________．11．（2021·北京朝陽區(qū)期末）設函數(shù)的定義域為，若對任意，存在，使得，則稱函數(shù)具有性質，給出下列四個結論：①函數(shù)不具有性質；②函數(shù)具有性質；③若函數(shù)，具有性質，則；④若函數(shù)具有性質，則．其中，正確結論的序號是________．12．（2021·山西八校聯(lián)考（理））已知，函數(shù)的零點分別為，函數(shù)的零點分別為，則的最小值為________．13．（2021·鄭州市·河南省實驗中學高三月考（文））已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若關于的方程有4個實根，則實數(shù)的取值范圍________．14．（2021·浙江衢州市·高三學業(yè)考試）若函數(shù)有四個不同的零點，則的取值范圍是_________15．（2021·江蘇南通市·高三期末）已知函數(shù)，若關于x的方程有6個不同的根，則實數(shù)k的取值范圍是_________．（用集合或區(qū)間表示）16．（2021·江西高三其他模擬（理））已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點，現(xiàn)給出下述結論：①；②；③；④．則其中正確的結論序號是___________．17．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈師大附中高三期中（理））已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，，若函數(shù)有六個零點，分別記為，則的取值范圍是______________．18．（2021·邵東市第一中學高三月考）定義函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如，，，，當時，的值域為，記集合中元素的個數(shù)為，則的值為______．19．（2021·河南鄭州市·高三月考（理））已知函數(shù)，若關于的方程有9個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是______．20．（2021·上海市奉賢區(qū)曙光中學高三期中）已知函數(shù)定義在上的偶函數(shù)，在是增函數(shù)，且恒成立，則不等式的解集為___________．21．（2021·海倫市第一中學高三月考）已知函數(shù)定義在上，，滿足，且數(shù)列，，若，，則______．22．（2021·廣東佛山市·高三月考）已知，若方程有2個不同的實根，則實數(shù)m的取值范圍是_______．23．（2021·浙江高三專題練習）若（且）恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．24．（2021·上海市洋涇中學高三期中）已知在上有且僅有個零點，則的取值范圍為________．25．（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已知與的圖象有且只有兩個不同的公共點，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是_______．26．（2021·安徽省渦陽第一中學高三月考（文））已知函數(shù)，若存在實數(shù)使得的解集恰為，則的取值范圍是_____．27．（2021·甘肅省永昌縣第一高級中學高三月考（理））已知函數(shù)，則下列命題：①的最小值是；②是偶函數(shù)；③函數(shù)有個零點；④函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，其中正確命題的序號是______．28．（2021·四川成都市·（文））對于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若滿足對，且時都有，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，若為區(qū)間上的“非減函數(shù)”且，，又當，恒成立，有下列命題①②③，④其中正確的所有命題的序號為______．29．（2021·廣東高三月考）已知函數(shù)有三個互不相同的零點，，，則a的取值范圍是______；的取值范圍是______．30．（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三月考（理））函數(shù)的零點個數(shù)為__________．31．（2021·陜西省寶雞市長嶺中學高三期中（理））已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是________．32．（2021·廣西師范大學附屬中學高三月考）設m≠-1，函數(shù)則使得成立的實數(shù)m的個數(shù)為__________．33．（2021·江蘇鹽城市·鹽城中學高三月考）已知函數(shù)則根為_____________；若函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________．34．（2021·廣東高三其他模擬）對于正整數(shù)n，設是關于x的方程的實數(shù)根．記，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則____________；設數(shù)列的前n項和為則___．35．（2021·江蘇南通市·海門市第一中學高三期末）函數(shù)是單調函數(shù)．①的取值范圍是_____；②若的值域是，且方程沒有實根，則的取值范圍是_____．36．（2021·山東聊城市·高三期中）設，若方程有四個不相等的實根，則的取值范圍為________；的最小值為________．37．（2021·湖南長沙市·長沙一中高三月考）已知，若存在實數(shù)，，，滿足，且，則的取值范圍為______；的最大值為______．38．（2021·廣東東莞市·高三月考）關于的方程的實根個數(shù)記為．若，則=_________；若，存在使得成立，則的取值范圍是_________．39．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·高三月考）已知二次函數(shù)(，，均為正數(shù))過點，值域為，則的最大值為______；實數(shù)滿足，則取值范圍為_______．第7講函數(shù)填空壓軸題1．（2021·浙江省寧海中學高三月考）已知，，若有兩零點、，且，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】由可得出，令，可知函數(shù)與函數(shù)圖象的兩個交點的橫坐標、滿足，對實數(shù)的取值進行分類討論數(shù)形結合可得出關于實數(shù)的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍，即為所求．【解析】由可得，等式兩邊同除以，可得．令，可得，即，設，①當時，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，若使得兩個函數(shù)的圖象有兩個交點，則，解得，且，由，解得，由，解得，，不合乎題意；②當時，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，，此時兩個函數(shù)圖象沒有交點，不合乎題意；③當時，則，兩個函數(shù)圖象沒有交點，不合乎題意；④當時，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，此時，兩個函數(shù)的圖象有兩個交點，且，（i）若，即時，由，解得，由，解得，，合乎題意；（ii）若時，則，則，不合乎題意；（iii）當，即時，由，可得，由，可得，此時，不合乎題意．綜上所述，的取值范圍是．故答案為：．【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解．2．（2021·江蘇省濱海中學高三月考）對任意的，不等式恒成立，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)不等式恒成立，構造，有，利用二階導數(shù)研究單調性，再討論、時的單調性，進而確定在上的最小值及對應m、n的關系式，將與所得關系式轉化為直線與曲線相切的問題，求的最小值即可．【解析】令，則，即，∴單調遞增，∴當時，，即在上遞減，而當時，，故不滿足；當時，若得，即，∴時，，即遞減；當時，，即遞增；若令，即，則：①當，即，恒成立；∴情況下最小，即直線與曲線相切，而，∴時，，有，，則；當，即，，得，∴情況下最小，即直線與曲線相切，而，∴時，，有，，則；∴綜上：，即的最小值為．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)不等式恒成立，利用導數(shù)、分類討論的方法判斷單調性，并構造函數(shù)結合導數(shù)確定目標代數(shù)式中參數(shù)的關系，由所得條件中代數(shù)式的幾何含義求最小值3．（2021·湖北高三月考）已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【分析】設，，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與最值，根據(jù)已知條件列出關于實數(shù)的不等式（組），綜合可求得實數(shù)的取值范圍．【解析】設，，其中，則，①當時，對任意的恒成立，此時，函數(shù)在上單調遞減，當時，，對于函數(shù)，該函數(shù)的對稱軸為直線，函數(shù)在上單調遞增，當時，，所以，當時，，不符合題意；②當時，令，可得，列表如下：極小值所以，．（i）當時，即當時，，則，不符合題意；（ii）當時，即當時，則，此時，即．對于函數(shù)，，所以，當時，，，則對任意的恒成立．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．4．（2021·天津南開區(qū)·南開中學高三月考）已知．設函數(shù)若關于x的不等式恒成立，則a的取值范圍為________．【答案】【分析】欲利用單調性求值域，確定將，，分成三類討論，又根據(jù)具體情況，在每一類情況下又細分，討論出符合恒成立的a的取值范圍．【解析】（1）當時，，的值域為，則恒成立，故成立（2）當時，當，單調遞減，故此時．當時，，當時，單調遞增；當時，單調遞減①當時，在上單調遞增．此時的值域為，恒成立②當時，在時，取得最小值當時，，則恒成立當時，．此時若即時，，此時不符合題意故，恒成立，（3）當時，時，為單調遞增的一次函數(shù)，．時在上為增函數(shù)，值域為要有意義，則此時，．，故因此，恒成立綜上所述，故答案為：【點睛】（1）分段函數(shù)問題中參數(shù)值影響變形時，往往要分類討論，需有明確的標準、全面的考慮，注意小分類要求交，大綜合要求并．（2）求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結果是否符合要求．（3）分段函數(shù)的最值的求法：先求每一段的最大（?。┲担侔衙恳欢蔚淖畲螅ㄐ。┲当容^，即得到函數(shù)的最大（?。┲担?．（2021·北京西城區(qū)·高三一模）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調度，極大地降低了洪澇災害風險，發(fā)揮了重要的防洪減災效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎上聯(lián)合調度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)=（水庫實際蓄水量）÷（水庫總蓄水量）×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設某次聯(lián)合調度要求如下：（ⅰ）調度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．記x為調度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關于x的函數(shù)解析式：①；②；③；④．則滿足此次聯(lián)合調度要求的函數(shù)解析式的序號是__________．【答案】②④【分析】需滿足四個條件：1．自變量的取值范圍為；2．函數(shù)值域為的子集；3．該函數(shù)在上恒有；4．該函數(shù)為上增函數(shù)；逐一對照分析求解即可．【解析】①，該函數(shù)在時函數(shù)值為，超過了范圍，不合題意；②為增函數(shù)，且且，則，符合題意；③，當時，不合題意④，當時，，故該函數(shù)在上單調遞增，又設即，易知在上為減函數(shù)令，則存在，有當，；當，；故在遞增，在遞減．，故上即上故④符合題意故答案為：②④【點睛】本題考查學生實際運用數(shù)學的能力．需要學生具備一定的數(shù)學建模思想，將文字語言描述的要求轉化為數(shù)學表達式，再用數(shù)學方法分析求解．6．（2021·全國天一大聯(lián)考（理））已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，且滿足，，若，且．給出以下不等式：①；②；③；④．其中正確的有___________．(填寫所有正確的不等式的序號)【答案】①②③【分析】根據(jù)構造函數(shù)，再利用導數(shù)工具處理函數(shù)不等式問題．【解析】設，則，由此可得單調遞減，所以，即，故①正確；因為，，所以，所以單調遞減，所以，所以，故②正確；對于③，由①分析可知，欲使，且，即成立，只需滿足即可，即證，設，則，則單調遞增，所以，故③正確；對于④，假設成立，因為，所以，所以，取，則，所以，矛盾，故④不正確．故答案為：①②③．【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是通過構造函數(shù)并利用函數(shù)的單調分析不等式，根據(jù)，構造，是解決本題的關鍵．7．（2021·浙江寧波市·高三月考）已知，，若對任意都成立，則的取值范圍是______．【答案】【分析】不等式化為，令，，可得，分別討論，，和時，求最值可得出．【解析】不等式兩邊同時除以得，整理得，令，，則，則，由于對任意都成立，則有對任意恒成立，（1）當時，不成立，不符合題意；（2）當時，則當時，不等式左邊取到最小，右邊取到最大，滿足題意，則，解得，與矛盾，不符合；（3）當時，①當時，則當時，不等式左邊取到最小，右邊取到最大，滿足題意，則，解得，；②當時，有，即，則當時，取得最大值為，則，；③當時，恒成立，滿足題意，綜上所述，的取值范圍是．故答案為：．【點睛】關鍵點睛：本題考查不等式的恒成立問題，解題的關鍵是將不等式轉化為在恒成立，再討論的范圍即可．8．（2021·超級全能生聯(lián)考（文））已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，，設，若函數(shù)，則在區(qū)間上的零點個數(shù)為___________．【答案】【分析】求出函數(shù)的最小正周期，作出函數(shù)與的圖象，分析兩個函數(shù)在和上的圖象的交點個數(shù)，由此可得出結論．【解析】函數(shù)的最小正周期為．當時，；當時，．要求函數(shù)的零點個數(shù)，即求函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)，，所以，函數(shù)與在上的圖象無交點．作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：當時，由圖象可知，對任意的且，函數(shù)與在上的圖象有兩個交點，所以，函數(shù)與在上的圖象有個交點；當時，由圖象可知，函數(shù)與在上的圖象無交點，對任意的且，函數(shù)與在上有且只有兩個交點，所以，函數(shù)與在上共有個交點．綜上所述，在區(qū)間上的零點個數(shù)為．故答案為：．【點睛】方法點睛：判定函數(shù)的零點個數(shù)的常用方法：（1）直接法：直接求解函數(shù)對應方程的根，得到方程的根，即可得出結果；（2）數(shù)形結合法：先令，將函數(shù)的零點個數(shù)，轉化為對應方程的根，進而轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，結合圖象，即可得出結果．9．（2021·浙江溫州市·溫州中學高三開學考試）已知函數(shù)，若對任意，存在、使得，則的最大值為__________．【答案】【分析】分析得出函數(shù)的值域為值域的子集，求出函數(shù)的值域，利用導數(shù)求出函數(shù)的值域，可得出關于實數(shù)的不等式，由此可得出實數(shù)的最大值．【解析】對任意的，，則，，當時，可視為曲線上的點與連線的斜率，，當時，由可得，即對任意，存在，使得，所以，函數(shù)的值域為值域的子集，，則，令，則，令，可得．當或時，；當時，．所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為．所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，當時，；當時，．所以，函數(shù)的值域為，由已知可得，，整理得，解得．因此，實數(shù)的最大值為．【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．10．（2021·江西宜春市·高三期末（理））已知函數(shù)存在個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【分析】令可得出，令，，利用導數(shù)分析函數(shù)與的單調性與極值，數(shù)形結合可得出與函數(shù)的兩個交點的橫坐標在區(qū)間內，進而可求得實數(shù)的取值范圍．【解析】令，可得，令，，，令，可得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得最大值，即．當時，．所以，函數(shù)的定義域為，，令，由于，解得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得最大值，即，若使得函數(shù)存在個零點，則直線與函數(shù)的圖象恰有兩個交點，設交點的橫坐標分別為、，作出函數(shù)的圖如下圖所示：由圖象可知，．作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象如下圖所示：由圖象可知，當時，即當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點睛】思路點睛：對于復合函數(shù)的零點個數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點；（3）確定直線與內層函數(shù)圖象的交點個數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點個數(shù)為．11．（2021·北京朝陽區(qū)期末）設函數(shù)的定義域為，若對任意，存在，使得，則稱函數(shù)具有性質，給出下列四個結論：①函數(shù)不具有性質；②函數(shù)具有性質；③若函數(shù)，具有性質，則；④若函數(shù)具有性質，則．其中，正確結論的序號是________．【答案】①③【分析】對每個選項中的具體函數(shù)，先求定義域和值域，再結合題中函數(shù)性質的定義進行直接判斷或特殊值驗證說明即可．【解析】依題意，函數(shù)的定義域為，若對任意，存在，使得，則稱函數(shù)具有性質．①函數(shù)，定義域是R，當時，顯然不存在，使得，故不具備性質，故①正確；②是單調增函數(shù)，定義域是R，，當且僅當時等號成立，即值域為．對任意的，，要使得，則需，而不存在，使，故不具備性質，故②錯誤；③函數(shù)在上是單調增函數(shù)，定義域是，其值域為．要使得其具有性質，則對任意的，，總存在，，即，即，即，故，即，故．故③正確；④若函數(shù)具有性質，定義域是R，使得，一方面函數(shù)值不可能為零，也即對任意的恒成立，而，故或，在此條件下，另一方面，的值域是值域的子集．的值域為，的值域為要滿足題意，只需，時，即；時，即；故，即，即，即，故．故④錯誤．故答案為：①③．【點睛】本題的解題關鍵在于理解題中新定義“函數(shù)具有性質”的實質是對任意，其函數(shù)值的取值集合包含了其倒數(shù)的取值集合，才能存在存在，使得，進而突破難點．12．（2021·山西八校聯(lián)考（理））已知，函數(shù)的零點分別為，函數(shù)的零點分別為，則的最小值為________．【答案】【分析】由，求得，．由，求得，，利用同底數(shù)冪的除法運算及乘法運算得到．再換元利用函數(shù)單調性求得函數(shù)值域得解．【解析】，因為，所以，．，又因為，所以，，所以，，所以．令，，則，所以．設，，則，在上單調遞增，所以，，故．故答案為：【點睛】本題綜合性較強，屬于難題．根據(jù)已知條件構造出是解題關鍵．13．（2021·鄭州市·河南省實驗中學高三月考（文））已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若關于的方程有4個實根，則實數(shù)的取值范圍________．【答案】【分析】化簡得，令，，，利用數(shù)形結合的方法求解．【解析】由，得，則令，，由，則當時，當時，所以在上單調減，在上單調增，故時，有最小值，如圖所示：由圖可知，當時，有兩個解；當時，有1個解；由，當時有，如圖所示：當時，與圖象有兩個交點，且，此時有4個解；當時，與圖象有兩個交點，且，，此時有2個解或1個解；當時，與圖象只有1個交點，此時有2個解；當時，與圖象無交點，此時無解；綜上所述，當時，方程有4個實根．故答案為：【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解．14．（2021·浙江衢州市·高三學業(yè)考試）若函數(shù)有四個不同的零點，則的取值范圍是_________【答案】【分析】將的零點問題轉化為與的交點問題且恒過點，討論、、時，結合它們的函數(shù)圖象，及應用導數(shù)求直線與曲線相切時a的值，進而判斷各情況下交點個數(shù)，即可確定的范圍．【解析】由題意，當時四個不同的零點，即與的交點有四個，而恒過點，若，則，顯然直線與不可能有4個交點，不符合題意；若，作出的函數(shù)圖象，則直線與的圖象不可能有4個交點，不符合題意；若，作出的函數(shù)圖象，如圖所示：當時，，若直線與在上的函數(shù)圖象相切，切點為，則，解得，即或（舍），∴當時有三個零點，當時有四個零點．綜上有：．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：將零點問題轉化為直線與曲線的交點問題，應用數(shù)形結合、分類討論思想判斷交點個數(shù)，并在時利用導數(shù)求直線與曲線相切時的參數(shù)值，進而確定符合條件的參數(shù)范圍．15．（2021·江蘇南通市·高三期末）已知函數(shù)，若關于x的方程有6個不同的根，則實數(shù)k的取值范圍是_________．（用集合或區(qū)間表示）【答案】【分析】方程有6個不同的根，等價于與的圖象有6個交點，作出的圖象，數(shù)形結合可求得．【解析】關于x的方程有6個不同的根，等價于與的圖象有6個交點，因為，所以若，則，則；若，則，則；若，則，則；若，則，則；若，則，則；…作出的圖象如圖，與圖中OA、OB類似，分析O與點（1，2）、（2，3）、（5，8）、（6，9）、（7，10）的連線可知，當時，與y＝kx的圖象有6個交點，所以k的取值范圍是．故答案為：．【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解．16．（2021·江西高三其他模擬（理））已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點，現(xiàn)給出下述結論：①；②；③；④．則其中正確的結論序號是___________．【答案】①②③【分析】對于①，分別作出函數(shù)，，的圖象，通過圖象觀察易得結論；利用基本不等式可判斷②、④；利用零點存在性定理以及對數(shù)的運算性質可判斷③．【解析】函數(shù)與互為反函數(shù)，則與的圖象關于對稱，將與聯(lián)立，則，由直線分別與函數(shù)和的圖象交于點，作出函數(shù)圖像：則的中點坐標為，對于①，由，解得，故①正確；對于②，，因為，即等號不成立，所以，故②正確；對于③，將與聯(lián)立可得，即，設，且函數(shù)為單調遞增函數(shù)，，，故函數(shù)的零點在上，即，由，則，，故③正確；對于④，由，解得，由于，則，故④錯誤；故答案為：①②③【點睛】關鍵點點睛：本題考查了互為反函數(shù)的性質、基本不等式的應用、零點存在性定理以及對數(shù)的運算性質，考查了數(shù)形結合的思想，本題的關鍵點是判斷選項③，利用零點存在性定理后可判斷，，所有才有不等式放縮，屬于偏難題．17．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈師大附中高三期中（理））已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，，若函數(shù)有六個零點，分別記為，則的取值范圍是______________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)再定義域內是基函數(shù)，由圖象可知若函數(shù)有六個零點，，根據(jù)二次函數(shù)可知，，，即，最后整理可得，結合即可求出取值范圍．【解析】解：因為函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)解析式作出函數(shù)在上的圖象如圖：由圖可知，，且，即，所以是，因為，故，即，故，根據(jù)對勾函數(shù)在上單調減，在上單調增，故而在上單調減，則，故答案為：．【點睛】1．確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法：①利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0．若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點．需要注意的是，滿足條件的零點可能不惟一；不滿足條件時也可能有零點．②數(shù)形結合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．2．函數(shù)圖象應用廣泛，是研究函數(shù)性質不可或缺的工具．數(shù)形結合應以快、準為前提，充分利用“數(shù)”的嚴謹和“形”的直觀，互為補充，互相滲透，以開闊解題思路，提升解題效率．18．（2021·邵東市第一中學高三月考）定義函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如，，，，當時，的值域為，記集合中元素的個數(shù)為，則的值為______．【答案】【分析】先根據(jù)題意得當時，集合中元素的個數(shù)為滿足，進而得，再結合裂項相消求和即可得答案．【解析】解：根據(jù)題意得：，進而得，所以在各區(qū)間中的元素個數(shù)為：，所以當時，的值域為，集合中元素的個數(shù)為滿足：，所以所以，所以．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于根據(jù)已知條件得當時，，故，進而利用裂項相消求和法求和即可得答案．19．（2021·河南鄭州市·高三月考（理））已知函數(shù)，若關于的方程有9個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】使用換元的方法并畫出函數(shù)的圖像，然后根據(jù)與交點個數(shù)有9個進而可知，的范圍，然后根據(jù)根的分布進行計算即可．【解析】設，則原方程即，設方程的兩根為，，不妨令．的圖像如圖所示，則滿足題意時，和有下面兩種①且，此時即得；②且，此時，得．綜上，．故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于函數(shù)圖像以及的情形有兩種：①且；②且，細心計算即可．20．（2021·上海市奉賢區(qū)曙光中學高三期中）已知函數(shù)定義在上的偶函數(shù)，在是增函數(shù)，且恒成立，則不等式的解集為___________．【答案】【分析】由題意可得出，可知方程與方程同解，可解得，，進而由所求不等式得出，再由，，可得出，即可得出原不等式的解集．【解析】由于函數(shù)定義在上的偶函數(shù)，在是增函數(shù)，由可得，所以，，解方程可得，，令，則，，所以，，是方程的兩根，由韋達定理可得，解得，由可得，所以，，因為，，所以，解得．故答案為：．【點睛】對于求值或求解函數(shù)不等式的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調性，再利用其單調性脫去函數(shù)的符號“”，轉化為解不等式(組)的問題，若為偶函數(shù)，則．21．（2021·海倫市第一中學高三月考）已知函數(shù)定義在上，，滿足，且數(shù)列，，若，，則______．【答案】【分析】令可得，再令可得，可判斷是奇函數(shù)，進一步可得，得出為等比數(shù)列，則可得出，進而判斷和均為公差為6的等差數(shù)列，即可討論奇偶進行計算．【解析】定義在上，滿足，令時，可得，令，則，即，所以，即是定義在的奇函數(shù)，，又，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，，，即，則，兩式相減得，和均為公差為6的等差數(shù)列，，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合應用，解題的關鍵是先得出是奇函數(shù)，由此得出判斷為等比數(shù)列，進而可求得，判斷出和均為公差為6的等差數(shù)列．22．（2021·廣東佛山市·高三月考）已知，若方程有2個不同的實根，則實數(shù)m的取值范圍是_______．【答案】【分析】由方程的解與函數(shù)圖象的交點個數(shù)的關系可得有2個不同的實根等價于的圖象與直線的交點個數(shù)為2，由函數(shù)圖象的性質及利用導數(shù)求切線方程可設過原點的直線與相切與點，由，則此切線方程為，又此直線過原點，則求得，即切線方程為再結合圖象可得實數(shù)的取值范圍是，得解．【解析】解：由，可得：在的圖象關于直線對稱，有2個不同的實根等價于的圖象與直線的交點個數(shù)為2，的圖象與直線的位置關系如圖所示，設過原點的直線與相切于點，由，則此切線方程為：，又此直線過原點，則求得，即切線方程為：，由圖可知：當?shù)膱D象與直線的交點個數(shù)為2時，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查了方程的解與函數(shù)圖象的交點個數(shù)的相互轉化、函數(shù)圖象的性質及利用導數(shù)求切線方程，解題的關鍵是畫出圖形，將其轉化為直線斜率的變化問題，屬難度較大的題型．23．（2021·浙江高三專題練習）若（且）恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【分析】討論，結合圖象可得不可能恒成立；時，運用換底公式原不等式化為，令，求得導數(shù)和單調性、最大值，可得的范圍．【解析】解：當時，由和的圖象可得，此時兩個函數(shù)圖象有一個交點，不等式不可能恒成立；當時，，不等式可化為，由，令，，當時，，遞增，當時，，遞減，則，則，可得，故答案為：．【點睛】方法點睛：1、利用導數(shù)證明不等式或解決不等式恒成立問題，關鍵是把不等式變形后構造恰當?shù)暮瘮?shù)，然后用導數(shù)判斷該函數(shù)的單調性或求出最值，達到證明不等式的目的；2、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，應特別注意區(qū)間端點是否取得到；3、學會觀察不等式與函數(shù)的內在聯(lián)系，學會變主元構造函數(shù)再利用導數(shù)證明不等式．24．（2021·上海市洋涇中學高三期中）已知在上有且僅有個零點，則的取值范圍為________．【答案】【分析】令得，，令，，在同一坐標系中作出兩函數(shù)的圖象，分a的范圍分別作出圖象可得范圍．【解析】令得，，令，，當時，，在同一平面直角坐標系中作出，的圖象（如下圖1所示），從圖象看出，當時，，兩個圖象在上有且只有一個交點，即函數(shù)在上有且僅有個零點，故滿足題意；當時，當，兩圖象相切時，兩函數(shù)圖象有且只有一個交點（如下圖2所示），又時，，由，得，，解得（負值舍去）當時，且過點時，兩函數(shù)，的圖象有且只有一個交點（如圖3所示），此時，解得，當時，由圖4所示，由圖象得出，此時兩函數(shù)，的圖象有且只有一個交點，綜上可得的取值范圍為，故答案為：．【點睛】方法點睛：函數(shù)的零點可以轉化為方程的根，繼而轉化為兩函數(shù)的圖象的交點，運用數(shù)形結合的思想是常采用的方法．25．（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已知與的圖象有且只有兩個不同的公共點，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】問題轉化為有兩個不同的實根，再利用參變分離法，把問題轉變?yōu)椋M而令，利用導數(shù)討論的圖像，進而利用數(shù)形結合可以求解【解析】由題意得，問題轉化為①有兩個不同的實根，又因為由函數(shù)與的圖像可知，它們有一個交點，其橫坐標滿足，且當，即時，方程①無解，不滿足題意，所以當時，方程①等價于，令，則，所以由，得，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；由得或，即函數(shù)的單調遞減區(qū)間為和，所以當時，函數(shù)取得極小值，又當從左到右無限趨近于時，，當從右到左無限趨近于時，，且當時，，由此可作出函數(shù)的大致圖像，如圖所示，則由圖易知，當函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，即方程①有兩個不同的實數(shù)根時，的取值范圍為故答案為：【點睛】關鍵點睛：解題的關鍵在于，利用參變分離法，把問題轉變?yōu)?，然后，令，最后利用導?shù)討論其圖像，本題的難度比較大，考查學生的轉化化歸思想和數(shù)形結合的運用．26．（2021·安徽省渦陽第一中學高三月考（文））已知函數(shù)，若存在實數(shù)使得的解集恰為，則的取值范圍是_____．【答案】【分析】根據(jù)已知條件將問題轉化為“方程有兩個不等的非零根”，然后構造新函數(shù)并利用導數(shù)分析的單調性和取值，從而求解出的取值范圍．【解析】由題意得方程有兩個不等的非零根，方程變形得，設，所以，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又因為，，且當時，，當時，，所以若要方程有兩個不等的非零根，則，故答案為：．【點睛】方法點睛：利用導數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：（1）分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開來，構造關于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關系，求解出參數(shù)范圍；（2）分類討論法：根據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，根據(jù)臨界值作分類討論，分別求解出滿足題意的參數(shù)范圍最后取并集．27．（2021·甘肅省永昌縣第一高級中學高三月考（理））已知函數(shù)，則下列命題：①的最小值是；②是偶函數(shù)；③函數(shù)有個零點；④函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，其中正確命題的序號是______．【答案】①②．【分析】利用圖象的變換畫出的圖象可得①的正誤，，可得②的正誤，在同一坐標系中畫出和的圖象，可得③的正誤，由的圖象和是偶函數(shù)可得④的正誤．【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，再將函數(shù)的圖象左邊去掉，右邊對稱過來得到函數(shù)的圖象，然后向右平移個單位，再向下平移個單位得到的圖象如下：

通過圖象可判斷出函數(shù)的最小值是，故①正確是偶函數(shù)，故②正確在同一坐標系中畫出和的圖象如下：

由圖可得，函數(shù)有個零點，故③錯誤當時，，由圖可得在上單調遞減，在上單調遞增因為是偶函數(shù)，所以在上單調遞增，在上單調遞減所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，故④錯誤所以正確的命題是①②故答案為：①②【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是熟悉函數(shù)的圖象變換，準確地畫出函數(shù)的圖象，然后要結合函數(shù)的奇偶性解題．28．（2021·四川成都市·（文））對于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若滿足對，且時都有，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，若為區(qū)間上的“非減函數(shù)”且，，又當，恒成立，有下列命題①②③，④其中正確的所有命題的序號為______．【答案】①③④【分析】先求得，由對稱性得可判斷①，利用恒成立中令，，由新定義得，從而可得，可判斷②，由“非減函數(shù)”的定義可判斷③，由得時，，再結合可求得④中的四個函數(shù)值，從而判斷④．【解析】又，，則，關于點對稱，則，故①正確；由當，恒成立，令，則，由為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，則，則，故②錯誤；由“非減函數(shù)”定義，∵，∴時，，③正確；由，，同理可得，，由，，，則，則，故④正確．故答案為：①③④．【點睛】本題考查函數(shù)新定義，解題關鍵是理解新定義，利用新定義的性質解題．考查了不等式的性質，旨在考查學生的邏輯推理能力，分析求解能力，創(chuàng)新意識．29．（2021·廣東高三月考）已知函數(shù)有三個互不相同的零點，，，則a的取值范圍是______；的取值范圍是______．【答案】【分析】分別解出三個零點，再根據(jù)分段函數(shù)的范圍列不等式組即可解得a的范圍；因為，轉變?yōu)榍蠛瘮?shù)，的取值范圍，利用導函數(shù)求單調性和極值，即可．【解析】依次解得三個零點分別為，，依題意有．a(chǎn)的取值范圍是．令，，則與均單調遞增在上單調遞增，從而，在上單調遞減又時，的取值范圍是．故答案為：；【點睛】本題考查分段函數(shù)的零點的求法和利用導數(shù)求值域，對綜合應用知識的能力要求較高，難度較大．30．（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三月考（理））函數(shù)的零點個數(shù)為__________．【答案】1【分析】易知函數(shù)的定義域為，假設存在，使得，設，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)互換，可得，，由此，再根據(jù)函數(shù)的單調性可知；則，即，再令，根據(jù)零點存在定理和函數(shù)的單調性即可得到結果．【解析】由題意可知，即，所以；所以函數(shù)的定義域為；又假設存在，使得，即；設，則，，所以．易知在上是增函數(shù)，所以，所以，兩邊同時除以，得，即；設，易知在上是減函數(shù)，且，；由函數(shù)的零點存在定理，存在唯一的實數(shù)，使得，即只有一個根，故函數(shù)只有一個零點．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調性和函數(shù)零點存在定理的運用，解題的關鍵是將原問題轉化為的零點個數(shù)，這是解決本題的關鍵，本題屬于難題．31．（2021·陜西省寶雞市長嶺中學高三期中（理））已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】本題首先可根據(jù)函數(shù)解析式得出函數(shù)在區(qū)間和上均有兩個零點，然后根據(jù)在區(qū)間上有兩個零點得出，最后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點解得，即可得出結果．【解析】當時，令，得，即，該方程至多兩個根；當時，令，得，該方程至多兩個根，因為函數(shù)恰有4個不同的零點，所以函數(shù)在區(qū)間和上均有兩個零點，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，即直線與函數(shù)在區(qū)間上有兩個交點，當時，；當時，，此時函數(shù)的值域為，則，解得，若函數(shù)在區(qū)間上也有兩個零點，令，解得，，則，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)零點數(shù)目求參數(shù)的取值范圍，可將其轉化為兩個函數(shù)的交點數(shù)目進行求解，考查函數(shù)最值的應用，考查推理能力與計算能力，考查分類討論思想，是難題．32．（2021·廣西師范大學附屬中學高三月考）設m≠-1，函數(shù)則使得成立的實數(shù)m的個數(shù)為__________．【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)值，設，，，所以，，然后對分兩種情況討論，每種情況在對進行討論，數(shù)形結合可得答案．【解析】根據(jù)題意，設，所以，，所以，，當即時，，，即，令，，即求兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)，畫出圖象，只有一個解，只有一個解；當即時，，，即，令，，即求兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)，畫出圖象，無交點，即無解；故答案為：1．．【點睛】本題考查了分段函數(shù)的性質，考查了數(shù)形結合與分類討論思想．33．（2021·江蘇鹽城市·鹽城中學高三月考）已知函數(shù)則根為_____________；若函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】或2【分析】（1）當時，運用導數(shù)求得函數(shù)單調區(qū)間，可得，可得一根，當時，直接求解可得．（2）先運用導數(shù)求得函數(shù)單調區(qū)間，并作出函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象列出函數(shù)有4個零點所需要的條件，即可求得結果．【解析】（1）當時，，所以，令，得，并且當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，故當時，有唯一根，當時，，令，解得（舍去）或2，故當時，的根為2，綜上，根為或2；（2）因為，當時，由（1），則，當時，，則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且僅當，且，因為當時，則有或，即或，由圖象得，要使函數(shù)有四個零點，則解得，或，無解，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故答案是：或2；．【點睛】該題考查的是有關根據(jù)函數(shù)的零點的個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識點有利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，結合圖象確定函數(shù)的零點，以及與題意相同的對應參數(shù)所要滿足的條件，屬于較難題目．34．（2021·廣東高三其他模擬）對于正整數(shù)n，設是關于x的方程的實數(shù)根．記，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則____________；設數(shù)列的前n項和為則___．【答案】01010【分析】（1）當時，化簡方程，通過構造函數(shù)的方法，找到函數(shù)零點的范圍，進而求出結果．（2）令，化簡方程，通過構造函數(shù)的方法，找到零點的范圍，即得范圍，分類討論為奇數(shù)和偶數(shù)時，求得結果．【解析】（1）當時，，設單調遞減，，，所以，（2）令，則方程化為：令，則在單調遞增；由零點存在定理可得：，，當，，當，，所以當，故答案為：①0；②1010【點睛】本題考查了函數(shù)的性質、零點存在定理，數(shù)列求和等基本知識，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，轉化和分類討論的數(shù)學思想，屬于難題．35．（2021·江蘇南通市·海門市第一中學高三期末）函數(shù)是單調函數(shù)．①的取值范圍是_____；②若的值域是，且方程沒有實根，則的取值范圍是_____．【答案】【分析】①分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可知函數(shù)為上的增函數(shù)，可得出關于實數(shù)的不等式組，可解出實數(shù)的取值范圍；②根據(jù)函數(shù)的值域為可求得，利用導數(shù)求出當直線與函數(shù)的圖象相切時實數(shù)的值，數(shù)形結合可得出實數(shù)的取值范圍．【解析】①當時，，