高考數(shù)學(xué)真題分訓(xùn)練21-空間幾何體及其表面積與體積(教師版含解析)

專題21空間幾何體及其表面積與體積

1.（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)試題）在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體

截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

【答案】D

【分析】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示,

故選：D

2.（2021年北京卷數(shù)學(xué)試題）定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度（mm）來判斷降雨程度.其中小雨

中雨（10mm—25mm）,大雨（25mm-50mmj,暴雨（50mm-小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)雨

水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答窠】B

【解析】

【分析】計(jì)算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.

【詳解】由題意，一個(gè)半徑為皆=100（mm）的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為管x端=50（mm）,

高為150（mm）的圓錐,

所卜|如心后方-^X502X150

所以私水厚度仁%k=3mm）,屬于中雨.

故選：B.

3.（2021年北京卷數(shù)學(xué)試題）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

C.3+>/3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計(jì)算該幾何體的表面積.

【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何休-正三棱錐O-A5C，

其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，

由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1,

故其表面積為3x：xlxl+乎＞、（返）,

故選：A.

4.（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已如A,B,。是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且

AC1BC^C=BC=\,則三棱錐O-45C的體積為（）

A&口6c&D6

121244

【答案】A

【分析】???AC_LBC,AC=3C=1,.?.△ABC為等腰直角三角形，.?.45=夜，

則△A5C外接圓的半徑為也，又球的半徑為1,

2

設(shè)。到平面48c的距離為d，

所以%ABC=!S.C，d=—X—X1X1X

3322[2

故選：A.

5.（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知圓錐的底面半徑為0,其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的

母線長(zhǎng)為（）

A.2B.20C.4D.4及

【答案】B

【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則加=2乃x&，解得/=2五.

故選：B.

32萬(wàn)

6.（2021年天津卷）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為一丁，兩個(gè)

3

圓錐的高之比為1:3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A.3aB.4乃C.97rD.12乃

【答窠】B

【解析】

【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，

再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)。，

設(shè)圓錐AO和圓錐的高之比為3:1,^AD=3BD,

設(shè)球的半徑為R,則如眩=絲，可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=1，AD=3,

-CD1AB,則NC4O+ZAC。=N3C￡>+ZAC。=90，所以，NCAD=NBCD，

又因?yàn)镹ADC=/BDC，所以，AACD^ACBD,

ADCD

所以,CD=dADBD，

~CD~~BD=>/3

因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為g4xCZ）2.（4O+8O）=g4x3x4=4萬(wàn).

故選：B.

7.（2021年浙江卷試題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

m

側(cè)視圖

3V2

B.3r1D.35/2

2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.

【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱A8CO-，其高為1，底面為等腰梯形43c

該等腰梯形的上底為血，下底為2加，腰長(zhǎng)為1，故梯形的高為

故匕BCD-A4Gq=]X（&+2夜）X^^xl=5,

故選：A.

8.（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）以圖①為正視圖，在圖②?④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖,

組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖①圖②圖③

【答案】③④（答案不唯一）

【分析】選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④,

如圖所示，長(zhǎng)方體ABC?！狝8c中，AB=BC=2,BBi=l,

旦尸分別為棱4C，BC的中點(diǎn)，

則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐七一4）「.

故答案為：③④.

9.（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30萬(wàn)則該圓錐的側(cè)面積為

【答窠】394

【分析】W=i^62/z=30^

3

.*.7?=—

2

10.（2021年全國(guó)新高考2卷數(shù)學(xué)試題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航

系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地

球表面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為O,半徑「為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平

面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為a,記衛(wèi)星信號(hào)

覆蓋地球表面的表面積為S=24，（1—cosa）（單位：km2）?則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【解析】

【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：

164（X）

2+（1-cosa）=1-cosa=-640。+36000a（）42=42%?

44/~2~2?.一

故選：C.

11.（2021年全國(guó)新高考2卷數(shù)學(xué)試題）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體積為（）

A.20+126B.280C.乎D.

33

【答案】D

【解析】

【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體