數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案：平面向量基本定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．3。1平面向量基本定理1．了解基底的含義，理解并掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面內(nèi)任一向量．2．掌握兩個向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義．1．平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個________向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2,使a＝__________,其中不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組______．（1）這個定理告訴我們，在平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量的和,且這樣的分解是唯一的，同一個非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的,即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0.（2）對于固定的e1,e2(向量e1與e2不共線)而言，平面內(nèi)任一確定的向量的分解是唯一的，但平面內(nèi)的基底卻不唯一，只要平面內(nèi)的兩個向量不共線，就可以作為基底，它有無數(shù)組．【做一做1】在平面四邊形MNPQ中,下列一定可以作為該平面的一組基底的是（）A。eq\o(MN，\s\up6(→))與eq\o(MP，\s\up6(→)） B.eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(QP，\s\up6(→））C。eq\o（MQ，\s\up6（→））與eq\o（PN，\s\up6（→)) D.eq\o（QN，\s\up6(→))與eq\o（NQ，\s\up6(→）)2．向量的夾角（1)定義：兩個非零向量a和b,且eq\o(OA,\s\up6（→))＝a,eq\o（OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a和b的夾角(如圖所示)，范圍是____________．當θ＝0°時，向量a和b______；當θ＝180°時,向量a和b______.(2）垂直：如果向量a和b的夾角是______,我們就說向量a與b垂直，記作__________．【做一做2】在等邊三角形ABC中，eq\o（AB，\s\up6（→）)與eq\o（BC,\s\up6（→)）的夾角等于()A．60° B．90° C．120° D．150°答案：1．不共線λ1e1＋λ2e2基底【做一做1】A由于eq\o（QN，\s\up6(→））∥eq\o（NQ,\s\up6（→）），則不能作為基底，所以選項D不能作為基底；當四邊形MNPQ是平行四邊形時，eq\o（MN,\s\up6(→））∥eq\o（QP,\s\up6(→)），eq\o(MQ,\s\up6(→））∥eq\o(PN，\s\up6（→））,所以選項B和C都不能作為基底;很明顯eq\o（MN，\s\up6（→))與eq\o（MP，\s\up6(→）)不共線,則可以作為基底,故選A。2．(1）0°≤θ≤180°同向反向（2）90°a⊥b【做一做2】C延長AB到D,使AB＝BD，如圖所示，則eq\o（AB，\s\up6(→））與eq\o（BC,\s\up6（→）)的夾角等于∠CBD.又∠ABC＝60°，則∠CBD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，所以eq\o(AB，\s\up6(→））與eq\o（BC，\s\up6（→））的夾角等于120°.1．理解平面向量基本定理剖析:（1）e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量．(2）對給定的向量a，實數(shù)λ1,λ2存在且唯一．實數(shù)λ1,λ2的唯一性是相對于基底e1，e2而言的．（3)只要是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量都可作為一組基底，所以基底的選取不唯一．一旦選定一組基底,則給定向量按照基底的分解是唯一的．（4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本結(jié)構(gòu),即同一平面內(nèi)任意三個向量之間的關(guān)系是其中任何一個向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合．（5）零向量與任意向量共線，故不能作為基底中的向量．2．理解向量的夾角剖析：(1）由于零向量的方向是任意的,因此，零向量可以與任一向量平行，零向量也可以與任一向量垂直，因此不討論與零向量有關(guān)的夾角問題．（2)按照向量夾角的定義，只有兩個向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩向量的夾角,如圖所示,∠BAC不是eq\o（CA,\s\up6（→))與eq\o(AB，\s\up6(→）)的夾角,∠BAD才是eq\o(CA,\s\up6(→）)與eq\o(AB，\s\up6（→))的夾角．＜0時，θ0=180°－θ；當λ1λ2＞0時,θ0=θ題型一判斷向量的基底【例1】設(shè)e1，e2是不共線的兩個向量,給出下列四組向量：①e1與e1＋e2;②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是________．(寫出所有滿足條件的序號）反思：根據(jù)平面向量基底的定義知此類問題可轉(zhuǎn)化為判斷兩個向量是否共線的問題．若不共線,則它們可作為一組基底;若共線，則它們不可能作為一組基底．題型二作兩向量線性運算的結(jié)果【例2】如圖所示,已知基向量a，b，求作向量3a－2b分析：分別作出向量3a和－2b,再用平行四邊形法則作出它們的和反思:已知向量a，b，求作λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R）的步驟：(1）作eq\o(OA，\s\up6（→）)＝λ1a，eq\o（OB,\s\up6（→))＝λ2b；（2）作OACB，eq\o(OC,\s\up6(→)）就是求作的向量．題型三用基底表示向量【例3】如圖,梯形ABCD中，AB∥CD,且AB＝2CD，M,N分別是DC和AB的中點,若eq\o（AB,\s\up6（→）)＝a，eq\o(AD,\s\up6（→）)＝b，試用a，b表示eq\o（DC,\s\up6(→）），eq\o(BC，\s\up6（→）),eq\o(MN,\s\up6(→))。分析：由于DC∥AB，則eq\o(DC，\s\up6(→)）∥a,eq\o(DC，\s\up6(→）)＝λa；構(gòu)造三角形和平行四邊形，利用向量加法、減法的運算法則來解決．反思：用基底表示向量的關(guān)鍵是利用三角形或平行四邊形將基底和所要表示的向量聯(lián)系起來．解決此類題時,首先仔細觀察所給圖形．借助于平面幾何知識和共線向量定理,結(jié)合平面向量基本定理解決．題型四易錯辨析易錯點分不清向量的起點和終點【例4】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°,∠ACB＝60°，則eq\o(AC,\s\up6(→）)與eq\o（CB,\s\up6(→）)的夾角θ＝__________。錯解：∵∠ACB是eq\o（AC,\s\up6（→)）與eq\o（CB,\s\up6（→))的夾角，∴θ＝60°。錯因分析：錯解中，誤認為∠ACB是eq\o（AC，\s\up6（→））與eq\o（CB，\s\up6（→))的夾角,其實不然，∠ACB是eq\o（CB,\s\up6（→))與eq\o（CA,\s\up6(→））的夾角，eq\o（AC,\s\up6（→)）與eq\o(CB，\s\up6（→))的起點不同，則∠ACB不是其夾角．反思:當且僅當a與b的起點相同，且a＝eq\o（OA,\s\up6（→)），b＝eq\o（OB，\s\up6(→)）時，∠AOB才是向量a與b的夾角．答案：【例1】③①設(shè)e1＋e2＝λe1,則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，，1＝0，）)無解，∴e1＋e2與e1不共線，即e1與e1＋e2可作為一組基底；②設(shè)e1－2e2＝λ（e2－2e1），則（1＋2λ)e1－（2＋λ）e2＝0，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1＋2λ＝0,,2＋λ＝0，))無解，∴e1－2e2與e2－2e1不共線，即e1－2e2與e2－2e1可作為一組基底；③∵e1－2e2＝－eq\f（1,2)（4e2－2e1），∴e1－2e2與4e2－2e1共線，即e1－2e2與4e2－2e1不可作為一組基底;④設(shè)e1＋e2＝λ（e1－e2），則(1－λ）e1＋(1＋λ)e2＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1－λ＝0，，1＋λ＝0，）)無解，∴e1＋e2與e1－e2不共線,即e1＋e2與e1－e2可作為一組基底．【例2】作法：（1)如圖所示，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝3a，eq\o（OB,\s\up6（→））＝－2b.（2）作OACB.eq\o（OC，\s\up6(→）)就是求作的向量．【例3】解：如圖所示，連接CN,則四邊形ANCD是平行四邊形．則eq\o（DC，\s\up6(→））＝eq\o(AN，\s\up6（→))＝eq\f(1，2）eq\o(AB,\s\up6(→)）＝eq\f（1，2）a，eq\o（BC,\s\up6（→)）＝eq\o（NC，\s\up6(→）)－eq\o（NB，\s\up6(→)）＝eq\o（AD，\s\up6（→)）－＝b－eq\f（1，2)a，eq\o（MN,\s\up6（→））＝eq\o（CN,\s\up6(→）)－eq\o（CM，\s\up6（→））＝－eq\o（AD,\s\up6(→）)－eq\f(1,2）eq\o（CD,\s\up6（→）)＝－eq\o（AD,\s\up6（→））－eq\f（1,2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)\o（AB，\s\up6（→））)）＝eq\f（1，4)a－b?！纠?】正解：如圖所示，延長AC到D，使AC＝CD，則eq\o（AC,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6（→）)，∠BCD是eq\o（AC，\s\up6（→））與eq\o（CB,\s\up6(→））的夾角．由于∠BCD＋∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，則∠BCD＝180°－60°＝120°，即θ＝120°.1．如圖所示，D是BC邊的一個四等分點．試用基底，表示＝__________。2．a(chǎn)與b是一組基底，且p＝a＋mb,q＝ma＋2b，且p與q不能組成一組基底，則實數(shù)m＝________.3．如圖，平行四邊形ABCD中，＝a，＝b,M是DC的中點，以a,b為基底表示向量＝__________。4．已知e1與e2不共線，a＝e1＋2e2,b＝λe1＋e2,且a與b是一組基底，則實數(shù)λ的取值范圍是________．5．已知基向量a和b,如圖所示,求作向量2a－b答案：1?！逥是BC邊的四等分點，∴＝＝,∴