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2022-2023學(xué)年廣東汕頭潮陽區(qū)高三“一診”模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為,若定義,則函數(shù),在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A. B.C. D.2.設(shè)實(shí)數(shù)、滿足約束條件,則的最小值為()A.2 B.24 C.16 D.143.()A. B. C. D.4.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,25.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示,其中正視圖是直角三角形,側(cè)視圖是半圓,俯視圖是等腰三角形,該幾何體的表面積是()A.B.C.D.6.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為,并記相應(yīng)的極大值為,則的值為()A. B. C. D.7.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.9.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或110.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.11.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.12.設(shè)i為數(shù)單位,為z的共軛復(fù)數(shù),若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的值為_______.14.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.15.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.16.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對(duì)任意正整數(shù),都有,則___三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).為橢圓的右焦點(diǎn),為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),連接分別交橢圓于兩點(diǎn).⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;⑵若,求的值;⑶設(shè)直線,的斜率分別為,,是否存在實(shí)數(shù),使得,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,,,且滿足(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)過,作直線交軌跡于,兩點(diǎn),若的面積是面積的2倍,求直線的方程.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點(diǎn).(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;(2)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,,求的值.20.(12分)已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,滿足.有三個(gè)條件:①;②;③.其中三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確,請(qǐng)選出正確的條件完成下面兩個(gè)問題:(1)求;(2)設(shè)為邊上一點(diǎn),且,求的面積.21.(12分)已知圓:和拋物線:,為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)已知直線和圓相切,與拋物線交于兩點(diǎn),且滿足,求直線的方程;(2)過拋物線上一點(diǎn)作兩直線和圓相切,且分別交拋物線于兩點(diǎn),若直線的斜率為,求點(diǎn)的坐標(biāo).22.(10分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)證明:
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
由題知,利用求出,再根據(jù)題給定義,化簡(jiǎn)求出的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷,即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意,的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為,所以的周期為,則,所以,由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象,以及正弦函數(shù)的圖象,解題關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解.2.D【解析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域,如下圖陰影部分,根據(jù)圖象,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí),取得最小值,由,解得,即,所以的最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.4.C【解析】
先求出集合U,再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可.【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算,求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補(bǔ)集的定義,屬于簡(jiǎn)單題.5.D【解析】
由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐,表面積為,故選D.6.C【解析】
對(duì)此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知,當(dāng)時(shí)有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長(zhǎng)度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點(diǎn)的通項(xiàng)公式,且相應(yīng)極大值,分組求和即得【詳解】當(dāng)時(shí),,顯然當(dāng)時(shí)有,,∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個(gè)極值點(diǎn)又∵時(shí),∴,,,…,均為其極值點(diǎn)∵函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值∴,,∴對(duì)應(yīng)極值,,∴故選:C【點(diǎn)睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學(xué)生對(duì)數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題7.D【解析】
首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.8.B【解析】
利用換元法設(shè),則等價(jià)為有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,分三種情況進(jìn)行討論,結(jié)合函數(shù)的圖象,求出的取值范圍.【詳解】解:設(shè),則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,由即,解得,結(jié)合圖象可知,此時(shí)當(dāng)時(shí),得,則是唯一解,滿足題意;當(dāng)時(shí),此時(shí)當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn),不符合題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,此時(shí)最小值為,結(jié)合圖象可知,要使得關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,此時(shí).綜上所述:或.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用.利用換元法,數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.9.D【解析】
求得直線的斜率,利用曲線的導(dǎo)數(shù),求得切點(diǎn)坐標(biāo),代入直線方程,求得的值.【詳解】直線的斜率為,對(duì)于,令,解得,故切點(diǎn)為,代入直線方程得,解得或1.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】試題分析:由題意,得,解得,故選A.考點(diǎn):函數(shù)的定義域.11.B【解析】
作出約束條件的可行域,在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值,作,平移直線即可求解.【詳解】作出實(shí)數(shù)滿足不等式組的可行域,如圖(陰影部分)令,則,作出,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),截距最小,故,即的最小值為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題,解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】
由復(fù)數(shù)的除法求出,然后計(jì)算.【詳解】,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】
利用AB中有且只有一個(gè)元素,可得,可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素,所以,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算,集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14.【解析】
先求得與關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn),即方程有解.對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論,由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為,因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),所以與的圖象有交點(diǎn),方程有解.時(shí)符合題意.時(shí)轉(zhuǎn)化為有解,即,的圖象有交點(diǎn),是過定點(diǎn)的直線,其斜率為,若,則函數(shù)與的圖象必有交點(diǎn),滿足題意;若,設(shè),相切時(shí),切點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,解得,切線斜率為,由圖可知,當(dāng),即時(shí),,的圖象有交點(diǎn),此時(shí),與的圖象有交點(diǎn),函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)以及對(duì)稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識(shí).15.【解析】
對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域需滿足真數(shù)大于0,再由指數(shù)型不等式求解出解集即可.【詳解】對(duì)函數(shù)有意義,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域,還考查了指數(shù)型不等式求解,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
利用行列式定義,得到與的關(guān)系,賦值,即可求出結(jié)果?!驹斀狻坑?,令,得,解得?!军c(diǎn)睛】本題主要考查行列式定義的應(yīng)用。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)(3)【解析】試題分析:(1);(2)由橢圓對(duì)稱性,知,所以,此時(shí)直線方程為,故.(3)設(shè),則,通過直線和橢圓方程,解得,,所以,即存在.試題解析:(1)設(shè)橢圓方程為,由題意知:解之得:,所以橢圓方程為:(2)若,由橢圓對(duì)稱性,知,所以,此時(shí)直線方程為,由,得,解得(舍去),故.(3)設(shè),則,直線的方程為,代入橢圓方程,得,因?yàn)槭窃摲匠痰囊粋€(gè)解,所以點(diǎn)的橫坐標(biāo),又在直線上,所以,同理,點(diǎn)坐標(biāo)為,,所以,即存在,使得.18.(1).(2)的方程為.【解析】
(1)令,則,由此能求出點(diǎn)C的軌跡方程.(2)令,令直線,聯(lián)立,得,由此利用根的判別式,韋達(dá)定理,三角形面積公式,結(jié)合已知條件能求出直線的方程?!驹斀狻拷猓海?)因?yàn)椋粗本€的斜率分別為且,設(shè)點(diǎn),則,整理得.(2)令,易知直線不與軸重合,令直線,與聯(lián)立得,所以有,由,故,即,從而,解得,即。所以直線的方程為?!军c(diǎn)睛】本題考查橢圓方程、直線方程的求法,考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題。19.(1),;(2)2.【解析】
(1)由得,求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即求直線的普通方程;(2)將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程,韋達(dá)定理得,點(diǎn)在直線上,則,即可求出的值.【詳解】(1)由可得,即,即,曲線的直角坐標(biāo)方程為,由直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去得,即直線的普通方程為.(Ⅱ)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程,整理得,直線與曲線交于兩點(diǎn),,即.設(shè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,由韋達(dá)定理可得,.點(diǎn)在直線上,,.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用,屬于中檔題.20.(1);(2).【解析】
(1)先求出角,進(jìn)而可得出,則①②中有且只有一個(gè)正確,③正確,然后分①③正確和②③正確兩種情況討論,結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值;(2)計(jì)算出和,計(jì)算出,可得出,進(jìn)而可求得的面積.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,得,,,為鈍角,與矛盾,故①②中僅有一個(gè)正確,③正確.顯然,得.當(dāng)①③正確時(shí),由,得(無解);當(dāng)②③正確時(shí),由于,,得;(2)如圖,因?yàn)?,,則,則,.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形綜合應(yīng)用,涉及三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.21.(1);(2)或.【解析】試題分析:直線與圓相切只需圓心到直線的距離等于圓的半徑,直線與曲線相交于兩點(diǎn),且滿足,只需數(shù)量積為0,要聯(lián)立方程組設(shè)而不求,利用坐標(biāo)關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題,這是解析幾何常用解題方法,第二步利用直線的斜率找出坐標(biāo)滿足的要求,再利用兩直線與圓相切,求出點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析:(1)解:設(shè),,,由和圓相切,得.∴.由消去,并整理得,∴,.由,得,即.∴.∴,∴,∴.∴.∴或(舍).當(dāng)時(shí),,故直線的方
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