期中壓軸必刷綜合（原卷版）

期中壓軸必刷綜合一．選擇題（共7小題）1．如圖，將一副學(xué)生用三角板（一個(gè)銳角為30°的直角三角形，一個(gè)銳角為45°的直角三角形）的直角頂點(diǎn)重合并如圖疊放，當(dāng)∠DEB＝m°，則∠AOC＝（）A．30° B．（m﹣15）° C．（m+15）° D．m°2．如圖，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝n°，則下列結(jié)論：①∠COE＝90°﹣n°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④3．如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE＝DF，連接BF、CE，且∠FBD＝35°，∠BDF＝75°，下列說(shuō)法：①△BDF≌CDE；②△ABD和△ACD面積相等；③BF∥CE；④∠DEC＝70°，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如利用圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，那么利用圖2所得到的數(shù)學(xué)等式是（）A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc C．（a+b+c）2＝a2+b2+b2+ab+ac+bc D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c5．如圖，直線AB∥CD，EF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，作∠BEF、∠DFE的平分線相交于點(diǎn)K；作∠BEK、∠DFK的平分線相交于點(diǎn)K1；依此類(lèi)推，作∠BEK1、∠DFK2的平分線相交于點(diǎn)K2，…，作∠BEKn﹣1、∠DFKn﹣1的平分線相交于點(diǎn)Kn，則∠Kn的與∠K的關(guān)系為（）A．∠Kn＝∠K B．∠Kn＝∠K C．∠Kn＝∠K D．∠Kn＝∠K6．觀察下列各式及其展開(kāi)式（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……請(qǐng)你猜想（2x﹣1）8的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是（）A．224 B．180 C．112 D．487．如圖，△ABC中，∠A＝α°，延長(zhǎng)BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，依此類(lèi)推，∠An﹣1BC與∠An﹣1CD的平分線相交于點(diǎn)An，則∠An的度數(shù)為（）A． B． C． D．二．填空題（共17小題）8．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若∠ACB＝84°，且BD＝DA，則∠E＝°．（補(bǔ)充知識(shí)：等腰三角形兩底角相等．）9．如圖1，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)出發(fā)，沿B→C→A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BP的長(zhǎng)度y隨時(shí)間x變化的關(guān)系圖象，其中M為曲線部分的最低點(diǎn)，則AC邊上的高長(zhǎng)為．10．如圖甲所示三角形紙片ABC中，∠B＝∠C，將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙），則∠ABC的大小為°．11．我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)三角形給出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）；請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律，寫(xiě)出展開(kāi)式中含x2015項(xiàng)的系數(shù)是．12．如圖①是長(zhǎng)方形紙帶，∠CFE＝55°，將紙帶沿EF折疊成圖②，再沿GE折疊成圖③，則圖③中∠DEF的度數(shù)是．13．圖①是一個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形，以此小長(zhǎng)方形按圖②拼成的一個(gè)大正方形和一小正方形，設(shè)小正方形ABCD的面積為S1，大正方形EFGH的面積為S2，小長(zhǎng)方形的面積為S3．若S1＝S3，且S1+S2＝22，則S1＝．14．如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為10，P在AB上，Q在BC延長(zhǎng)線，CQ＝PA，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF∥BQ，交AC邊于點(diǎn)F，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長(zhǎng)為．15．如圖，將△ABC沿直線AC翻折得到△ADC，連接BD交AC于點(diǎn)E，AF為△ACD的中線，若BE＝2，AE＝3，△AFC的面積為2，則CE．16．如圖，四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，點(diǎn)P是△OCD角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①∠CPD＝135°；②BA＝BP；③△PAC≌△PDB；④S△ABP＝S△DCP；⑤PM＝CD．其中正確的是．（填序號(hào)）17．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P以每秒2cm的速度沿圖甲的邊框按從B→C→D→E→F→A的路徑移動(dòng)，相應(yīng)的△ABP的面積S（cm2）與時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖乙中的圖象所示．其中AB＝6cm．當(dāng)t＝時(shí)，△ABP的面積是15cm2．甲、乙兩人騎車(chē)從學(xué)校出發(fā)，先上坡到距學(xué)校6千米的A地，再下坡到距學(xué)校16千米的B地，甲、乙兩人行駛的路程y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，若甲、乙兩人同時(shí)從B地按原路返回到學(xué)校，返回時(shí)，甲和乙上、下坡的速度仍保持不變，則在返回途中二人相遇時(shí)離A地的距離是千米．19．如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)E，BE交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG∥BD交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，連接AE，有以下結(jié)論：①∠BEC＝∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEB+∠ACE＝90°，其中正確的結(jié)論有（將所有正確答案的序號(hào)填寫(xiě)在橫線上）．20．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A﹣C﹣B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B﹣C﹣A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和Q分別以2和6的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過(guò)P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t＝秒時(shí)，△PEC與△QFC全等．21．如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，則有AC∥DE；③如果∠2＝30°，則有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正確的有．（填序號(hào)）22．如圖，對(duì)面積為s的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長(zhǎng)AB、BC、CA至點(diǎn)A1、B1、C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，順次連接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1；第二次操作，分別延長(zhǎng)A1B1、B1C1、C1A1至點(diǎn)A2、B2、C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1順次連接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，記其面積為S2；…；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到△AnBn?n，則其面積Sn＝．23．如圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為a、b，且滿足a+b＝10，ab＝12，圖中陰影部分的面積為．24．若m1，m2，…m2015是從0，1，2這三個(gè)數(shù)中取值的一列數(shù)，若m1+m2+…+m2015＝1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2＝1510，則在m1，m2，…m2015中，取值為2的個(gè)數(shù)為．三．解答題（共26小題）25．新能源純電動(dòng)汽車(chē)的不斷普及讓很多人感受到了它的好處，其中最重要的一點(diǎn)就是對(duì)環(huán)境的保護(hù)，如圖是某型號(hào)新能源純電動(dòng)汽車(chē)充滿電后，蓄電池剩余電量y（千瓦時(shí)）與已行駛路程x（千米）之間關(guān)系的圖象．（1）圖中點(diǎn)A表示的實(shí)際意義是什么？（2）當(dāng)0≤x≤150時(shí)，行駛1千米的平均耗電量多少？（3）求行駛多少千米時(shí)，剩余電量降至15千瓦時(shí)．26．（1）如圖，CD，CE分別是△ABC的高和中線，AC＝5cm，BC＝12cm，AB＝13cm，∠ACB＝90°．求：①CD的長(zhǎng)；②△BCE與△ACE的周長(zhǎng)差；（2）閱讀理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，又∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，∴m＝n＝4．方法應(yīng)用：①a2+4a+b2＝﹣4，則a＝，b＝；②已知x+y＝10，xy﹣m2﹣6m＝34，求（x﹣y）m的值．27．已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、NG．（1）如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝32°，求∠MGN+∠MPN的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn)，連接EM、EN，且GM的延長(zhǎng)線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度數(shù)。28．已知直線PQ∥MN．（1）如圖1，BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，求∠ACB的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，G為直線MN上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），BD平分∠GBA，交MN于點(diǎn)D，試探究∠CBD與∠BGA的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C位于PQ上，∠BCA＝90°且AB⊥PQ于點(diǎn)K，∠CEM＝60°，在△BCK以每秒10°繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t，當(dāng)BK與△ACK的一邊平行時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)t的值．29．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．連接BD、CE，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于點(diǎn)H，反向延長(zhǎng)線段AH交BD于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)AB＝AD時(shí)①請(qǐng)直接寫(xiě)出BF與DF的數(shù)量關(guān)系：BFDF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求證：CE＝2AF（2）如圖2，當(dāng)AB≠AD時(shí)，上述①②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．30．已知：如圖所示，直線MN∥GH，另一直線交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，點(diǎn)C為直線GH上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，且∠GCD＝50°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B右邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線所在直線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BPC的度數(shù)，不說(shuō)明理由．31．閱讀理解并完成下面問(wèn)題：我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)c都可以進(jìn)行這樣的因式分解：c＝p×q（p，q是正整數(shù)），在c的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是c的最佳分解．并規(guī)定：F（c）＝（其中p≤q）．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)閨1﹣12|＞|2﹣6|＞|3﹣4|，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）如果一個(gè)正整數(shù)a是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方，我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)，若m是一個(gè)完全平方數(shù)，求F（m）的值；（2）如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，交換其個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到的新兩位數(shù)減去原數(shù)所得的差為18，那么我們稱這個(gè)兩位正整數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求符合條件的所有“吉祥數(shù)”；（3）在（2）中的所有“吉祥數(shù)”中，求F（t）的最小值．32．在數(shù)學(xué)中，有許多關(guān)系都是在不經(jīng)意間被發(fā)現(xiàn)的，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題：（1）如圖1，用兩種不同的方法表示陰影圖形的面積，得到一個(gè)等量關(guān)系：．（2）若圖1中a、b滿足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；（3）如圖2，C是線段AB上一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，AC+BC＝8，兩正方形面積和S1+S2＝40，求圖中陰影部分面積．33．閱讀理解：如圖1，已知點(diǎn)A是BC外一點(diǎn)，連接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度數(shù)．（1）閱讀并補(bǔ)充下面推理過(guò)程．解：過(guò)點(diǎn)A作ED∥BC，∴∠B＝，∠C＝．∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．解題反思：從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC，∠B，∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決．方法運(yùn)用：（2）如圖2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)．深化拓展：（3）如圖3，已知AB∥CD，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，∠ADC＝60°，DE平分∠ADC，點(diǎn)B是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），AB＜CD，BE平分∠ABC，BE，DE所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在AB與CD兩條平行線之間．若∠ABC＝n°，請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠BED的度數(shù)．（用含n的代數(shù)式表示）34．珠江某河段兩岸安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈A，B．如圖1，2所示，假如河道兩岸是平行的，PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN，燈A射線從AM開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，且燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖3，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前，若兩燈發(fā)出的射線AC與BC交于點(diǎn)C，過(guò)C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD＝120°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．35．某中學(xué)校長(zhǎng)決定帶領(lǐng)市級(jí)“三好學(xué)生”去北京旅游，甲旅行社承諾：“如果校長(zhǎng)買(mǎi)全票一張，則學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)惠”；乙旅行社承諾：“包括校長(zhǎng)在內(nèi)所有人按全票的6折優(yōu)惠”．若全票價(jià)為240元．（1）設(shè)學(xué)生數(shù)為x，甲、乙旅行社收費(fèi)分別為y甲（元）和y乙（元），分別寫(xiě)出兩個(gè)旅行社收費(fèi)的表達(dá)式．（2）哪家旅行社收費(fèi)更優(yōu)惠？36．已知，如圖，把直角三角形MON的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，射線OC平分∠AON．（1）如圖1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度數(shù)．（2）若∠MOC＝m°，則∠BON的度數(shù)為．（3）由（1）和（2），我們發(fā)現(xiàn)∠MOC和∠BON之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？（4）若將三角形MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，試問(wèn)∠MOC和∠BON之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．37．（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過(guò)三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你寫(xiě)出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請(qǐng)直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．38．已知，AB∥CD，點(diǎn)E為射線FG上一點(diǎn)．（1）如圖1，若∠EAF＝25°，∠EDG＝45°，則∠AED＝．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在FG延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)CD與AE交于點(diǎn)H，則∠AED、∠EAF、∠EDG之間滿足怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在FG延長(zhǎng)線上時(shí)，DP平分∠EDC，且∠EAP：∠BAP＝1：2，∠AED＝32°，∠P＝30°，求∠EKD的度數(shù)．39．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE＝AD．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于H，連接DE，求證：EH＝AC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．求證：BM＝EM；（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線CB上時(shí)，連接BE交直線AC于M，若2AC＝5CM，請(qǐng)求出的值．40．（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)理證明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）（可直接使用問(wèn)題（1）中的結(jié)論）如圖2，BP、DP分別平分∠ABC、∠ADC；①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度數(shù)；②∠A和∠C為任意角時(shí)，其他條件不變，猜想∠P與∠A、∠C之間數(shù)量關(guān)系，并給出證明．（3）在圖3中，點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線，且∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，QB的延長(zhǎng)線與DP交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠P與∠A、∠C的關(guān)系，無(wú)需證明．41．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．42．如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．（1）求證：△ADC≌△BEC．（2）求∠AEB的度數(shù)．（3）試探究線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．43．若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問(wèn)題：（1）若x滿足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）；（3）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝2，CF＝6，長(zhǎng)方形EMFD的面積是192，分別以MF、DF為邊作正方形，求陰影部分的面積．44．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，E為BC上的一點(diǎn)，在AE的右側(cè)作△AEF，使得AE＝AF，∠EAF＝∠BAC，連接FC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠D＝45°．（1）求∠ABC的度數(shù)．（2）如圖2，若點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，當(dāng)AC＝CE時(shí)，求證：FC平分∠AFE．（3）如圖3，△ABC的形狀和大小保持不變，若點(diǎn)E在直線BC上（不與點(diǎn)C重合），射線AC與直線EF相交于點(diǎn)M，則當(dāng)△AFM是等腰三角形時(shí)，求∠AEC的度數(shù)．45．已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE（頂點(diǎn)A、D、E按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接CE．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①△ABD≌△ACE，②AC＝CE+CD；（2）當(dāng)點(diǎn)D不在邊BC上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)寫(xiě)出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．46．直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）．（1）如圖1，MN⊥PQ，若∠BAO＝30°，∠BAO與∠ABO的角平分線相交于點(diǎn)E，∠AEB的度數(shù)為，（2）如圖2，MN⊥PQ，∠BAP與∠ABM的角平分線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；（3）如圖3，若∠MOQ＜90°，∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)G，∠OAG的角平分線與射線EO相交于點(diǎn)F，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，試探索∠F與∠ABO之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．47．已知：AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F在直線C