數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系單元測評二

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精單元測評（二）（時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1。將一個圓作伸縮變換后所得到的圖形不可能是（）A.橢圓B.比原來大的圓C。比原來小的圓D.雙曲線答案:D2。在極坐標(biāo)系中,點M（-2，）的位置，可按如下規(guī)則確定（)A.作射線OP，使∠xOP=，再在射線OP上取點M,使｜OM|=2B。作射線OP，使∠xOP=,再在射線OP上取點M,使｜OM｜=2C。作射線OP,使∠xOP=,再在射線OP的反向延長線上取點M，使|OM｜=2D.作射線OP，使∠xOP=—,再在射線OP上取點M，使｜OM｜=2答案:B3.極坐標(biāo)方程sinθ=（ρ∈R)表示的曲線是（)A.兩條相交直線B.兩條有公共點的射線C。一條直線D。一條射線答案:A4。直角坐標(biāo)為（—3，4）的點的極坐標(biāo)可能是（）A.(5,arctan（-))B。（5,arcsin）C.(—5，-arccos)D。(—5,arccos（-）)解析：∵ρ==5（ρ>0）,點（-3,4)在第二象限，tanθ=—，θ=π+arctan（-)=π-arctan.排除A、B.又cosθ=—，則θ=arccos(—)=π—arccos。若取ρ=-5,則取極角θ=-arccos。答案:C5.將極坐標(biāo)(2,）化為直角坐標(biāo)為()A.（0，2）B.（0，—2)C.（2,0）D。（—2,0）答案:B6.極坐標(biāo)方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲線是（)A.直線B.圓C.雙曲線D。拋物線解析:方程ρ=sinθ+2cosθ兩邊同乘以ρ，得ρ2=ρsinθ+2ρcosθ.∴x2+y2=2x+y，即(x—1）2+（y—)2=。答案：B7。極坐標(biāo)平面內(nèi)，集合P={（ρ,θ)|sinθ=-,ρ∈R｝與集合S=｛(ρ,θ）｜cosθ=,ρ∈R｝之間的關(guān)系是(）A.PSB.PSC。P=SD.P∩S=｛(0,0)｝答案:C8。(經(jīng)典回放）已知點P的極坐標(biāo)為(1，π），那么過點P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為（）A.ρ=1B。ρ=cosθC.ρ=—D。ρ=解析：點P（1，π)在相應(yīng)的直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是(-1，0)，則過該點的直線方程為x=-1,它在極坐標(biāo)系中的方程是ρcosθ=—1。答案：C9。在極坐標(biāo)系中，過點A（6,π)作圓ρ=-4cosθ的切線，則切線長為(）A.2B.6C。2D。2解析:如圖,切線長為答案:C10.一個三角形的一個頂點在極點，其他兩個頂點的極坐標(biāo)分別為P1（—5,109°）,P2（4,49°）,則這個三角形P1OP2的面積為()A.5B.10C.D.10解析:如圖，∠P1OP2=49°+（180°—109°）=120°。∴S△P1OP2=×5×4×sin120°=5。答案：A11.以極坐標(biāo)系中的點(1，1）為圓心，1為半徑的圓的方程是（)A.ρ=2cos(θ—）B.ρ=2sin(θ-）C.ρ=2sin(θ—1)D。ρ=2cos（θ-1)解析:在新極坐標(biāo)系中圓的方程為ρ′=2cosθ′,又ρ′=ρ,θ′=θ—1,∴ρ=2cos（θ-1)為所求.答案：D12。已知曲線C與曲線ρ=53cosθ—5sinθ關(guān)于極軸對稱,則曲線C的方程是()A。ρ=-10cos（θ-）B。ρ=10cos(θ—)C.ρ=—10cos（θ+)D。ρ=10cos(θ+)解析:方程ρ=5cosθ-5sinθ兩邊同乘以ρ，得ρ2=5ρcosθ-5ρsinθ?！鄕2+y2=5x—5y.曲線關(guān)于極軸對稱的曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=5x+5y?！唳?=5ρcosθ+5ρsinθ,即ρ=5cosθ+5sinθ=10cos（θ—）。答案:B二、填空題(每小題4分，共16分）13。將直角坐標(biāo)P（—1，-3）化為極坐標(biāo)(ρ>0，0≤θ<2π）_______。解析：ρ==2，點P在第三象限,tanθ=，∴θ=π+=π。答案:(2,π)14。極坐標(biāo)方程ρcosθ=sin2θ所表示的曲線是_______.解析：由ρcosθ=sin2θ=2sinθcosθ，得cosθ=0或ρ=2sinθ.∴表示一條直線或一個圓.答案：一條直線或一個圓15.在同一平面直角坐標(biāo)系中，由橢圓變成圓x＇2+y＇2=1的伸縮變換公式為_______。解析:設(shè)伸縮變換為將其代入x′2+y′2=1，得λ2x2+u2y2=1。與方程=1比較系數(shù)有λ2=,u2=.∴λ=,u=，即所求的伸縮變換為答案：16.曲線θ=0，θ=(ρ≥0）和ρ=4所圍成的面積是_______。解析：如圖，所求的面積由S=lR=αR2得S=××42=π。答案:π三、解答題（共74分)17。（本小題滿分12分）設(shè)有一顆彗星,圍繞地球沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于該拋物線軌道的焦點處，當(dāng)此彗星離地球為30(萬千米)時,經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為30°，試建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系,寫出彗星此時的極坐標(biāo)。解:如圖，建立極坐標(biāo)系,使極點O位于拋物線的焦點處,極軸Ox過拋物線的對稱軸,由題設(shè)可得下列情形：（1）當(dāng)θ=30°時,ρ=30(萬千米);（2)當(dāng)θ=150°時,ρ=30（萬千米)；(3）當(dāng)θ=210°時，ρ=30（萬千米);(4）當(dāng)θ=330°時，ρ=30（萬千米）?！噱缧谴藭r的極坐標(biāo)有四種情形:(30，30°)，(30,150°),(30，210°），(30,330°)。18.（本小題滿分12分)（1)將下列曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程:①(x2+y2）2=2a2xy；②x-3y(2）將下列曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程:①ρ2=cos2θ;②ρ=解:(1）①由(x2+y2）2=2a2xy,得ρ4=2a2ρ2cosθsin∴ρ2=2a2cosθsinθ，即ρ2=a2sin2θ②由x—3y=0,得ρcosθ—3ρsinθ=0,tanθ=。∴θ=arctan。(2)①ρ2=cos2θ兩邊同時乘以ρ2,得ρ4=ρ2cos2θ=（ρcosθ）2?！啵▁2+y2）2=x2，即有x2+y2=x或x2+y2=-x,它表示兩個圓.②方程可化為2ρ-ρcosθ=4，即2ρ=4+x，兩邊平方得4ρ2=(x+4)2.4x2+4y2=x2+8x+16，即3x2-8x+4y2=16.19。(本小題滿分12分）已知正三角形ABC的邊長為a,在平面上求一點P，使|PA|2+|PB｜2+｜PC｜2最小,并求出此最小值.解:如右圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則A（0,a）,B（-,0),C(，0)。設(shè)P(x，y),則|PA｜2+｜PB｜2+｜PC|2=x2+（y—a)2+（x+）2+y2+(x—）2+y2=3x2+3y2-ay+=3x2+3(y-a）2+a2≥a2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=a時，等號成立,∴所求最小值為a2，此時P點坐標(biāo)為P(0，a)，是正三角形ABC的中心.20.（本小題滿分12分)已知定點A(a,0)，動點P對極點O和點A的張角∠OPA=,在OP的延長線上取點Q，使|PQ｜=|PA|.當(dāng)P在極軸上方運動時,求點Q的軌跡的極坐標(biāo)方程.解：設(shè)Q、P的極坐標(biāo)分別是(ρ，θ)，（ρ1，θ1)，則θ=θ1.在△POA中，ρ1=·sin（-θ），｜PA|=又｜OQ|=|OP｜+｜PA|，∴ρ=2acos（-θ)。21.(本小題滿分12分）半徑為R的兩個等圓，它們的圓心分別在兩條互相垂直相交于點O的定直線上,且兩圓都過點O，過點O任意作直線l分別交兩圓于A、B,試求出線段AB中點P的軌跡的極坐標(biāo)方程。解：如圖,建立極坐標(biāo)系,設(shè)B（ρ1,θ），其軌跡為ρ1=2acosθ.設(shè)A（ρ2,θ)，其軌跡為ρ2=2asinθ，設(shè)P（ρ，θ)，則ρ=（ρ1+ρ2)=（2acosθ+2asinθ)=a(cosθ+sinθ）=asin（θ+）.∴點P的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=2asin(θ+）。22。(本小題滿分14分)如圖，根據(jù)指令(r，θ）（r≥0,—180°≤θ≤180°),機器人在平面上能完成下列動作:先原地旋轉(zhuǎn)角度θ（θ為正時,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ，θ為負時,按順時針方向旋轉(zhuǎn)|θ|）,再朝其面對的方向沿直線行走距離r。（1)現(xiàn)機器人在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，且面對x軸正方向，試給機器人下一個指令，使其移動到點(4,4）.(2）機器人在完成該指令后，發(fā)現(xiàn)在點（17,0)處有一個小球正向坐標(biāo)原點作勻速直線滾動，已知小球滾動的速度為機器人直線行走速度的2倍，若忽略機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，問機器人最快可在何處截住小球?并給出機器人截住小球所需的指令(結(jié)果精確到小