高中數(shù)學(xué)：歸納不等式的求解方法

高中數(shù)學(xué)：歸納不等式的求解方法

不等式基本知識(shí)

基本性質(zhì)

①a>bob<a（對(duì)稱(chēng)性）；

②a>b,6>C,=>Q>C（傳遞性）；

③a>b<=^a+ob+c；

④a>b,c>0<^>aobc；a>b,c<0<^>ac<be.

2

運(yùn)算性質(zhì)

1a>b,c>dna+c>b+d（加法法則）；

②a>b>0^c>d>Gnac>bd（乘法法則）；

③a>b>0,〃wN,n/（乘方法則）；

④a>b>0,>VS（開(kāi)方法則）.

3

常用不等式

2

?a+b,a+b、2、,

NL

②4ml皿取等號(hào)條件：一正、二定、三相等;

③|x+-|>2；

X

小*>Ab+m

4右力>0,m>0A,—<----；

aa+m

⑤x,+x2+xy+--+xn>n\lxxx2......xn(x>0).

不等式的證明方法

常用的方法有：比較法、分析法、綜合法、歸納法、反證

法、類(lèi)比法、放縮法、換元法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、幾何

法、構(gòu)造函數(shù)、數(shù)軸穿針?lè)ǖ取?/p>

比較法

【例1】若。>0,Z>>0,^iiE—+—>a+b.

ab

證明：—+^--(a+b)

ab

(a+b)(a2-ab+b")

—(a+b)

ab

(Q+b)("b『

=------------->0

ab

22

ab於

ba

2

分析法

【例2】已知。，b,X,y都是正實(shí)數(shù)，且1■>?，XX,求證

ab

上工.

a+xb+y

解：?"b,X,y都是正實(shí)數(shù)，，要證上->4,只

a+xb+y?<

要證x(b+y)>Ma+x)，即證云>犯，也就是平>?，即

abab

而由叱1x>y,知成立，原式得證.

ababab

3

綜合法

【例3】設(shè)。，b,c均為正數(shù)I且。+b+c=l求證：

j3〃+l+j36+l+V^Ti43VL

證明:TQ,b,c均為正數(shù),a+b+c-\t

0<er<bO</><hO<c<1,

萬(wàn)7京10史士&?回K史士

22

V2,反口<言以上三式相加得

物+VSTT+V5Z7TK6,

???J3〃+1+J3b+1+J3c+143、江,

【例4】設(shè)加eN.,〃eN,且加求證：（1+—廣＜（1+-）"

mn

證明：

(1H----)刖=(1H----)(1H----),?,(1H----),1*1*1,*?1

mmmtn

(1+)w+lx(/7-w)?

<[—退-------------------r=a+一)”，

nn

???1+L1,

m

，上述不等式中不能取等號(hào)，（i+L『＜（i+l）“成立,

mn

式中乘了〃-加個(gè)1構(gòu)成不等式.

數(shù)學(xué)歸納法

【例5】i§x>-1,且求證(1+x)"21+〃x.

證明：⑴當(dāng)〃=1時(shí)，(1+勸=l+lu,不等式成立.

⑵假設(shè)當(dāng)〃=*,人M，時(shí),不等式成立，即(1+X)，1+后,

那么當(dāng)〃=八1時(shí)，門(mén)>-1，.?.1+%>0,收20,.?.由歸納假

設(shè)可得(1+X)“'>(1+Ax)(l+x)

=\+(k+\)x+kx1Nl+(*+l)x

.?.(i+xr>i+u+i)x,即〃=%+i時(shí)，不等式也成立.

綜合以上所述，對(duì)于任意X>T,且〃eM，(1+迅之1+〃X都成

立.

5

反證法

【例6】已知。，從c都是小于1的正數(shù)，求證：

(l-Q)/b(l-b)C,(l-C)Q中至少有一個(gè)不大于!.

4

證明：假設(shè)三個(gè)式子都大于1???0,4C都是小于1的

4

正數(shù)，,yl(\-b)c>|,

._______________3

從而J(1-a)b+J(1-^)c+J(1-c)o>-,

但是&"a)b+J(1-b)c+J(l-c)o

[1三)+方+0二1+(1二等=1與上式矛盾,故假設(shè)

2222

不成立，原命題成立.

6

類(lèi)比法

【例7】已知函數(shù)/（X）二五+加:+。（4>0）的圖像與X軸有兩

個(gè)不同的交點(diǎn)，若〃c）=0,且0<x<c時(shí)/⑴>0,當(dāng)

c>i,/〉o時(shí).求證：旦+-L+￡>O.

t+2t+]t

證明：直接證明很困難，題中說(shuō)到函數(shù)/（X）的性質(zhì)，那

么就要構(gòu)造成類(lèi)似/（X）的形式，即類(lèi)比函數(shù)，

要證—+—+->0,即證a-+b-+c>0,

/+2/+1tt+2/+1

t+2)+〔

—^―+b?—^―+c>a-(―^―):+b?(―^―)+c=/(——).

t+2t+\/+1f+1t+V

<1<c/(」—)>o,/.—^―+2-+￡>o

而°<而命題得

t+\t+2t+\t

證.

7

放縮法

常用放縮公式:

1+1_y[~n<--；=<Vw-J〃—1；

②---------7<-<----7----/

nn+\nn-\n

臺(tái)Q+加ac八、.

3------->-(6>a>0n,w>0),

b+mb

④〃!〉2-(〃23)；

5〃個(gè)正數(shù)q,%,他…4，〃22,

有q+%+4+-+?！?〃，《生4???4,

當(dāng)且僅當(dāng)q=4=%=…=應(yīng)時(shí)等號(hào)成立；

⑥|°|一|6國(guó)。士+；

01n(x+1)<x(x=0,ln(x+1)=x);

⑧二項(xiàng)式定理展開(kāi)式(。+by^c?°+c：+c：+c：+…+c;.

9(1+x)>l+3x(x>0).

【例8】已知正項(xiàng)數(shù)列｛叫滿(mǎn)足…且%F

n

(1)求證：a<---；(2)誥<L

”1+(〃-1)。1k+1

11?

證明：⑴Wr..-->—+1,

11r11+("1)4

/,—2—-+1>

a

氏aHi凡2

z.a<-------.

n\+(n-\)a

小aaa1

(2)a<------------=-----------<—二一

n1+{w-l)67na+\-anan

n

.一1-

*=lk+\1x22x3?(/?+!)

111111

223n〃+l

命題得證.

換元法

常用換元方法：

1若可設(shè)x=acosa,y=asina,aG[0,2^)；

(2:§—+—=1,可設(shè)x=〃cosa,丁=bsina,aE[012^)；

Q?b-

3對(duì)于Jl-父,可設(shè)x=cosa,(ct￡[0,〃]),

或x=sina,(ae[——，一])；

22

4對(duì)于Jl+x??可設(shè)x=tana或x=cola；

⑤對(duì)于V?=L可設(shè)、=5?<：1或犬=^5(：儀；

⑥若犬+"?。,可設(shè)x=rcosa,y=s\na9Q<\r\<a.

【例9】已知beR,求證：\3a2-Sab-3b21<20.

證明：設(shè)。二rcosa,b=rs\na(aeR)t其中

，原式可轉(zhuǎn)化為/|3cos2a-8sinacosa-3sin'a|

=r|3cos2?-4sin2?|

=5/|cos(2a+“)|,

-/0<|cos(2cr+(p)|<1,原式工5r2<20??原不等式成立.

9

判別式法

【例10】求證：3

2x2+l2

證明：設(shè)y=之手，則(l—y)f+x+l—>=0,定義

x+1

域?yàn)镽,

當(dāng)>=］時(shí)，工=0是定義域中的一個(gè)值，//=1是值域中的一

個(gè)值；

|3

當(dāng)"1時(shí)，由A=1—4(1—/)20,得廣

綜上所述:V二駕成立.

2r+12

推論：判別式法證明對(duì)形如

。工經(jīng)二警^岫，。，H0,XGR)具有一般性.

+&X+C,

aLx/1

10

導(dǎo)數(shù)法(單調(diào)性)

【例11】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列"｝的前〃項(xiàng)和S“滿(mǎn)足

5,>I,且6S。=(。.+1)(?！?2),ncN,

(1)求也｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列也,｝滿(mǎn)足見(jiàn)(2-1)=1,并記7；為也｝的前〃項(xiàng)和，

求證：37；+1>k)g,(w+3),neN,.

解：(1)q=R=:(q+l)(4+l)",q=l,2,由已知

6

a、=S]>1,??%—2]

又/二”一S“二%(%+1)(%+2)-(0+1)(。,,+2)],

6

得%-%=3,%=%(舍去)

是公差為3,首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故mj通項(xiàng)公式為

aF!=3〃-1.

,13/7

(2)由/⑵-1)=1，解得6=log2(l+-)-log,——,

“見(jiàn).3〃-1

_,,,LI/3693〃、

T=〃+h+a+?.?+6=log、(-------------),

“123，622583〃-1

37；+1-1。以見(jiàn)+3)=log2[(14-:二]，

253〃-13w+2

人、，363〃u2

令/(〃二(1-------——)--―

253/7-13/7+2

則加+1)=3〃+23/7+3=(3〃+3y

11

構(gòu)造函數(shù)法

【例12】對(duì)于函數(shù)若存在兒金心使/(天)=七成立，

則稱(chēng)兀為/(X)的不動(dòng)點(diǎn)，如果函數(shù)/(工)二產(chǎn)S，CWNJ有

bx-c

且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0,2,且

(1)試求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列肛｝滿(mǎn)足4s.?/(!)+,求證：

an

1I〃+11

------<In------<—；

(3)設(shè)。=-工，7；為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，求證：

an

7^-l<ln2008<r2M7.

VJ-/7

:

解：(1)令/(x)=-------=x,(1-b)x+cx+a-0t由

bx-c

已知時(shí)方程的兩根，「,一

0,21b*0,XIX.-=a=0,

，4=0,xl+x2=2=:.c=2b-2>09

b—1

,:b,c>^:.b>L/(-2)二-----<一一，

2b+c2

8>46-2,A0</?<-,

2

:?b=2,c=2,/(x)=-^—,八月=詈3.令人萬(wàn))>0得

2x-22(x-l)

⑵/（-）=T7T~~?

a2a（1一〃）

4s./（—）=1A2S=a-八2s=a-a:,

an

兩式做差得%-生=-1,

，數(shù)列mj是以-i為公差，-1為首項(xiàng)的等差數(shù)歹（

?二凡二一〃，

1

，要證原式，即證」7cm匕<!,

n+\nn

—x

令x=-,函數(shù)g(x)=ln(x+l)—x,gr(x)=:——<o,遞減

n1+x

g(x)0m<Ini=0?g(x)<0,/.ln(l+x)<x,ln(^-^)<一，

nn

./7+111]W+l1

同理可證ln(——)>——------<In——<——.

〃〃+1%?見(jiàn)

(3)由⑵得*<ln±Lln四

nn

70027007

200820072006

r(i(r>In陋+In+…+In2=In2008,

200720072006

?',4蝮一1<歷2008<T^}1.

12

數(shù)軸穿針?lè)?/p>

【例13】求解不等式里以上8)g二9)<0

(x+6)(x+7)

解:原不等式等價(jià)于(x-4)，(x-8)(x-9)(x+6)(x+7)<0

根分別為-6,-7,489在數(shù)軸上標(biāo)出這些值，考慮到4對(duì)應(yīng)的

為偶次累，所以不穿過(guò),其結(jié)果如圖

在數(shù)軸上方的為大于0的解，下方的為小于0的解，因此不

等式的解為{x|-7<x<-6,或8cx<9}.

含絕對(duì)值不等式的解法

分類(lèi)討論

Ml］求，-3|>2x的解集.

解：①當(dāng)￡-320時(shí)，有x2△或xV-后此時(shí)原式即

為廣一2工一3=(工一3)(工+1)>0.解得工>3或1<-1,與x2后

或xW-后,求交集得解x>3或xW-VL

②當(dāng)￡-3<0時(shí)，有-gcxcg,原式即為

X3+2x-3=(x-l)(x+3)<0,解得—3<x<1,與一百<工<、Q

求交集得-V5<J<1.

綜上①(Z所述，原不等式解集為{x|x<l或X>3}.

2

兩邊平方法(承接例1)

①當(dāng)X20時(shí)，原不等式可化為

(x2-3『>4/=>/-10『+9>0分解因式得

(X-3)(X+3)(X-I)(X4-I)>0,所以x>3或x<-3或一1<x<1,

故x〉3或04x<I.

②當(dāng)x<0時(shí)，原不等式恒成立.

綜合①②可得解集為{#<1或X>3}.

3

圖像法

令乂二|三-3|,必=2x,分別在坐標(biāo)軸上畫(huà)出兩者的圖像,解

方程|/-3|=2%可得％=1,范=3從圖像可得不等式的解為

{x|x<l^x>3},y=\x2-3.

等價(jià)轉(zhuǎn)化法（承接例1）

原不等式等價(jià)于父-3>2x或f-3<-2工，.,.x>3Sx<-l^

-3<x<l,.?.不等式解集為口口<1或x>3}.

5

運(yùn)用線(xiàn)性規(guī)劃求解

【例2】/(x)=Jm+2)R+6x+4+2m，-wR)的定義域?yàn)镽,

則％+力的取值范圍？

%+2〃+4之0

AIJa+2>Q

解：由已知ko=<6-2。-4?0

La2-2

以俗，力為橫縱坐標(biāo)軸，畫(huà)出其可行域，令z=3o+6,可知

直線(xiàn)b=-3a+z經(jīng)過(guò)(-2,0)時(shí)有最小值一6,:.3a+b>-6.

6

運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義

【例3】對(duì)任意實(shí)數(shù)攵，不等式恒成立,求

人的取值范圍.

解：|x+l|-|x-2|的幾何意義是x到—1的距離減去到2

的距離，由數(shù)軸可知，|x+lHx-2|2-3,.3.

x-12

含參一元二次不等式例解

含有參數(shù)的不等式應(yīng)用的比較多的是分類(lèi)討論思想，①其思

路是一般先將式子因式分解或分解因式或分母有理化，然后

再結(jié)合參數(shù)對(duì)稱(chēng)軸、判別式、根的正負(fù)進(jìn)行討論；②當(dāng)無(wú)法

進(jìn)行因式分解的時(shí)候多涉及對(duì)稱(chēng)軸或者利用導(dǎo)數(shù)求解，下面

結(jié)合例題解析。

二次項(xiàng)不含參數(shù)

【例1】解關(guān)于X的不等式：X、式T）x-/w〉O.

解:原不等式可化為（X+M（X-1）>0,這里有兩個(gè)根：

-mA,此時(shí)需要討論兩根的大小.

①當(dāng)一加>1,即/<一1時(shí)，解為X〉一〃7,X<1；

②當(dāng)一加<1,即加>一1時(shí),解為x>Lx<-m；

3-/w=1,即加=一1時(shí)，解為xwl；

綜合①@@知加<一1時(shí)，｛x1x〉-陰或X<1｝；

加=一1時(shí)，｛X|XH1｝；

川〉T時(shí)，｛犬|*>1或、<一掰｝.

【例2】解關(guān)于x的不等式：/+（。-1h+。>0

解：此時(shí)顯然無(wú)法因式分解，因此通過(guò)判別式來(lái)解，

A二（Q-1），-4Q=Q]-6Q+1

①當(dāng)A>0,即。>2&+3或Q<3-2加時(shí)，不等式有兩個(gè)根

_（4_1）+J4-6a+1-伍-1）-J4—6〃+1解為

X,=2，玉—2，

或；

②當(dāng)A<0,即3-2&<4<3+2V5,此時(shí)不等式恒成立；

③當(dāng)A=0,即a=3-2/或"3+2氏時(shí),解為xwVI-1,

或X￥-（亞+1）.

3-2&<"3+2血時(shí){Mx6}；

〃=3-2、歷時(shí)，{x|xN&-l}；Q=3+2行時(shí)，

{x|x*-(V2+l)}.

【例3】解關(guān)于「的不等式：￡+奴+1>0(x20)

解：①x=0時(shí)，不等式成立，此時(shí)QCR；

②x>0時(shí),原不等式可化為〃>-(》+!),工+122,當(dāng)工=,二1

XXX

時(shí)成立］/.xH—S-2,u>—2.

X

綜合①②得

2

二次項(xiàng)含參數(shù)

【例4】解關(guān)于工的不等式：〃+2x+1>0

解：4=0時(shí)解為｛幻工>-3；

時(shí)，A=4-4〃；

①A〉0即"1時(shí)，解為｛小>上三或x<上叵｝；

aa

②A<0,即。>I時(shí)，不等式恒成立；

3A=0,即4=1時(shí)｛x|x工-1｝;

綜上所述4=0時(shí)，解為｛X|X>T；

時(shí)，解為｛中>土叵或x<上叵｝;”1時(shí)

aa

｛X|XH-1｝.

【例5】解關(guān)于X的不等式：加-(。+1)工+1>0.

解：4=0時(shí)1X<1；

4Ho時(shí),

(1)?！?時(shí)，原不等式可化為(以-l)(x-1)>0,此時(shí)有兩

根Li；

a

①時(shí)，解為｛x|x>L或xcl｝；

aa

(2)。<0時(shí)，原不等式可化為(-。工+1)('-1)<0,解為

｛x|—<x<1｝.

a

綜上所述：。<0時(shí)|｛x|-<x<l｝；

a

a=0時(shí)，｛x|x<l｝；

0<4<1時(shí)，或x<l｝；4=1時(shí)｛x|xwl｝；

a

時(shí)，｛x|x〉l,或X<1｝.

a

【例6】解關(guān)于x的不等式：江一2〃+1>0

解：。=0時(shí)，不等式恒成立；

Q〉0時(shí)，A=4"-4。，

1A>0,即。>1時(shí)，x>l+da，-a或xC17a'-a；

2A=0,即4=1時(shí)，x*1/

@A<0,即0<Q<1時(shí)，不等式恒成立；

”0時(shí)，不等式化為(-4*+2依-1<0,A=4a2-4<7>0.

此時(shí)解為］—\la'-a<x<1+y/a1-a-

綜上所述：0<a<m,｛x\xeR｝;

時(shí)，｛x|x〉l+J。、一4或X<1--4｝；

不等式恒成立問(wèn)題

恒成立問(wèn)題的基本類(lèi)型

類(lèi)型1：設(shè)/(x)=ax2+bx+c(a工0),(l)/(x)>0在xGR上巾

成立OQ>0且Ac0；

(2)/(x)<0在xeR上恒成立<=>o<0且A<0.

類(lèi)型2：設(shè)灰+C(QH()),(1)當(dāng)4〉0時(shí),

/(%)>0在》6［。，夕］上恒成立

bb

——〈(7a<-—<pn>P

Q2a或la或4-Ta

/(?)>0A<0/(A)>o

/(?)<0

/(x)<04xe［a,夕］上恒成立。,

/W<0

/(?)>)

⑵當(dāng)"0時(shí)，/(x)>0fcc［a,夕］上恒成立<=>

/(⑼>1

/(1)<0在、￡［外刈上恒成立

-------------------------PP----->0

<=>s2a或彳2a或《2a

/(?)>0IA<0[/(￡)<O

類(lèi)型3：

對(duì)一切恒成立<=>

f(x)>axe//(x)nin>a

對(duì)一切恒成立<=>

f(x)<axe/f(x)nwx>a.

類(lèi)型4：/(x)>g(x)對(duì)一切xe/恒成立Q/(*)的圖像在g(x

的圖像的上方或ZjX)>ga(X).

恒成立問(wèn)題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問(wèn)

題向基本類(lèi)型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合

等解題方法求解。

2

利用判別式解

【例1】已知在xeK,恒有犬-加+1>0,求4的取值范圍.

解:原式等價(jià)于A=a2-4<0,-2<a<2.

【例2】xeR,恒有d-x+l>0,求4的取值范圍.

解：原不等式等價(jià)于Q>0,A=I-4Q<0,.?.Q>L

4

或解：①x=0時(shí)，不等式成立；

②xro時(shí)，不等式化為。>=1,令人(衿=三1,