(完整版)高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案-20211108152903

高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案第一部分：極限與連續(xù)1.求極限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$解：由洛必達(dá)法則，我們有：$$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{1}=\cos0=1$$2.判斷函數(shù)的連續(xù)性：$f(x)=\begin{cases}x^2&\text{if}x\text{isrational}\\0&\text{if}x\text{isirrational}\end{cases}$解：函數(shù)$f(x)$在$x=0$處連續(xù)，但在其他點(diǎn)不連續(xù)。因?yàn)楫?dāng)$x$趨近于0時(shí)，$f(x)$趨近于0，所以$\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=0$，即$f(x)$在$x=0$處連續(xù)。但對于其他點(diǎn)，$f(x)$的值依賴于$x$是否為有理數(shù)，因此不滿足連續(xù)性的定義。3.求極限：$\lim_{x\to\infty}\frac{x^37x^2+12x1}{3x^3+2x^25x+1}$解：將分子分母同時(shí)除以$x^3$，得到：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^37x^2+12x1}{3x^3+2x^25x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1\frac{7}{x}+\frac{12}{x^2}\frac{1}{x^3}}{3+\frac{2}{x}\frac{5}{x^2}+\frac{1}{x^3}}$$當(dāng)$x$趨向于無窮大時(shí)，$\frac{7}{x}$，$\frac{12}{x^2}$，$\frac{1}{x^3}$，$\frac{2}{x}$，$\frac{5}{x^2}$，$\frac{1}{x^3}$都趨向于0，所以：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^37x^2+12x1}{3x^3+2x^25x+1}=\frac{1}{3}$$4.求極限：$\lim_{x\to1}\frac{x^21}{x1}$解：這個(gè)極限可以通過因式分解來求解：$$\lim_{x\to1}\frac{x^21}{x1}=\lim_{x\to1}\frac{(x1)(x+1)}{x1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$$5.求極限：$\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{x}$解：這個(gè)極限可以通過洛必達(dá)法則來求解：$$\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$$這些是高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案的第一部分，希望對你有所幫助。如果有任何疑問或需要進(jìn)一步的幫助，請隨時(shí)聯(lián)系我。高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案第一部分：極限與連續(xù)（續(xù)）6.求極限：$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$解：由洛必達(dá)法則，我們有：$$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sec^2x}{1}=\sec^20=1$$7.判斷函數(shù)的連續(xù)性：$g(x)=\begin{cases}x&\text{if}x\text{isrational}\\0&\text{if}x\text{isirrational}\end{cases}$解：函數(shù)$g(x)$在任何有理數(shù)點(diǎn)$x$處連續(xù)，但在任何無理數(shù)點(diǎn)$x$處不連續(xù)。因?yàn)楫?dāng)$x$趨近于某個(gè)有理數(shù)$a$時(shí)，$g(x)$趨近于$a$，所以$\lim_{x\toa}g(x)=g(a)=a$，即$g(x)$在有理數(shù)點(diǎn)連續(xù)。但對于無理數(shù)點(diǎn)，$g(x)$的值始終為0，因此不滿足連續(xù)性的定義。8.求極限：$\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}$解：將分子分母同時(shí)除以$x$，得到：$$\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$$9.求極限：$\lim_{x\to\infty}\frac{x^25x+6}{x^2+3x4}$解：將分子分母同時(shí)除以$x^2$，得到：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^25x+6}{x^2+3x4}=\lim_{x\to\infty}\frac{1\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}{1+\frac{3}{x}\frac{4}{x^2}}$$當(dāng)$x$趨向于無窮大時(shí)，$\frac{5}{x}$，$\frac{6}{x^2}$，$\frac{3}{x}$，$\frac{4}{x^2}$都趨向于0，所以：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^25x+6}{x^2+3x4}=\frac{1}{1}=1$$10.求極限：$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}1}{x}$解：這個(gè)極限可以通過洛必達(dá)法則來求解：$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{1}=\frac{1}{2\sqrt{1+0}}=\frac{1}{2}$$這些是高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案的第一部分的續(xù)集，希望對你有所幫助。如果有任何疑問或需要進(jìn)一步的幫助，請隨時(shí)聯(lián)系我。高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案第一部分：極限與連續(xù)（續(xù)）11.求極限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinhx}{x}$解：由洛必達(dá)法則，我們有：$$\lim_{x\to0}\frac{\sinhx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\coshx}{1}=\cosh0=1$$12.判斷函數(shù)的連續(xù)性：$h(x)=\begin{cases}x^3&\text{if}x\text{isrational}\\0&\text{if}x\text{isirrational}\end{cases}$解：函數(shù)$h(x)$在任何有理數(shù)點(diǎn)$x$處連續(xù)，但在任何無理數(shù)點(diǎn)$x$處不連續(xù)。因?yàn)楫?dāng)$x$趨近于某個(gè)有理數(shù)$a$時(shí)，$h(x)$趨近于$a^3$，所以$\lim_{x\toa}h(x)=h(a)=a^3$，即$h(x)$在有理數(shù)點(diǎn)連續(xù)。但對于無理數(shù)點(diǎn)，$h(x)$的值始終為0，因此不滿足連續(xù)性的定義。13.求極限：$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{e^x}$解：將分子分母同時(shí)除以$e^x$，得到：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2}{e^x}+\frac{1}{e^x}}{1}$$當(dāng)$x$趨向于無窮大時(shí)，$\frac{x^2}{e^x}$和$\frac{1}{e^x}$都趨向于0，所以：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{e^x}=0$$14.求極限：$\lim_{x\to\infty}\frac{x^33x^2+2x1}{x^3+4x^27x+1}$解：將分子分母同時(shí)除以$x^3$，得到：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^33x^2+2x1}{x^3+4x^27x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\frac{1}{x^3}}{1+\frac{4}{x}\frac{7}{x^2}+\frac{1}{x^3}}$$當(dāng)$x$趨向于無窮大時(shí)，$\frac{3}{x}$，$\frac{2}{x^2}$，$\frac{1}{x^3}$，$\frac{4}{x}$，$\frac{7}{x^2}$，$\frac{1}{x^3}$都趨向于0，所以：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^33x^2+2x1}{x^3+4x^27x+1}=\frac{1}{1}=1$$15.求極限：$\lim_{x\to0}\frac{e^x1x}{x^2}$解：這個(gè)極