2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊（華師版）教案 第22章一元二次方程22.3實(shí)踐與探索（第2課時(shí)）

第22章一元二次方程22.3實(shí)踐與探索第2課時(shí)平均變化率與利潤問題教學(xué)目標(biāo)1.掌握建立數(shù)學(xué)模型解決增長率與降低率問題.2.正確分析問題中的數(shù)量關(guān)系并建立一元二次方程模型.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握建立數(shù)學(xué)模型解決增長率與降低率問題.難點(diǎn)：正確分析問題中的數(shù)量關(guān)系并建立一元二次方程模型.教學(xué)過程導(dǎo)入新課【問題1】活動(dòng)1（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評），則第二年種的水稻平均每公頃的產(chǎn)量為，第三年種的水稻平均每公頃的產(chǎn)量為.【答案】8000（1+x）kg8000（1+x2kg例2某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由168元降為108元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，設(shè)每次降價(jià)的百分率為x.根據(jù)題意，列方程為.【答案】168(1-x)2＝108教師總結(jié)并引出課題：22.3實(shí)踐與探索第2課時(shí)平均變化率與利潤問題探究新知探究點(diǎn)一利用一元二次方程解決增長（降低）率問題【問題2】活動(dòng)2（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評）例3前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，今年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，求甲種藥品成本的年平均下降率.【探索思路】(引發(fā)學(xué)生思考)設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率是x，則去年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000(1-x)元，如果保持這個(gè)下降率，那么今年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000(1-x)2元.【解】設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率是x，根據(jù)題意，得5000(1-x)2＝3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根據(jù)問題的實(shí)際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.【點(diǎn)撥】解決“變化率問題”的關(guān)鍵步驟：找出變化前的數(shù)量、變化后的數(shù)量及相應(yīng)的等量關(guān)系.【歸納】“變化率問題”的基本特征：平均變化率保持不變.若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的量是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n＝b(其中增長取“+”,降低取“-”).【即學(xué)即練】1.某商場今年2月份的營業(yè)額為400萬元，3月份的營業(yè)額比2月份增加10%，5月份的營業(yè)額達(dá)到633.6萬元.求3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率.【解】設(shè)3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率為x，根據(jù)題意，得400×(1+10%)(1+x)2＝633.6.解得x1＝0.2＝20%，x2＝-2.2(不合題意，舍去).答：3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率為20%.探究點(diǎn)二利用一元二次方程解決利潤問題基本關(guān)系：(1)利潤＝售價(jià)-進(jìn)價(jià)；（2）利潤率＝100%.(3)總利潤＝單件的利潤×銷量. 【問題3】活動(dòng)3（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評）例4某特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100kg.后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售量可增加20kg.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元，請解答下列問題：(1)每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？(2)在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？【探索思路】確定題中等量關(guān)系→建立方程模型→解方程解決問題.【解】（1）設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)x元.根據(jù)題意，得（60-x-40）＝2240.化簡，得x2-10x+24＝0，解得x1＝4，x2＝6.故每千克核桃應(yīng)降價(jià)4元或6元.（2）由（1）可知，每千克核桃可降價(jià)4元或6元，而要盡可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元.此時(shí)，每千克核桃的售價(jià)為60-6＝54（元），則54÷60×100%＝90%.故該店應(yīng)按原售價(jià)的九折出售.【題后總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)在應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問題時(shí)，要注意分析題意，抓住等量關(guān)系，列出方程，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.求得方程的解之后，要注意檢驗(yàn)是否符合題意，最后得到實(shí)際問題的解答.【即學(xué)即練】2.某服裝店銷售一種服裝，每件進(jìn)貨價(jià)為40元，當(dāng)以每件80元銷售的時(shí)候，每天可以售出50件，為了增加利潤，減少庫存，服裝店準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià).據(jù)測算，該服裝每降價(jià)1元，每天可多售出2件.如果要使每天銷售該服裝獲利2052元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？【解】設(shè)每件服裝應(yīng)降價(jià)x元.根據(jù)題意，得(80-40-x)(50+2x)＝2052，解得x1＝2，x2＝13.為了減少庫存，取x＝13.故每件應(yīng)降價(jià)13元.課堂練習(xí)1.某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由112元降為63元.已知兩次降價(jià)的百分率相同.若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則得到的方程為()A.112(1-x)2＝63 B.112(1+x)2＝63C.112(1-x)＝63 D.112(1+x)＝632.某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個(gè)，第三季度生產(chǎn)零件196萬個(gè)，如果每月的增長率x相同，那么得到的方程為()A.50(1+x2)＝196B.50+50(1+x2)＝196xC.50+50(1+x)+50(1+x)2＝196D.50+50(1+x)+50(1+2x)＝1963.某市為打造“綠色城市”，積極投入資金進(jìn)行河道治污與園林綠化兩項(xiàng)工程，已知今年投資1000萬元，預(yù)計(jì)后年投資1210萬元.若這兩年平均每年投資增長的百分率相同，求平均每年投資增長的百分率.4.某市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米5000元的均價(jià)對外銷售，由于有關(guān)部門關(guān)于房地產(chǎn)的新政策出臺后，部分購房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4050元的均價(jià)開盤銷售.若兩次下調(diào)的百分率相同，求平均每次下調(diào)的百分率.5.某公司1月份的生產(chǎn)成本是400萬元，由于改進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬元.假設(shè)該公司2，3，4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同.求：（1）每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率.（2）請你預(yù)測4月份該公司的生產(chǎn)成本.6.商場某種商品的進(jìn)價(jià)為每件100元，當(dāng)售價(jià)定為每件150元時(shí)平均每天可銷售30件.為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件.設(shè)每件商品降價(jià)x元(x為整數(shù)).據(jù)此規(guī)律，請回答：(1)商場日銷售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代數(shù)式表示)；(2)在上述條件不變、銷售正常的情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場日盈利可達(dá)到2100元？參考答案1.A2.C3.【解】設(shè)平均每年投資增長的百分率是x.由題意，得1000(1+x)2＝1210，解得x1＝0.1，x2＝-2.1(舍去).故平均每年投資增長的百分率為10%.4.【解】設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，根據(jù)題意，得5000(1-x)2＝4050.解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合題意，舍去).答：平均每次下調(diào)的百分率為10%.5.【解】（1）設(shè)該公司每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)題意，得400(1-x)2＝361.解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95>1（不合題意，舍去）.答：每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5%.（2）361×（1-5%）＝342.95（萬元）.答：預(yù)測4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元.6.【解】（1）2x(50-x)(2)根據(jù)題意，得(50-x)(30+2x)＝2100.化簡，得x2-35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20.當(dāng)x＝15時(shí)，商場日銷售量增加2×15＝30（件）；當(dāng)x＝20時(shí)，商場日銷售量增加2×20＝40（件）.而30＜40，且商場為了盡快減少庫存，所以取x＝20.故在上述條件不變、銷售正常的情況下，每件商品降價(jià)20元時(shí)，商場日盈利可達(dá)到2100元.

課堂小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)1.平均增長率與降低率若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的量是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n＝b(其中增長取“+”,降低取“-”).2.利潤問題基本關(guān)系：(1)利潤＝售價(jià)-進(jìn)價(jià)；（2）利潤率＝100%；(3)總利潤＝單件的利潤×銷量.在日常生活和社會(huì)實(shí)踐中，許多問題都可以通過建立一元二次方程模型進(jìn)行求解，然后回到實(shí)際問題中進(jìn)行解釋