數(shù)學導學案：向量在物理中的應用舉例

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.5。2向量在物理中的應用舉例1．體會用向量法解決物理中的力學問題．2．體會用向量法解決物理中的速度問題．向量在物理中的應用舉例(1）力是具有大小、方向和作用點的向量,它與向量有所不同．大小和方向相同的兩個力，如果作用點不同,它們就不相等．但是在不計作用點的情況下，可用________法則計算兩個力的合力．（2）速度是具有大小和方向的向量,因而可用______法則或________法則求兩個速度的合速度．【做一做1－1】作用于原點的兩個力F1＝（1，1)，F(xiàn)2＝(2,3），為使它們平衡，需加力F3等于（）A．(3，4) B．(1,2) C．(－3，－4） D．(2,3)【做一做1－2】河水從東向西流,流速為2m/s，一輪船以2答案：（1）平行四邊形（2)三角形平行四邊形【做一做1－1】CF1＋F2＋F3＝0,則F3＝－F1－F2＝－(1,1）－（2，3)＝(－3，－4)．【做一做1－2】2eq\r(2)設(shè)水速為a，船速為b，則a⊥b，|a|＝2，｜b|＝2，a·b＝0，輪船的實際航速c＝a＋b,則|c｜＝|a＋b｜＝eq\r（a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋｜b|2）＝eq\r（22＋22)＝2eq\r(2）。向量在物理中的應用需注意的問題剖析：學習向量在物理中的應用要注意兩個方面的問題：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，也就是將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學模型，另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象．在解決具體問題時要明確和掌握用向量研究物理問題的相關(guān)知識：（1）力、速度、加速度和位移是向量；（2）力、速度、加速度和位移的合成與分解就是向量的加減法；（3)動量mv是數(shù)乘向量;（4）功即是力F與所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積．用向量法解決物理問題的步驟(類似于用向量方法解決平面幾何問題的步驟)：(1)把物理問題中的量用向量來表示；(2)將物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，通過向量運算解決數(shù)學問題;(3）把結(jié)果還原為物理問題．題型一用向量法解決速度問題【例1】某人騎摩托車以20km/h的速度向西行駛，感覺到風從正南方向吹來，而當其速度變?yōu)?0km/h時,分析：無風時感覺到的風速是摩托車的相反速度，有風時，感覺到的風速是實際風速與摩托車速度的相反速度的和，畫出圖形，轉(zhuǎn)化為速度向量來解決．反思：向量在速度問題中的應用一般是速度的分解與合成，由于速度是向量，則可以用向量的分解與合成來解決．題型二用向量法解決力學問題【例2】如圖所示,已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上)，大小為50N，一個質(zhì)量為8kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數(shù)μ＝0.02的水平平面上運動了20m．問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？（g＝分析:將做功問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)量積來解決．反思：向量在力學中的應用一般涉及力的合成與分解,充分借助向量平行四邊形法則把物理問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．該題涉及解三角形,同時正確作圖是前提．答案：【例1】解：設(shè)v1表示20km/h的速度，在無風時,此人感覺到的風速為－v1,實際的風速為v，那么此人所感覺到的風速為v＋(－v1）＝v－v如圖所示，令eq\o（AB,\s\up6（→)）＝－v1，eq\o（AC，\s\up6(→））＝－2v1，實際風速為v.∵eq\o（DA,\s\up6(→))＋eq\o（AB，\s\up6（→)）＝eq\o(DB,\s\up6（→）），∴eq\o(DB，\s\up6（→))＝v－v1。這就是騎車人感覺到的從正南方向吹來的風的速度．∵eq\o(DA，\s\up6（→））＋eq\o（AC,\s\up6(→)）＝eq\o（DC,\s\up6（→）），∴eq\o(DC,\s\up6（→))＝v－2v1.這就是當車的速度為40km/h由題意，得∠DCA＝45°，DB⊥AB，AB＝BC,∴△DCA為等腰三角形,DA＝DC，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴DA＝DC＝eq\r(2)BC?！鄚v｜＝20eq\r（2)∴實際風速是20eq\r（【例2】解:設(shè)木塊的位移為s，則W＝F·s＝|F|｜s｜cos30°＝50×20×eq\f（\r（3）,2）＝500eq\r（3）(J)．F在豎直方向上的分力的大小為|F1｜＝｜F｜·sin30°＝50×eq\f(1，2）＝25（N)．則｜f｜＝μ（mg－|F1｜)＝0。02×(8×10－25)＝1。1（N）．所以f·s＝｜f｜|s｜cos180°＝1.1×20×（－1)＝－22（J）．即F與f所做的功分別是500eq\r(3)J與－22J.1．兩個大小相等的共點力F1,F2,當它們的夾角為90°時，合力大小為20N，當它們的夾角為120°時，合力大小為()A．40N B．N C．N D．N2．已知一個物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功W＝__________3．用兩條成120°夾角的等長的繩子懸掛一個燈箱，如圖，已知燈箱的重為10N，則每根繩子的拉力大小為__________________________________________________________．4．點P在平面上做勻速直線運動,速度向量v＝(4,－3)（即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為｜v|個單位）．設(shè)開始時點P0的坐標為(－10,10），則5秒后點P的坐標為__________．5．已知在靜水中船速為5m/s，且知船速大于水速,河寬為20m，船從A點垂直到達對岸的B點用的時間為5答案：1．B如圖，以F1，F(xiàn)2為鄰邊作平行四邊形，F(xiàn)為這兩個力的合力．由題意,易知｜F｜＝｜F1|，｜F｜＝20N，∴|F1｜＝｜F2|＝N.當它們的夾角為120°時，以F1,F2為鄰邊作平行四邊形，此平行四邊形為菱形，此時｜F合｜＝|F1|＝N.2．300W可以看成向量F與向量s的數(shù)量積,則W＝F·s＝|F||s｜cos60°＝6×100×＝300（J）．3．10N結(jié)合圖形,由向量加法的平行四邊形法則，又繩子等長,故平行四邊形為菱形，知拉力大小為10N.4．(10，－5)由題意知，＝5v＝（20，－15)，設(shè)點P的